精品解析：安徽省淮南市北京师范大学淮南实验学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

北京师范大学淮南实验学校高一年级期末考试 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用并集的定义求解得答案. 【详解】，而， 所以. 故选：C 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式直接化简求得结果即可. 【详解】解：． 故选：B 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐一判断各选项中函数的单调性即可. 【详解】对于A，函数是周期函数，在上不单调，A不是； 对于B，函数在上单调递增，B是； 对于C，函数在上单调递减，C不是； 对于D，函数在R上单调递减，D不是. 故选：B 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数奇偶性可排除C、D，接着由函数在上的函数值正负情况即可得解. 【详解】因为，所以函数定义域为R，且， 所以函数是偶函数，故排除C、D； 当时，，， 所以，故排除B. 故选：A. 5. 已知函数，下列含有函数零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在性定理即可求解. 【详解】解析：因为函数单调递增，且， ， ， ， . 且 所以含有函数零点的区间为. 故选：C． 6. 函数的最大值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简函数，再借助二次函数求出最大值. 【详解】函数，而， 令，则图象的对称轴为， 所以当时，取得最大值3. 故选：C 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性及余弦函数的性质比较大小. 【详解】， 所以. 故选：D 8. 若存在正数x使2x（x-a）＜1成立，则a 的取值范围是 A. （-∞，+∞） B. (-2, +∞) C. (0, +∞) D. （-1，+∞） 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，存在正数，使，所以，而函数在上是增函数，所以，所以，故选D. 【考点定位】本小题主要考查不等式、分离参变量、函数的单调性等知识，考查转化与化归等数学思想，考查分析问题以及解决问题的能力. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. “不等式在上恒成立”的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用不等式恒成立求出的范围，再利用充分不必要条件的定义判断得解. 【详解】不等式在上恒成立，则，解得， 选项中满足是集合真子集的是CD. 所以所求充分不必要条件是CD. 故选：CD 10. 已知函数,则下列结论中正确的是（ ） A. 在(0,1)单调递增 B. 在(1,2)单调递减 C. 的图像关于直线对称 D. 的图像关于点(0,1)对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求定义域,用对数运算性质化为对数型复合函数,根据复合函数的单调性判断A,B的正误;再根据和的关系判断函数的对称性. 【详解】解：由题意知,的定义域为, , 由复合函数的单调性知,函数在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减, 所以A,B正确; ∵函数, ∴,即, 即的图像关于直线对称, 所以C正确,D错误． 故选:ABC. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则当时， B. 若函数的图象向左平移个单位得到的函数图象关于原点对称，则的最小值为 C. 若在区间恰有3个零点，则 D. 若在区间单调递减，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定的函数，结合正弦函数的图象、性质逐项分析判断得解. 【详解】对于A，，，由，得，则，A正确； 对于B，为奇函数，则， 解得，因,故的最小值为，B正确； 对于C，由，得，依题意，， 解得，C正确； 对于D，当时，，当时，， 而正弦函数在上单调递减，此时在区间单调递减，但,故D错误. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：本题选项D，区间外的某个值在给定区间上单调递减，或者在区间内存在某个值，函数在给定区间上不单调递减. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数是奇函数，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据幂函数定义可构造方程求得，将的值代入解析式验证函数奇偶性可确定结果. 【详解】由题意得，∴或1， 当时，是偶函数； 当时，是奇函数. 故答案为：1. 13. 已知，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式化简，即可求解. 【详解】， 即，即 即，解得 故答案为：2 14. 已知是定义在R上的偶函数，且．若当时，，则________. 【答案】6 【解析】 【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简，再代入求值. 【详解】由可知，是周期函数，且， 所以 . 【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或. （1）当时，求； （2）设命题：，命题：，若是成立的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【小问1详解】 解不等式，得，即， 当时，或，， 所以. 【小问2详解】 由是成立的充分不必要条件，得集合是集合的真子集， 因此或，解得或， 所以的取值范围是或. 16. 计算下列各题： （1）； （2）. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用指对幂运算性质化简求值； （2）利用对数运算性质化简求值. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式 . 17. 已知，，且. （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 【答案】（1）16； （2）16； （3）9. 【解析】 【分析】（1）（2）利用基本不等式求出最小值. （3）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【小问1详解】 ，，解得，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值16. 【小问2详解】 ，，解得，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值16. 【小问3详解】 ，由，得， 则，当且仅当时取等号， 所以汉时，取得最小值9. 18. 已知函数，其中且. （1）判断的奇偶性，并证明； （2）若，判断的单调性； （3）当的定义域为时，的值域为，求的值. 【答案】（1）函数为奇函数，证明如下： 由得或，即的定义域为或关于原点对称， 因为， 所以为奇函数. （2）在和上都为减函数； （3）. 【解析】 【分析】（1）先判断函数奇偶性，接着按奇偶性判定步骤去判断即可证明； （2）由为增函数，在和上都为减函数即可判断； （3）由题意结合（2）得在上为减函数，进而得，从而得，解该方程即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由和复合而成， 当时，为增函数，在和上都为减函数， 所以由复合函数的单调性知在和上都为减函数. 【小问3详解】 由题意，所以由（2）可知在上为减函数， 因为当时，，故， 即，解得， 因为，所以. 19. 函数在一个周期内的图像如图所示，为图像的最高点，为图像与轴的交点，且为正三角形. （1）求的值； （2）若，且，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换得，再结合三角函数性质，根据周期公式即可得答案； （2）结合题意得，进而根据正弦和角公式求解即可. 【小问1详解】 解： ， 因为为正三角形，且高为， 所以，， 所以，函数的周期，即，解得； 所以 【小问2详解】 解：因为， 所以，，即， 因为，所以 所以，， 所以， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学淮南实验学校高一年级期末考试 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，下列含有函数零点的区间是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的最大值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若存在正数x使2x（x-a）＜1成立，则a 的取值范围是 A. （-∞，+∞） B. (-2, +∞) C. (0, +∞) D. （-1，+∞） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. “不等式在上恒成立”的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数,则下列结论中正确的是（ ） A. 在(0,1)单调递增 B. 在(1,2)单调递减 C. 的图像关于直线对称 D. 的图像关于点(0,1)对称 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则当时， B. 若函数的图象向左平移个单位得到的函数图象关于原点对称，则的最小值为 C. 若在区间恰有3个零点，则 D. 若在区间单调递减，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数是奇函数，则___________. 13. 已知，则______． 14. 已知是定义在R上的偶函数，且．若当时，，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或. （1）当时，求； （2）设命题：，命题：，若是成立的充分不必要条件，求的取值范围. 16. 计算下列各题： （1）； （2）. 17. 已知，，且. （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 18. 已知函数，其中且. （1）判断的奇偶性，并证明； （2）若，判断的单调性； （3）当的定义域为时，的值域为，求的值. 19. 函数在一个周期内的图像如图所示，为图像的最高点，为图像与轴的交点，且为正三角形. （1）求的值； （2）若，且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $