江苏省南京市2024-2025学年九年级下学期开学适应性模拟考数学练习卷

江苏省南京市2024-2025学年九年级下学期开学适应性模拟考数学练习卷 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）方程x（x﹣3）＝0的解为（　　） A．3 B．0 C．0与﹣3 D．0与3 2．（2分）若二次函数y＝x2+4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n的值是（　　） A．1 B．3 C．4 D．6 3．（2分）小明对五个数据26，33，45，5□，59进行分析，发现其中一个两位数的个位数字被“□”遮挡住了，下列统计量中，与被“□”遮挡住的数字无关的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 4．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，连接CD，若，下列结论中，错误的是（　　） A． B． C． D． 5．（2分）如图，正方形ABCD的边长为6，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点C出发，沿C→D→A运动，到点A时停止运动．点F的运动速度是点E的运动速度的2倍，设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 6．（2分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心．若，四边形ABCD的周长是25，则四边形EFGH的周长是（　　） A．4 B．10 C． D． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7．（2分）（1）若，则　 　． （2）若（x，y，z均不为0），则　 　． 8．（2分）已知△ABC∽△DEF，，若EF＝5，则BC＝　 　． 9．（2分）已知方程x2﹣2x﹣10＝0的两根为x1，x2则　 　． 10．（2分）已知线段AB＝10，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，则AC＝　 　． 11．（2分）若圆锥的侧面面积为12πcm2，它的底面半径为3cm，则此圆锥的母线长为　 　cm． 12．（2分）一个人拿着一把有厘米刻度的小尺站在距离电线杆约20m的地方，他把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆，已知臂长40cm，则电线杆的高度为　 　m． 13．（2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，则∠ADC＝　 　． 14．（2分）如图，AF是正五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠CAF＝　 　°． 15．（2分）已知点M（2，0），⊙M的半径为1，OA切⊙M于点A，点P为⊙M上的动点，连接OP，AP，若△POA是等腰三角形，则点P的坐标为 　 　． 16．（2分）如图，二次函数y＝x2﹣x﹣6的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为 　 　． 三．解答题（共11小题，满分88分，每小题8分） 17．（8分）用适当的方法解下列方程． （1）（x﹣3）2＝2（x﹣3）； （2）x2﹣6x﹣27＝0． 18．（7分）某校举行新冠疫情防控核酸检测大演练，卫生防疫部门在该校设置A、B、C、D四个检测通道，参加演练的学生在任意一个检测通道检测的机会均等． （1）小明同学在A检测通道参加检测的概率是 　 　； （2）请用画树状图或列表法求小明和小红两人不在同一检测通道参加检测的概率． 19．（9分）某校举办了一次成语知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，下面是这次竞赛中甲、乙两组学生（每组10人）成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表． 组别 平均数 中位数 方差 合格率 优秀率 甲组 6.8 a 3.76 90% 30% 乙组 b c 1.96 80% 20% （1）求出以上成绩统计分析表中a，b，c的值： （2）嘉淇同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属于中游略偏上！”观察上面表格判断，嘉淇是甲、乙哪个组的学生？ （3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你写出两条支持乙组同学观点的理由． 20．（8分）已知抛物线C：y＝﹣x2+bx+c经过A（1，0）和B（0，3）两点，将抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N． （1）求抛物线C的表达式； （2）请直接写出四边形ABMN的面积； （3）将抛物线C平移到抛物线C'，点A的对应点为点A'、点B的对应点为点B′且在x轴上，如果四边形ABB'A'的面积为9，求抛物线C′的表达式． 21．（7分）如图，在以AB为直径的半圆O中，M是的中点，C是上的点，AM、BC的延长线相交于点D．连接AC、MC． （1）求证：CM平分∠ACD； （2）若AC平分∠BAD，则∠D的大小为 　 　度． 22．（7分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，，AC＝3，求AD的长． 23．（7分）已知二次函数y＝x2﹣6x+8，求： （1）抛物线与x轴、y轴相交的交点坐标． （2）抛物线的顶点坐标． （3）当x取何值时，函数值大于0？ 24．（8分）如图，在△PBD中，PO平分∠BPD，DE⊥PO交PO延长线于点E，∠EDB＝∠EPB，以OB为半径的⊙O的交BD于点A，已知PB＝6，DB＝8． （1）求证：PB是⊙O的切线． （2）求⊙O的半径． （3）连接BE，求BE的长． 25．（7分）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径，点O为圆心．△ADC与△ABE相似吗？说明理由． 26．（10分）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求出d的取值范围． 27．（10分）如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）在图1中，借助于网格，只用无刻度的直尺作等腰直角△BCD； （2）在图2中，借助于网格，只用无刻度的直尺作∠A的角平分线AE； （3）在图3中，每个小正方形的边长为1，借助于网格，或用尺规作图在AC边上求作一点F，使得AF•AC＝16． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）方程x（x﹣3）＝0的解为（　　） A．3 B．0 C．0与﹣3 D．0与3 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】D 【分析】由因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可． 【解答】解：∵x（x﹣3）＝0， ∴x＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝0，x2＝3， 故选：D． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 2．（2分）若二次函数y＝x2+4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n的值是（　　） A．1 B．3 C．4 D．6 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质． 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识． 【答案】C 【分析】利用判别式的意义得到△＝42﹣4n＝0，然后解关于n的方程即可． 【解答】解：根据题意得△＝42﹣4n＝0， 解得n＝4， 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． 3．（2分）小明对五个数据26，33，45，5□，59进行分析，发现其中一个两位数的个位数字被“□”遮挡住了，下列统计量中，与被“□”遮挡住的数字无关的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【考点】统计量的选择；算术平均数；中位数；众数；方差． 【专题】数据的收集与整理；数据分析观念． 【答案】B 【分析】利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断． 【解答】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为35，与被涂污数字无关． 故选：B． 【点评】本题考查了方差：方差描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数和标准差的概念． 4．（2分）（2022秋•玄武区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，连接CD，若，下列结论中，错误的是（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】C 【分析】易证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可判断A、B选项；设点A到DE的距离为h，点D到BC的距离为h1，点C到DE的距离为h2，根据平行线的性质可得，以此即可判断C选项；根据平行线的性质可得h1＝h2，以此即可判断D选项． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵， ∴， ∴， ，故A、B选项正确，不符合题意； 设点A到DE的距离为h，点D到BC的距离为h1，点C到DE的距离为h2， ∵DE∥BC，， ∴， ∴，故C选项错误，符合题意； ∵DE∥BC， ∴h1＝h2， ∴，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握平行线分线段成比例时解题关键． 5．（2分）如图，正方形ABCD的边长为6，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点C出发，沿C→D→A运动，到点A时停止运动．点F的运动速度是点E的运动速度的2倍，设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【考点】动点问题的函数图象． 【专题】数形结合；一次函数及其应用；二次函数的应用；运算能力；模型思想． 【答案】B 【分析】根据题意可将当0≤x≤3时，AE＝x，求得，是一个一次函数，当3＜x≤6时，AE＝x，，是一个二次函数，根据图形结合结合求解． 【解答】解：当0≤x≤3时，AE＝x， ∴， 当3＜x≤6时，AE＝x， AF＝6﹣2（x﹣3）＝12﹣2x， ∴x（12﹣2x）＝﹣x2+6x， 即对称轴为x＝3，开口向下，如选项C所示， 故选：B． 【点评】本题主要考查了根据动点运动轨迹用基本函数表达出来知识点，并利用数形结合求解的能力，熟练设x并根据条件写出函数解析式是解决问题的关键． 6．（2分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心．若，四边形ABCD的周长是25，则四边形EFGH的周长是（　　） A．4 B．10 C． D． 【考点】位似变换． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】B 【分析】先根据位似的性质得到，四边形ABCD与四边形EFGH相似，再利用比例的性质得，然后根据相似多边形的性质求解． 【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心， ∴，四边形ABCD与四边形EFGH相似， ∵， ∴， ∴， ∴四边形EFGH的周长：四边形ABCD的周长， ∴四边形EFGH的周长25＝10． 故选：B． 【点评】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行；位似比等于相似比． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7．（2分）（1）若，则　　． （2）若（x，y，z均不为0），则　3　． 【考点】比例的性质． 【专题】分式；一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）； （2）3． 【分析】（1）根据已知等式设a＝3k，b＝4k，再代入求出答案即可； （2）设k，根据比例的性质求出x＝6k，y＝4k，z＝3k，再代入求出答案即可． 【解答】解：（1）， 设a＝3k，b＝4k， 所以 ． 故答案为：； （2）设k， 则x＝6k，y＝4k，z＝3k， 所以 ＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解和能根据比例的性质进行计算是解此题的关键，注意：如果，那么ad＝bc，反之亦然． 8．（2分）已知△ABC∽△DEF，，若EF＝5，则BC＝　　． 【考点】相似三角形的性质． 【专题】图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】． 【分析】根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF， ∴， ∵EF＝5， ∴BC＝5， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 9．（2分）已知方程x2﹣2x﹣10＝0的两根为x1，x2则　24　． 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】24． 【分析】根据根与系数的关系代入即可求解． 【解答】解：由题意可得，x1+x2＝2，x1+x2＝﹣10， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝4﹣2×（﹣10）＝24． 故答案为：24． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键在两根积与两根和公式的熟练程度． 10．（2分）已知线段AB＝10，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，则AC＝　　． 【考点】黄金分割． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；应用意识． 【答案】． 【分析】根据黄金分割的定义得到，进而根据线段和差关系即可得AC的长． 【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC， ∴， ∵AB＝10， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点． 11．（2分）若圆锥的侧面面积为12πcm2，它的底面半径为3cm，则此圆锥的母线长为　4　cm． 【考点】圆锥的计算． 【专题】计算题． 【答案】见试题解答内容 【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到 •2π•3•l＝12π，然后解一次方程即可． 【解答】解：设圆锥的母线长为l， 根据题意得•2π•3•l＝12π， 解得l＝4． 故答案为4． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 12．（2分）一个人拿着一把有厘米刻度的小尺站在距离电线杆约20m的地方，他把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆，已知臂长40cm，则电线杆的高度为　6　m． 【考点】相似三角形的应用． 【专题】图形的相似；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】如图，要求电线杆DE的高度可以利用△ABC∽△AED，它们的对应边成比例可直接求出． 【解答】解：过A作AF⊥DE交BC于O， ∵BC∥ED， ∴AO⊥BC， ∴△ABC∽△AED， ∴， ∵BC＝0.12m，AO＝0.4m，AF＝20m，DE6（米）， ∴电线杆的高度近似为6米． 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 13．（2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，则∠ADC＝　100°　． 【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理． 【专题】与圆有关的计算；推理能力． 【答案】100°． 【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD，进而得出答案． 【解答】解：∵∠ABD＝50°， ∴∠ACD＝50°， ∵∠CAD＝30°， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD＝180°﹣30°﹣50°＝100°． 故答案为：100°． 【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键． 14．（2分）如图，AF是正五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠CAF＝　72　°． 【考点】正多边形和圆；切线的性质． 【专题】与圆有关的位置关系；正多边形与圆；运算能力；推理能力． 【答案】72． 【分析】连接OC，AO，根据正五边形的性质得到∠B108°，根据圆周角定理得到∠AOC＝360°﹣2∠B＝144°，根据等腰三角形的性质得到∠CAO（180°﹣144°）＝18°，根据切线的性质得到∠OAF＝90°，于是得到结论． 【解答】解：连接OC，AO， 在正五边形ABCDE中，∠B108°， ∴∠AOC＝360°﹣2∠B＝144°， ∵OC＝OA， ∴∠CAO（180°﹣144°）＝18°， ∵AF是正五边形ABCDE的外接圆的切线， ∴∠OAF＝90°， ∴∠CAF＝90°﹣18°＝72°， 故答案为：72． 【点评】本题考查了正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 15．（2分）已知点M（2，0），⊙M的半径为1，OA切⊙M于点A，点P为⊙M上的动点，连接OP，AP，若△POA是等腰三角形，则点P的坐标为 　（1，0），（3，0），（，）　． 【考点】切线的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的判定；勾股定理． 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力． 【答案】（1，0），（3，0），（，）． 【分析】根据题意画出图形分三种情况讨论：当点P在x轴上，PA＝PO＝1，OA＝OP″＝3，当点P是切点时，AO＝AP，进而可以解决问题． 【解答】解：如图，当P的坐标为（1，0），（3，0），（，）时，△POA是等腰三角形．理由如下： 连接AM， ∵M（2.0），⊙M的半径为1， ∴OM＝2，AM＝PM＝1， ∴OP＝1， ∵OA切⊙M于点A， ∴∠MAO＝90°， ∴∠AOM＝30°， ∴∠AMO＝60°， ∴PA＝AM＝PM＝1， ∴OP＝PA＝1， ∴P（1，0）； 当OA＝OP′时，连接AP′交x轴于点H， ∵OA切⊙M于点A， ∴OP′切⊙M于点P′， ∴∠P′OM＝∠AOM＝30°， ∴∠AOP′＝60°， ∴△AOP′是等边三角形， ∴AP′＝OA， ∴OHOA，P′HAP′， ∴P′（，）； ∵MA＝MP″，∠AMO＝60°， ∴∠MAP″＝∠MP″A＝30°， ∴∠AOP″＝∠MP″A＝30°， ∴OA＝OP″， ∴P″（3，0）． 综上所述：当P的坐标为（1，0），（3，0），（，）时，△POA是等腰三角形． 故答案为：（1，0），（3，0），（，）． 【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，坐标与图形性质，解决本题的关键是得到△AOP′是等边三角形． 16．（2分）如图，二次函数y＝x2﹣x﹣6的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为 　15　． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力． 【答案】15． 【分析】由二次函数x2﹣x﹣6＝0求出A、B两点坐标，再求出点C的坐标，即可求出AB、OC的值，然后根据面积公式即可得出答案． 【解答】解：当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0， 解得x＝﹣2或3， 则 A（﹣2，0），B（3，0）， 当x＝0时，y＝﹣6， 则C（0，﹣6）， ∴AB＝5，OC＝6， ∴， 故答案为：15． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，求出三点坐标是解答本题的关键． 三．解答题（共11小题，满分88分，每小题8分） 17．（8分）用适当的方法解下列方程． （1）（x﹣3）2＝2（x﹣3）； （2）x2﹣6x﹣27＝0． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）x1＝3，x2＝5； （2）x1＝9，x2＝﹣3． 【分析】（1）先移项得到（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0， x﹣3＝0或x﹣3﹣2＝0， 所以x1＝3，x2＝5； （2）（x﹣9）（x+3）＝0， x﹣9＝0或x+3＝0， 所以x1＝9，x2＝﹣3． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 18．（7分）某校举行新冠疫情防控核酸检测大演练，卫生防疫部门在该校设置A、B、C、D四个检测通道，参加演练的学生在任意一个检测通道检测的机会均等． （1）小明同学在A检测通道参加检测的概率是 　　； （2）请用画树状图或列表法求小明和小红两人不在同一检测通道参加检测的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用；运算能力． 【答案】（1）． （2）． 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小红两人不在同一检测通道参加检测的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）∵有A、B、C、D四个检测通道， ∴小明同学在A检测通道参加检测的概率是． 故答案为：． （2）画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小明和小红两人不在同一检测通道参加检测的结果有：AB，AC，AD，BA，BC，BD，CA，CB，CD，DA，DB，DC，共12种， ∴小明和小红两人不在同一检测通道参加检测的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 19．（9分）某校举办了一次成语知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，下面是这次竞赛中甲、乙两组学生（每组10人）成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表． 组别 平均数 中位数 方差 合格率 优秀率 甲组 6.8 a 3.76 90% 30% 乙组 b c 1.96 80% 20% （1）求出以上成绩统计分析表中a，b，c的值： （2）嘉淇同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属于中游略偏上！”观察上面表格判断，嘉淇是甲、乙哪个组的学生？ （3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你写出两条支持乙组同学观点的理由． 【考点】折线统计图；中位数；方差． 【专题】统计的应用；数据分析观念；运算能力． 【答案】（1）6、7.2、7.5； （2）嘉淇属于甲组学生； （3）①乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高；②乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定． 【分析】（1）由折线图中数据，根据中位数和加权平均数的定义求解可得； （2）根据中位数的意义求解可得； （3）可从平均数和方差两方面阐述即可． 【解答】解：（1）由折线统计图可知，甲组成绩从小到大排列为：3、6、6、6、6、6、7、9、9、10， ∴其中位数a＝6， 乙组学生成绩的平均分b（5×2+6×1+7×2+8×3+9×2）＝7.2； ∵乙组成绩从小到大排列为：5、5、6、7、7、8、8、8、9、9， ∴其中位数c（7+8）＝7.5； 答：统计分析表中a，b，c的值分别为：6、7.2、7.5； （2）∵甲组的中位数为6，乙组的中位数为7.5，而嘉淇的成绩位于小组中上游， ∴嘉淇属于甲组学生； （3）①乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高； ②乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定． 【点评】本题主要考查折线统计图、加权平均数、中位数及方差，熟练掌握加权平均数、中位数及方差的定义是解题的关键． 20．（8分）已知抛物线C：y＝﹣x2+bx+c经过A（1，0）和B（0，3）两点，将抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N． （1）求抛物线C的表达式； （2）请直接写出四边形ABMN的面积； （3）将抛物线C平移到抛物线C'，点A的对应点为点A'、点B的对应点为点B′且在x轴上，如果四边形ABB'A'的面积为9，求抛物线C′的表达式． 【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3； （2）5； （3）y＝﹣（x﹣3）2+1或y＝﹣（x+3）2+1． 【分析】（1）根据待定系数法求得即可； （2）利用梯形的面积和三角形面积公式求得即可； （3）由题意可知，抛物线向下平移的3个单位，且△ABB′的面积为，根据△ABB′的面积求得左右平移的距离，即可求得平移后的抛物线的解析式． 【解答】解：（1）∵抛物线C：y＝﹣x2+bx+c经过A（1，0）和B（0，3）两点， ∴，解得， ∴抛物线C的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴M（﹣1，4），N（﹣1，0）， ∴四边形ABMN的面积为：（4+3）×15． （3）由题意可知，抛物线向下平移的3个单位，且△ABB′的面积为， ∴AB′×OB，AB′×3， ∴AB′＝3， ∴C′的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+1或y＝﹣（x+3）2+1． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，求得平移的距离是解题的关键． 21．（7分）如图，在以AB为直径的半圆O中，M是的中点，C是上的点，AM、BC的延长线相交于点D．连接AC、MC． （1）求证：CM平分∠ACD； （2）若AC平分∠BAD，则∠D的大小为 　67.5　度． 【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系． 【专题】与圆有关的计算；推理能力． 【答案】（1）见解析； （2）67.5°． 【分析】（1）连接BM，根据点M半圆的中点，易得∠MAB＝∠MBA＝45°，再计算得出∠MCD＝90°﹣∠MCA＝45°＝∠MCA即可求解； （2）由（1）可知∠ACD＝90°，利用直角三角形两锐角互余，即可求解． 【解答】（1）证明：连接BM， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AMB＝∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°， ∵点M半圆的中点， ∴， ∴AM＝BM， ∴∠MAB＝∠MBA＝45°， ∴∠MCA＝∠MBA＝45°， ∴∠MCD＝90°﹣∠MCA＝90°﹣45°＝45°＝∠MCA， ∴CM平分∠ACD； （2）解：∵AC平分∠BAD，∠MAB＝45°， ∴， ∵∠ACD＝90°， ∴∠D＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴故答案为：67.5°． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握“直径所对的圆周角为直角”，“同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等”． 22．（7分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，，AC＝3，求AD的长． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】1． 【分析】由∠DBC＝∠A，BC，AC＝3可证明△CBD∽△CAB，由此可得，代入可求得CD，即可得到AD． 【解答】解：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C， ∴△CBD∽△CAB， ∴， 即， ∴CD＝2， ∴AD＝AC﹣CD＝3﹣2＝1． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，证明出△CBD∽△CAB是解题的关键． 23．（7分）已知二次函数y＝x2﹣6x+8，求： （1）抛物线与x轴、y轴相交的交点坐标． （2）抛物线的顶点坐标． （3）当x取何值时，函数值大于0？ 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识． 【答案】（1）抛物线与x轴交点为（2，0）和（4，0），抛物线与y轴交点为（0，8）； （2）抛物线的顶点坐标为（3，﹣1）； （3）当x＞4或x＜2时，函数值大于0． 【分析】（1）分别令x＝0，y＝0即可求得交点坐标． （2）把函数解析式转化为顶点坐标形势，即可得顶点坐标． （3）根据图象与x轴交点以及抛物线开口方向即可得解． 【解答】解：（1）令y＝0，得x2﹣6x+8＝0， 解得x1＝2，x2＝4， 所以抛物线与x轴交点为（2，0）和（4，0）， 令x＝0，y＝8， 所以抛物线与y轴交点为（0，8）； （2）抛物线解析式可化为：y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1， 所以抛物线的顶点坐标为（3，﹣1）； （3）∵抛物线与x轴交点为（2，0）和（4，0），开口向上， ∴当x＞4或x＜2时，函数值大于0． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是利用二次函数性质解题． 24．（8分）如图，在△PBD中，PO平分∠BPD，DE⊥PO交PO延长线于点E，∠EDB＝∠EPB，以OB为半径的⊙O的交BD于点A，已知PB＝6，DB＝8． （1）求证：PB是⊙O的切线． （2）求⊙O的半径． （3）连接BE，求BE的长． 【考点】切线的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】（1）证明见解析；（2）3；（3）2． 【分析】（1）利用直角三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）过点O作OF⊥PD于点F，设⊙O的半径为r，则OD＝BD﹣OB＝8﹣r利用角平分线的性质，全等三角形的判定定理和勾股定理解答即可； （3）利用勾股定理和相似三角形的判定与性质解答即可． 【解答】（1）证明：∵DE⊥PO， ∴∠DEP＝90°， ∴∠EDO+∠DOE＝90°， ∵∠EDB＝∠EPB，∠DOE＝∠POB， ∴∠POB+∠EPB＝90°， ∴∠PBO＝90°， ∴OB⊥PB， ∵OB为⊙O的半径， ∴PB是⊙O的切线； （2）解：过点O作OF⊥PD于点F，如图， ∵PO平分∠BPD，OF⊥PD，OB⊥PB， ∴OB＝OF＝⊙O的半径， 设⊙O的半径为r，则OD＝BD﹣OB＝8﹣r． ∵PB＝6，DB＝8，∠PBO＝90°， ∴PD10． 在△Rt△PFO和Rt△PBO中， ， ∴△Rt△PFO≌Rt△PBO（HL）， ∴PF＝PB＝6， ∴DF＝4． ∵DF2+OF2＝OD2， ∴42+r2＝（8﹣r）2， 解得：r＝3． ∴⊙O的半径为3． （3）解：∵∠EDB＝∠EPB，∠DOE＝∠POB， ∴△DEO∽△PBO， ∴， ∵∠BOE＝∠POD， ∴△BOE∽△POD， ∴， ∵PO3， ∴， ∴BE＝2． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与性质，相似三角形的判定与性质，过点O作OF⊥PD是解题的关键． 25．（7分）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径，点O为圆心．△ADC与△ABE相似吗？说明理由． 【考点】相似三角形的判定；圆周角定理；三角形的外接圆与外心． 【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力． 【答案】△ADC和△ABE相似，理由见解析过程． 【分析】由圆周角定理可得∠ABE＝90°＝∠ADC，由相似三角形的判定可求解． 【解答】解：△ADC和△ABE相似，理由如下： ∵AE是直径， ∴∠ABE＝90°＝∠ADC， ∵， ∴∠E＝∠C， ∴△ABE∽△ADC． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，圆的有关知识，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 26．（10分）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求出d的取值范围． 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识． 【答案】（1）y＝﹣0.1（x﹣2）2+1.6；（2）（2，0）；（3）． 【分析】（1）由顶点A（2，1.6）得，设y＝a（x﹣2）2+1.6，再根据抛物线过点（0，1.2），可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点（0，1.2）的对称点为（4，1.2），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，可得点B的坐标； （3）根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案． 【解答】解：（1）如图，由题意得A（2，1.6）是上边缘抛物线的顶点， 设y＝a（x﹣2）2+1.6， 又∵抛物线过点（0，1.2）， ∴1.2＝4a+1.6， ∴a＝﹣0.1， ∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣0.1（x﹣2）2+1.6； （2）∵对称轴为直线x＝2， ∴点（0，1.2）的对称点为（4，1.2）， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的， ∴点B的坐标为（2，0）； （3）∵EF＝0.5， ∴点F的纵坐标为0.5， ∴0.5＝﹣0.1（x﹣2）2+1.6，解得， ∵x＞0， ∴， 当x＞2时，y随x的增大而减小， ∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5， 则， ∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.2＞0.5， ∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则， ∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴d的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB， ∴d的最小值为2， 综上所述，d的取值范围是． 【点评】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． 27．（10分）如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）在图1中，借助于网格，只用无刻度的直尺作等腰直角△BCD； （2）在图2中，借助于网格，只用无刻度的直尺作∠A的角平分线AE； （3）在图3中，每个小正方形的边长为1，借助于网格，或用尺规作图在AC边上求作一点F，使得AF•AC＝16． 【考点】三角形综合题． 【专题】尺规作图；几何直观；推理能力． 【答案】（1）见解答； （2）见解答； （3）见解答． 【分析】（1）先根据勾股定理求出BC的长，再作图； （2）根据角平分线的性质作图； （3）根据相似三角形的性质作图． 【解答】解：（1）如图，BC＝BD，∠CBD＝90°，即△BCD是等腰直角三角形； （2）取格点E，连接AE，BE＝2， ∵AC5，S△AEC＝4×42×13×4＝5， ∴△ACE的AC边上的高为2， ∴AE平分∠BAC； （3）如图，取格点M，N，连接MN交AC于点F， 由图可知MN⊥AC，则∠AMF＝∠ACM， 又∵∠MAF＝∠CAM， ∴△MAF∽△CAM， ∴， ∴， ∴AF•AC＝16． 【点评】本题考作图的应用和设计，勾股定理，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，相似三角形的性质，掌握网格线的特征是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$