2025年安徽省中考数学一轮复习梳理基础知识点 课件 第四章　三角形 第五节 相似三角形

2025年安徽省中考数学一轮复习 梳理基础知识点 第四章　三角形 第五节　相似三角形 1 教材知识精讲 3 典例串讲训练 2 中考真题在线 目录 1 教材知识精讲 点击回到目录 知识点 1 比例线段及比例的性质 线段 的比 用同一长度单位度量两条线段a，b，得到它们的长度，我们把这两条线段的______的比叫做这两条线段的比，记作或a∶b 比例 线段 ①在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 ②在三条线段a，b，c中，如果a与b的比等于b与c的比，即＝，那么线段b叫做线段a，c的比例中项，此时有b2＝ac 长度 点击回到目录 比例 的性 质 ①基本性质：＝⇔ad＝　 　（bd≠0） ②合比性质：如果＝，那么＝　 （bd≠0） ③等比性质：如果＝＝…＝，且b1＋b2＋…＋bn≠0，那么＝______ bc 　 （续表） 点击回到目录 黄 金 分 割 把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做黄金分割点，比值________叫做黄金数 拓展： ①黄金三角形：底角为36°的等腰三角形和顶角为36°的等腰三角形是黄金三角形 ＝＝_______　 ②黄金矩形：宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形 （续表） 点击回到目录 知识点 2 平行线分线段成比例 1.平行线等分线段：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 2.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.   如图，l1∥l2∥l3，则有＝，＝，＝. 点击回到目录 3.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例. 如图，DE∥BC，则＝，＝， ＝. 点击回到目录 知识点 3 相似三角形 相似 三角 形　 定义 相似多边形的定义：一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的 对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多 边形. 相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数 相似三角形是最简单的相似多边形 点击回到目录 相似 三角 形　 判定 ①平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交， 截得的三角形与原三角形相似 ②定理1：两角分别相等的两个三角形相似 ③定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 ④定理3：三边成比例的两个三角形相似 ⑤如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的 斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 （续表） 点击回到目录 相似 三角 形　 性质 ①相似三角形的对应角相等，对应边成比例 ②定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ③定理2：相似三角形周长的比等于相似比 ④定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方 （续表） 点击回到目录 知识点 4 证明三角形相似的思路 点击回到目录 2 中考真题在线 命题点 1 与相似三角形有关的计算 1.（2023·安徽）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G.若AF＝2，FB＝1，则MG＝（　　）   A.2 B. C.＋1 D. B 点击回到目录 2.（2022·安徽）如图，四边形ABCD是正方形，点E在 边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形， EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD 的延长线于点G.连接DF，请完成下列问题： （1）∠FDG＝　 　； （2）若DE＝1，DF＝2，则MN＝　 . 45° 点击回到目录 命题点 2 与相似三角形有关的证明 3.（2024·安徽）如图1，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M， N分别在边AD，BC上，且AM＝CN.点E，F分别是BD与AN，CM的 交点. （1）求证：OE＝OF； 【解答】（1）证明：由题意得，AD∥BC，AM∥CN，OA＝OC. 又AM＝CN，∴四边形AMCN是平行四边形，∴AN∥CM，∴∠OAE＝∠OCF. 在△AOE与△COF中，∵OA＝OC，∠OAE＝∠OCF，∠AOE＝∠COF. ∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF； 点击回到目录 （2）连接BM交AC于点H，连接HE，HF. （i）如图2，若HE∥AB，求证：HF∥AD； 【解答】（2）（i）证明：∵HE∥AB，∴， ∵OB＝OD，OE＝OF，∴. 又∠HOF＝∠AOD，∴△HOF∽△AOD，∴∠OHF＝∠OAD， ∴HF∥AD； 点击回到目录 （ii）如图3，若▱ABCD为菱形，且MD＝2AM， ∠EHF＝60°，求的值. 【解答】（ii）∵ ▱ ABCD为菱形，∴AC⊥BD. 又OE＝OF，∠EHF＝60°，∴∠EHO＝∠FHO＝30°， ∴OH＝OE. ∵AM∥BC，MD＝2AM， ∴，即HC＝3AH， ∴OA＋OH＝3（OA－OH）， ∴OA＝2OH. 又BN∥AD，MD＝2AM，AM＝CN，∴，即3BE＝2ED， ∴3（OB－OE）＝2（OB＋OE）， ∴OB＝5OE， ∴. 点击回到目录 3 典例串讲训练 如图，在△ABC中，EF∥BC，EG∥AB， ＝.若G是DC的中点，求的值. 【解答】∵EF∥BC，∴. ∵EG∥AB，∴. ∵DG＝GC，∴，∴， ∴，∴. 点击回到目录 利用平行线找比例式，“对应线段”要正确；在求线段比的问题中，设“k”法很重要，也很实用，如本题在得到＝时，可设BG＝3k，GC＝DG＝2k来解答. 点击回到目录 1.如图，a∥b∥c，若＝，则下面结论错误的是（　　）   A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ C 点击回到目录 （相似三角形的判定）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC.   【解答】证明：∵BE＝BC， ∴∠C＝∠CEB. ∵∠CEB＝∠AED，∴∠C＝∠AED. ∵AD⊥BE，∴∠D＝∠ABC＝90°， ∴△ADE∽△ABC. 点击回到目录 利用条件找三角形相似时，先把已知相等的角或比例中的线段化归到两个三角形中，再找这两个三角形相似的第二个条件. 点击回到目录 2.如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（　　） A.∠B＝∠D B.∠C＝∠AED C.AB·BC＝AD·DE D.AB·AE＝AD·AC C 点击回到目录 3.（2024·重庆A）如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝CA，过点D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F.若∠CAB＝∠CFA，CF＝1，则BF＝　 . 3　 点击回到目录 （相似三角形的性质）如图，在小正方形边长均为1的4×4的网格中，△ABC是一个格点三角形.如果△DEF，△GHI是该网格中与△ABC相似的格点三角形，且△DEF的面积S1最大，△GHI的面积S2最小，求的值. 点击回到目录 【解答】由图可知，AB＝，BC＝2，AC＝. ∵△DEF，△GHI是该网格中与△ABC相似的格点三角形，且△DEF的面积S1最大，△GHI的面积S2最小，可如图所示作出△DEF，△GHI， ∴DE＝，DF＝，EF＝＝5， ∴， ∵△DEF∽△BAC，∴. 同理可得GH＝1，HI＝，GI＝，且△HGI∽△BAC， ∴， ∴S△HGI∶S△ABC∶S△DEF＝1∶2∶5， ∴＝5. 点击回到目录 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，若点D为直线AC左侧一点，当△ABC∽△CAD时，则BC＋CD的最大值为（　　）   A. B. C. D. B 点击回到目录 （相似三角形的综合题）已知点D，E分别 在△ABC的边BC，AB的延长线上，CD＝BE，F为AC 上一点，且∠EDF＝∠ACB. （1）如图1，若AB＝AC，求证：DE＝DF； 【解答】（1）证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠EBD＝∠FCD，∵∠EDF＝∠ACB，∴∠EDB＋∠FDB＝∠F＋∠FDB，∴∠EDB＝∠F. ∵CD＝BE， ∴△FCD≌△DBE（AAS）， ∴DE＝DF； 点击回到目录 （2）如图2，若AB≠AC，求证：＝. 点击回到目录 【解答】（2）如图，过点E作EM∥AC交DB的延长线于点M，在BM上取点N使EN＝ME，∵EM∥AC，∴∠FCB＝∠M， ∵ME＝NE，∴∠M＝∠MNE， ∴∠MNE＝∠FCM， ∴∠FCD＝∠END， ∵∠EDF＝∠ACB， ∴∠EDB＋∠FDC＝∠FDC＋∠F， ∴∠EDB＝∠F， ∴△FCD∽△DNE， ∴. 点击回到目录 ∵EN＝EM，CD＝BE， ∴， ∵∠ABC＝∠NBE，∠M＝∠ACB， ∴△BAC∽△BEM， ∴， ∴. 点击回到目录 5.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，AD与BE交于点F，且∠AFE＝60°，连接CF. 点击回到目录 （1）求证：AE＝CD； 【解答】（1）证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠AFE＝60°， ∴∠BAE＝∠AFE，AB＝CA，∠BAE＝∠ACD， 又∵∠AEB＝∠FEA，∴180°－∠BAE－∠AEB＝180°－∠AFE－∠FEA，即∠ABE＝∠CAD. 在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD（ASA），∴AE＝CD； （续表） 点击回到目录 （2）若CF＝CE，求证：BD2＝BC·CD. 【解答】（2）∵△ABC是等边三角形，由（1）知△ABE≌△CAD， ∴AE＝CD，∠AEB＝∠CDA， ∴AC－AE＝BC－CD，即CE＝BD. ∵∠AEB＝180°－∠CEF，CF＝CE，∠CFB＝180°－∠CFE， ∴∠CEF＝∠CFE，CF＝BD，∠AEB＝∠CDA＝∠CFB， 又∵∠FCD＝∠BCF， ∴△FCD∽△BCF，∴， ∴CF2＝BC·CD，∴BD2＝BC·CD. （续表） 点击回到目录 $$