2025年安徽省中考数学一轮复习梳理基础知识点 第三章　函数及其图象 第三节 反比例函数

2025年安徽省中考数学一轮复习 梳理基础知识点 第三章　函数及其图象 第三节　反比例函数 1 教材知识精讲 3 典例串讲训练 2 中考真题在线 目录 1 教材知识精讲 点击回到目录 知识点 1 反比例函数的概念 一般地，形如y＝（k为常数，且k≠0）的函数叫做反比例函数.反比例函数自变量x的取值范围是　 　. x≠0 点击回到目录 知识点 2 反比例函数的图象与性质 k的取值范围 k＞0 k＜0 图象 图象无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交 性质 图象分布在第　 　象限 图象分布在第　 　象限 在每一个象限内，y随x的增大而_____ 在每一个象限内，y随x的增大而_____　 反比例函数的图象是　 　图形（对称轴是直线y＝x或y＝－x），也是_________图形（对称中心是　 ） 一、三 二、四 减小 增大 轴对称 中心对称 坐标原点 点击回到目录 知识点 3 反比例函数y＝ （ ≠0）中系数 的几何意义 如图，点P（x，y）是反比例函数y＝（k≠0）的图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，B，则矩形OAPB的面积＝OA·OB＝·＝＝，即＝矩形OAPB的面积. 点击回到目录 知识点 4 反比例函数表达式的确定 1.用待定系数法 ①设：设反比例函数的一般形式为y＝（k≠0）； ②代：将x，y的对应值代入y＝，建立关于k的方程； ③求：解方程求得k的值； ④写：写出反比例函数的表达式. 2.利用k的几何意义 根据图形的面积确定的值，再结合图象所在象限判断　 　，从而确定_______的值，代入得到反比例函数的表达式. k的正负 k 点击回到目录 知识点 5 反比例函数的实际应用 解题 步骤 ①分析实际问题中变量之间的关系； ②建立反比例函数模型； ③用反比例函数的有关知识解答，注意利用反比例函数两变量之积是定值的性质，算出定值 点击回到目录 常见的 实际应 用问题 行程问题：速度＝； 工程问题：工作效率＝； 压强问题：压强＝； 电学问题：电阻＝ （续表） 点击回到目录 2 中考真题在线 命题点 1 反比例函数表达式的确定 1.（2023·安徽）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C. 点击回到目录 （1）k＝　 ； 【解答】（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°， ∴OB＝4，OA＝2，∴A（2，0），B（2，2）. ∵C是OB的中点， ∴OC＝BC＝AC＝2.如图，过点C作CP⊥OA于P，易证 △OPC≌△APC（HL），∴OP＝AP＝OA＝. 在Rt△OPC中，PC＝＝1，∴C（，1）.∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C，∴1＝，解得k＝； 点击回到目录 （2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2－BD2的值为 　. 【解答】（2）设直线AC的表达式为y＝kx＋b（k≠0），则解得 ∴直线AC的表达式为y＝－x＋2.∵AC∥BD，∴直线BD的表达式为y＝－x＋4.∵点D既在反比例函数图象上，又在直线BD上， ∴联立解得当D的坐标为（2＋3，2－）时，BD2＝（2＋3－2）2＋（2－－2）2＝9＋3＝12，∴OB2－BD2＝16－12＝4；当D的坐标为（2－3，2＋）时，BD2＝（2－3－2）2＋（2＋－2）2＝9＋3＝12，∴OB2－BD2＝16－12＝4. 综上，OB2－BD2＝4. 4 点击回到目录 2.（2022·安徽）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝的图象经过点C，y＝的图象经过点B.若OC＝AC，则k＝ 　. 3 点击回到目录 命题点 2 反比例函数与一次函数的综合应用 3.（2024·安徽）已知反比例函数y＝（k≠0）与一次函数y＝2－x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（　　） A.－3 B.－1 C.1 D.3 A 点击回到目录 4.（2021·安徽）已知正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y＝的图象都经过点A（m，2）. 点击回到目录 （1）求k，m的值； 【解答】（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式中，得2m＝6，∴m＝3，∴A（3，2）， 将点A的坐标代入正比例函数表达式中，得2＝3k，∴k＝； 点击回到目录 （2）在图中画出正比例函数y＝kx的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围. 【解答】 （2）如图：       ∴正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围是x＞3或－3＜x＜0. 点击回到目录 5.（2020·安徽）如图，一次函数y＝x＋k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴，垂足分别为点D，E.当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为　 　. 2 点击回到目录 3 典例串讲训练 已知点M（2，a）在反比例函数y＝的图象上，其中a，k为常数，且k＜0，则点M一定在（　　） 　　A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D 点击回到目录 1.（2024·重庆A）已知点（－3，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k的值为（　　） A.－3 B.3 C.－6 D.6 C 点击回到目录 （2023·天津）若点A（x1，－2），B（x2，1），C（x3，2）都在反比例函数y＝－的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） 　　A.x3＜x2＜x1 B.x2＜x1＜x3 C.x1＜x3＜x2 D.x2＜x3＜x1 D 点击回到目录 分别将点A，B，C的坐标代入反比例函数的表达式中求出x2，x3，x1，然后再比较它们的大小即可得出答案.本题也可以通过作出函数图象，然后通过图象直观得出x1，x2，x3之间的大小关系. 点击回到目录 2.在反比例函数y＝的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则k的取值范围是（　　） A.k＜0 B.k＞0 C.k＜4 D.k＞4 C 点击回到目录 如图，反比例函数y＝（x＜0）与一次函数y＝－2x＋m的图象交于点A（－1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C. 点击回到目录 （1）求反比例函数y＝与一次函数y＝－2x＋m的表达式； 【解答】（1）∵反比例函数y＝（x＜0）与一次函数y＝ －2x＋m的图象交于点A（－1，4），∴4＝，4＝－2×（－1）＋m， ∴k＝－4，m＝2， ∴反比例函数的表达式为y＝－，一次函数的表达式为y＝－2x＋2； 点击回到目录 （2）当OD＝1时，求线段BC的长. 【解答】（2）∵BC⊥y轴于点D，∴BC∥x轴. ∵OD＝1，∴B，C两点的纵坐标为1， ∴B（－4，1），C， ∴BC＝＋4＝. 点击回到目录 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键. 点击回到目录 3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b（a＜0）与反比例函数y＝（k≠0）交于A（－m，3m），B（4，－3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB. 点击回到目录 （1）求反比例函数和一次函数的表达式； 【解答】（1）∵点B（4，－3）在反比例函数 y＝ 的图象上，∴－3＝，∴k＝ －12， ∴反比例函数的表达式为 y＝－. ∵A（－m，3m）在反比例函数 y＝－ 的图象上，∴3m＝－， ∴m1＝2，m2＝－2 （舍去）， ∴点A的坐标为（－2，6）. ∵点A，B在一次函数y＝ax＋b的图象上，把点 A（－2，6），B（4，－3）分别代入，得解得 ∴一次函数的表达式为y＝－x＋3； （续表） 点击回到目录 （2）求△AOB的面积； 【解答】（2）∵点C为直线AB与y轴的交点，∴OC＝3.∴·OC·｜xA｜＋·OC·｜xB｜＝×3×2＋×3×4＝9； （3）请根据图象直接写出不等式＜ax＋b的解集. 【解答】（3）由图象得，不等式＜ax＋b的解集为x＜－2或0＜x＜4. （续表） 点击回到目录 （2024·宣城模拟）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）.下列说法正确的是（　　） 　　 A.当液体密度ρ≥1 g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20 cm B.当液体密度ρ＝2 g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40 cm C.当浸在液体中的高度0＜h≤25 cm时，该液体的密度ρ≥0.8 g/cm3 D.当液体的密度0＜ρ≤1 g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20 cm C 点击回到目录 4.（2024·安徽三模）力F作用于物体，产生的压强P与物体受力面积S之间满足关系式F＝PS，当F一定时，根据表格可以判断a和b的大小关系为（　　） A.a＞b B.a≥b C.a＜b D.a≤b S（m2） 5 20 30 40 60 P（Pa） 800 ■ a ■ b A 点击回到目录 $$