2025年安徽省中考数学一轮复习梳理基础知识点 第三章　函数及其图象 微专题三 含字母系数的函数问题

2025年安徽省中考数学一轮复习 梳理基础知识点 第三章　函数及其图象 微专题三　含字母系数的函数问题 类 型 一 函数定点问题 1.对于一次函数恒过定点问题，表达式可化成y－b＝k（x－a）的形式，令x＝a，y＝b，无论k取任何不为0的实数，等式恒成立，函数图象恒过定点（a，b）. 2.对于二次函数恒过定点问题，表达式可化成y＝a（x＋b）2＋c的形式，令x＝ －b，y＝c，无论a取任何不为0的实数，等式恒成立，函数图象恒过定点（－b，c）. （1）直线y＝（1－2m）x＋m－1，不论m取何值，该直线必定经过（　　） 　　A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 （2）抛物线y＝ax2＋3ax－1的对称轴为直线　 　；恒过定点_________和　 　. D x＝－ （0，－1） （－3，－1） 1.已知一次函数y＝kx－k＋1（k≠0）. （1）无论k取何非零的值，一次函数的图象都经过一定点，则这个点的坐标是　 　； （2）若直线l向下平移2个单位后过点（2，m），且不等式kx－k＋1＜m的解集为x＞5，则k＝　 　. 2.已知抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋b－a（a≠0）. （1）抛物线经过的定点是　 　； （2）当a＜0时，若该定点是抛物线的顶点，抛物线上有两点（2，y1），（m，y2），y1＜y2，则m的取值范围是　 　. （1，1） － （－1，0） －4＜m＜2 类 型 二 二次函数最值问题 1.轴定区间动：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）（a，b，c是定值），在m≤x≤n（m，n均为参数）上的最值问题：当区间在对称轴左侧（右侧），离对称轴越近的点函数值越小；当区间包含对称轴时，在对称轴处取得最小值，再比较区间两端点离对称轴的距离，离对称轴越远的点，函数值越大. 2.轴动区间定：当m≤x≤n（m，n均为定值）时，求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的二次项系数或一次项系数含参时的最值，比较函数图象对称轴与所给x的取值范围的大小，进行分类讨论，方法同上. （1）当a≤x≤a＋1时，二次函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为（　　） A.－1 B.2 C.0或2 D.－1或2 （2）已知关于x的二次函数y＝－x2＋2tx－1，当－2≤x≤2时，y有最大值2t，则t的值为　 　. D －＋1或 3.已知二次函数y＝x2＋2x＋2，当－1≤x≤t时，y有最大值4，则t的值为　 . 4.（2024·威海）已知抛物线y＝x2＋bx＋c（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2. （1）若抛物线y1＝x2＋bx＋c＋1（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x3＜x4，试判断下列每组数据的大小（填“＜”“＝”或“＞”）： ①x1＋x2　　　　x3＋x4，②x1－x3　　　　x2－x4，③x2＋x3　　　　x1＋x4； －1 【解答】（1）∵y＝x2＋bx＋c（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2， ∴x1＋x2＝－b，且抛物线开口向上， ∵y1＝x2＋bx＋c＋1（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x3＜x4， 即y＝x2＋bx＋c（b＜0）向上平移1个单位， ∴x1＜x3＜x4＜x2，且x3＋x4＝－b，∴①x1＋x2＝x3＋x4， ∵x2－x1＞x4－x3，∴x2－x4＞x1－x3， 即②x1－x3＜x2－x4，∴③x2＋x3＞x1＋x4. 故答案为：＝，＜，＞. （续表） （2）若x1＝1，2＜x2＜3，求b的取值范围； 【解答】（2）∵x1＝1，2＜x2＜3，∴3＜x2＋x1＜4，∴3＜－b＜4，∴－4＜b＜ －3. （3）当0≤x≤1时，y＝x2＋bx＋c（b＜0）的最大值与最小值的差为，求b的值. 【解答】（3）抛物线y＝x2＋bx＋c（b＜0）的顶点坐标为，对称轴为直线x＝－＞0， 当x＝0时，y＝c；当x＝1时，y＝1＋b＋c， ①当0＜－，即－1≤b＜0时，y在x＝1处取得最大值，在顶点处取得最小值， 则1＋b＋c－，解得b＝－（舍去）或b＝－； （续表） ②当＜－＜1，即－2＜b＜－1时，y在x＝0处取得最大值，在顶点处取得最小值， 则c－，解得b＝（舍去）或b＝－； ③当－≥1，即b≤－2时，y在x＝0处取得最大值，在x＝1处取得最小值， 则c－（1＋b＋c）＝，解得b＝－（舍去）. 综上，b的值为－或－. （续表） 类 型 三 二次函数交点问题 1.抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解，纵坐标为0. 2.抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线x＝m交点的横坐标的值是m，纵坐标的值是当x＝m时，对应的y的值. 3.抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线y＝m或y＝kx＋b（k≠0）的交点情况，联立抛物线表达式和直线表达式，构成方程组，消去一元（通常消去y）后，得到一个一元二次方程，利用b2－4ac进行判断，当b2－4ac＞0时，抛物线与直线有两个交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与直线有唯一交点；当b2－4ac＜0时，抛物线与直线无交点. 已知抛物线y＝ax2－2x＋1（a≠0）的对称轴为直线x＝1. （1）求a的值； 【解答】 （1）根据题意可知，抛物线y＝ax2－2x＋1（a≠0）的对称轴为直线：x＝－＝1，∴a＝1； （2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且－1＜x1＜0，1＜x2＜2.比较y1与y2的大小，并说明理由； 【解答】（2）由（1）可知，抛物线的表达式为：y＝x2－2x＋1＝（x－1）2，∵a＝1＞0，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小， ∵－1＜x1＜0，1＜x2＜2，结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，距离对称轴越远，函数值越大，∴y1＞y2； （3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2－2x＋1交于点A，B，与抛物线y＝3（x－1）2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比. 【解答】（3）联立y＝m（m＞0）与y＝x2－2x＋1＝（x－1）2，可得A（1＋，m），B（1－，m），∴AB＝2，联立y＝m（m＞0）与y＝3（x－1）2，可得C，D，∴CD＝2×，∴. 5.（2024·长春）若抛物线y＝x2－x＋c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是　 　. 6.已知一次函数y＝－x＋2a＋1的图象与二次函数y＝x2－ax的图象交于M，N两点. （1）若点M的横坐标为2，则a的值为　 ； （2）若点M，N均在x轴的上方，则a的取值范围为　 　. c＞ a＞－ $$