2025年安徽省中考数学一轮复习梳理基础知识点 第三章　函数及其图象 第五节 二次函数的实际应用

2025年安徽省中考数学一轮复习 梳理基础知识点 第三章　函数及其图象 第五节　二次函数的实际应用 1 教材知识精讲 3 典例串讲训练 2 中考真题在线 目录 1 教材知识精讲 点击回到目录 知识点 1 增长率问题 熟记y＝a（1±x）2，其中a为原始量，x表示　 　，y表示变化的量. 平均增长率（或降低率） 点击回到目录 知识点 2 利润问题 单位利润＝单价－进价（成本）； 总销售额＝单价×数量，总成本＝进价×数量； 总利润＝单位利润×　 　＝　 　－总成本. 销售数量 总销售额 点击回到目录 知识点 3 抛物线型问题 建立方便求解的平面直角坐标系，结合题意找出抛物线上特殊点的坐标，代入求出抛物线的表达式，再利用二次函数的图象和性质解决实际问题. 点击回到目录 知识点 4 几何图形面积问题 利用几何知识，用自变量表示出图形的面积建立二次函数模型，根据二次函数的性质解答即可. 点击回到目录 2 中考真题在线 命题点 1 增长率问题 1.（2014·安徽）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y＝ 　. a（1＋x）2 点击回到目录 命题点 2 销售利润问题 2.（2018·安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆.售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元.调研发现： ①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元； ②花卉的平均每盆利润始终不变. 小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）. 点击回到目录 （1）用含x的代数式分别表示W1，W2； 【解答】（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（50＋x）盆，花卉有（50－x）盆， ∴W1＝（50＋x）（160－2x）＝－2x2＋60x＋8 000，W2＝19（50－x）＝－19x＋950； 点击回到目录 （2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大？最大总利润是多少？ 【解答】（2）根据题意，得： W＝W1＋W2＝－2x2＋60x＋8 000－19x＋950＝－2x2＋41x＋8 950＝， ∵－2＜0，且x为整数，∴当x＝10时，W取得最大值，最大值为9 160. 答：当x＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是9 160元. 点击回到目录 命题点 3 几何图形面积问题 3.（2022·安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED 和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米. 以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立 平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米.E（0，8） 是抛物线的顶点. （1）求此抛物线对应的函数表达式； 【解答】（1）由题意可得：A（－6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是抛物线的顶点，∴设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8， 将A（－6，2）代入，得（－6）2a＋8＝2，解得a＝－，∴抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋8； 点击回到目录 （2）在隧道截面内（含边界）修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等.栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题： （ⅰ）修建一个“ ”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上.设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值； 点击回到目录 【解答】（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，∴P2的坐标为（m，－m2＋8），∴P1P2＝P3P4＝MN＝－m2＋8，P2P3＝2m，∴l＝3（－m2＋8）＋2m＝－m2＋2m＋24＝－（m－2）2＋26，∵－＜0，∴当m＝2时，l有最大值为26，即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝－m2＋2m＋24，l的最大值为26； 点击回到目录 （ⅱ）现修建一个总长为18米的栅栏，有如图3所示的“ ”型和“ ”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）. 点击回到目录 【解答】 （ⅱ）方案一：设P1P2＝n，则P2P3＝18－3n，∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，∵－3＜0，∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，此时P1P2＝3，P2P3＝9，令－x2＋8＝3，解得x＝±，∴此时P1的横坐标的取值范围为－＋9≤x≤； 方案二：设P1P2＝n，则P2P3＝＝9－n，∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝ －n2＋9n＝－，∵－1＜0，∴当n＝时，矩形面积有最大值为，此时P1P2＝，P2P3＝， 令－x2＋8＝，解得x＝±， ∴此时点P1的横坐标的取值范围为－≤x≤. 点击回到目录 3 典例串讲训练 （销售利润问题）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）.经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件. （1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式； 【解答】（1）根据题意得：w＝（x－8）·（24－x）－60＝－x2＋32x－252 . 点击回到目录 （2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件. ①求该产品第一年的售价； 【解答】（2）①∵该产品第一年利润为4万元， ∴4＝－x2＋32x－252，解得x＝16， 答：该产品第一年的售价是16元/件. 点击回到目录 ②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？ 【解答】②∵第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件， ∴解得11≤x≤16， 设第二年利润是ω'万元， ω'＝（x－6）（24－x）－4＝－x2＋30x－148， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝15， 又11≤x≤16，∴x＝11时，ω'有最小值，最小值为（11－6）×（24－11）－4＝61（万元）， 答：第二年的利润最少为61万元. 点击回到目录 若销售利润问题中有固定投资（或固定成本），则总利润＝单位利润×销售数量－固定投资（固定成本），根据此数量关系建立函数关系式，再根据二次函数的图象和性质解决实际问题. 点击回到目录 1.某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元.经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … 点击回到目录 （1）求y与x之间的函数关系式； 【解答】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0）， 由题意得，解得 ∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋60. （续表） 点击回到目录 （2）设销售这种文具每天获利ω（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【解答】（2）ω＝（x－10）（－2x＋60）＝－2x2＋80x－600＝－2（x－20）2＋200， ∵－2＜0，∴抛物线开口向下， 又对称轴为直线x＝20，∴当10≤x≤19时，ω随x的增大而增大， ∴当x＝19时，ω有最大值，ω最大＝198. 答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元. （续表） 点击回到目录 （几何图形面积问题）如图，抛物线过点 O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE 上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上.设B（t，0）， 当t＝2时，BC＝4. （1）求抛物线的函数表达式； 【解答】（1）设抛物线的函数表达式为y＝ax（x－10）， ∵当t＝2时，BC＝4，∴点C的坐标为（2，－4）， ∴将点C坐标代入表达式得2a（2－10）＝－4，解得a＝， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2－x； 点击回到目录 （2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？ 【解答】（2）由抛物线的对称性得AE＝OB＝t，∴AB＝10－2t. 当x＝t时，点C的纵坐标为t2－t， ∴矩形ABCD的周长＝2（AB＋BC）＝2［（10－2t）＋（－t2＋t）］＝－t2＋t＋20＝－（t－1）2＋. ∵－＜0，∴当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为； 点击回到目录 （3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离. 【解答】如图，连接AC，BD相交于点P， 连接OC，取OC的中点Q，连接PQ， ∵t＝2，∴B（2，0），∴A（8，0）. ∵直线GH平分矩形ABCD的面积， ∴直线GH过点P. 点击回到目录 由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，∴OC∥GH. 又P，Q分别是AC，OC的中点， ∴PQ∥OA，PQ＝OA. ∴四边形OQPG是平行四边形， ∴PQ＝OG，∴OG＝PQ＝OA＝4， ∴抛物线向右平移的距离是4个单位. 点击回到目录 （1）由原点及点E的坐标设抛物线的交点式，再把点C的坐标（2，－4）代入计算可得；（2）由抛物线的对称性得AE＝OB＝t，据此知AB＝10－2t，再由x＝t时，BC＝t2－t，根据矩形的周长公式列出函数表达式，配方成顶点式即可；（3）连接AC，BD相交于点P，连接OC，取OC的中点Q，连接PQ，根据直线GH平分矩形ABCD的面积，得到直线GH过点P，由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，又P，Q分别是AC，OC的中点，从而证得四边形OQPG是平行四边形，得到PQ＝OG，求得PQ即可. 点击回到目录 （抛物线型问题）电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似地看成抛物线的形状.如图，在一个斜坡BD上按水平距离间隔60米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为27米（AB＝CD＝27米），以过点A的水平线为x轴，水平线与电缆的另一个交点为原点O建立平面直角坐标系，如图所示.经测量，AO＝40米，斜坡高度12米（即B，D两点的铅直高度差）. 点击回到目录 结合上面信息，回答问题： （1）若以1米为一个单位长度，求点D的坐标和下垂电缆的抛物线表达式； 【解答】（1）由题意得，OA＝40米，AE＝60米，AB＝CD＝27米，AB－DE＝12米，AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴DE＝27－12＝15（米），OE＝60－40＝20（米），∴D（20，－15）， ∵CE＝CD－DE＝27－15＝12（米），∴C（20，12）. ∵A（－40，0），O（0，0），∴设下垂电缆的抛物线表达式为y＝ax（x＋40）， 将点C的坐标代入，得20a（20＋40）＝12，解得a＝， ∴y＝x（x＋40）＝x2＋x； 点击回到目录 （2）若电缆下垂的安全高度是13.5米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5米时，符合安全要求，否则存在安全隐患.（说明：直线GH⊥x轴分别交直线BD和抛物线于点H，G.点G距离坡面的铅直高度为GH的长），请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由. 点击回到目录 【解答】（2）这种电缆的架设符合安全要求，理由如下： 由（1）知y＝x2＋x，B（－40，－27），D（20，－15）， 设斜坡BD的表达式为y＝kx＋b， 将B，D两点的坐标代入，得解得 ∴斜坡BD的表达式为y＝x－19， 则电缆与坡面的铅直高度GH＝x2＋x－x2＋x＋19＝（x＋10）2＋18， ∵＞0， ∴当x＝－10时，GH有最小值18， ∵18＞13.5， ∴这种电缆的架设符合安全要求. 点击回到目录 在已知的平面直角坐标系中，将实际问题中的条件转化为点的坐标，求出函数表达式，再利用函数知识解决实际问题，实际问题与函数知识之间的相互转化是顺利解题的关键. 点击回到目录 2.如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺 母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米， 最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5 米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的 距离AE为（　　） A.3.2米 B.3米 C.2.8米 D.2.5米 A 点击回到目录 3.（2024·合肥模拟）为了丰富学生的课余生活，加强同学们户外锻炼的意识，学校举办了排球赛.如图，已知学校排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.7米的点C向正前方做抛物线运动，当排球运行至离点O的水平距离OE为5米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系. （续表） 点击回到目录 （1）这名队员发球后，当球上升的最大高度为3.7米时，他此次发球是否会过网？请说明理由； 【解答】（1）他此次发球会过网.理由如下： 由题意得，抛物线的顶点坐标为（5，3.7）， 则设抛物线的表达式为y＝a（x－5）2＋3.7， 将C（0，1.7）代入表达式，得1.7＝a（0－5）2＋3.7，解得a＝－， ∴y＝－（x－5）2＋3.7. ∵OD＝18，点A为OD中点，∴OA＝9. 将x＝9代入表达式，得y＝－（9－5）2＋3.7＝2.42. ∵2.42＞2.24，∴他此次发球会过网； （续表） 点击回到目录 （2）在（1）的条件下，对方距球网1米的点F处站有一队员，他起跳后够到的最大高度为2.02米，则这次他是否可以拦网成功（假设他够到球一定拦网成功）？请通过计算说明. 【解答】（2）这次他可以拦网成功.理由如下： OF＝OA＋AF＝9＋1＝10（米）. 将x＝10代入y＝－（x－5）2＋3.7，得y＝1.7， ∵2.02＞1.7，∴他可以拦网成功. （续表） 点击回到目录 $$