2025年安徽省中考数学一轮复习梳理基础知识点 第三章　函数及其图象 第四节 二次函数的图象与性质

2025年安徽省中考数学一轮复习 梳理基础知识点 第三章　函数及其图象 第四节　二次函数的图象与 性质 1 教材知识精讲 3 典例串讲训练 2 中考真题在线 目录 1 教材知识精讲 点击回到目录 知识点 1 二次函数的概念 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数叫做x的二次函数，其中　 是自变量. x 点击回到目录 知识点 2 二次函数的图象与性质 1.二次函数的图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是一条　　 . 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，且a≠0）的性质 a的符号 a＞0 a＜0 开口方向 向_____　 向_____　 顶点坐标 对称轴 直线x＝__________ 　上 下 － 抛物线 点击回到目录 增 减 性 x＜－ y随x的增大而_______　 y随x的增大而______　 x＞－ y随x的增大而_______ y随x的增大而_______ 最值 当x＝－时，y有最______　值，为_________　 当x＝－时，y有最______　值，为_________　 减小 增大 减小 增大 小 大 （续表） 点击回到目录 3.抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与系数a，b，c的关系 a决定抛物线的开口方向和开口大小 a＞0，抛物线开口_____ a＜0，抛物线开口_____ 越大，抛物线的开口______　 越小，抛物线的开口______　 a，b决定抛物线的 对称轴的位置 a，b同号，对称轴在y轴______　 a，b异号，对称轴在y轴______ b＝0，对称轴为_____ 向上 向下 越小 越大 左侧 右侧 y轴 点击回到目录 c决定抛物线与y轴交点的位置 c＞0，抛物线与y轴交于________　 c＜0，抛物线与y轴交于________　 c＝0，抛物线过_______　 b2－4ac决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0，抛物线与x轴有　 　个交点 b2－4ac＝0，抛物线与x轴有　 　个交点 b2－4ac＜0，抛物线与x轴　 　交点 正半轴 负半轴 原点 2 1 没有 （续表） 点击回到目录 知识点 3 二次函数的表达式 1.三种形式： ①一般式：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，且a≠0）； ②顶点式：y＝a（x＋h）2＋k（a≠0），其顶点坐标为　 　； ③交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），其中x1，x2是抛物线与　 　轴交点的横坐标. 2.求法：待定系数法. （－h，k） x 点击回到目录 知识点 4 二次函数图象的平移 1.平移只改变抛物线的顶点位置，而抛物线的形状、开口方向和开口大小______. 2.平移规律： 不变 点击回到目录 知识点 5 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1.二次函数与一元二次方程 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与　 　交点的　 　坐标. 2.二次函数与一元二次不等式 ①ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象位于x轴 　　对应的点的　 　坐标的取值范围； ②ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象位于x轴 　 　对应的点的　 　坐标的取值范围. x轴 横 上方部分 横 下方部分 横 点击回到目录 2 中考真题在线 命题点 1 二次函数图象的判定 1.（2023·安徽）已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝－x＋b的图象如图所示，则函数y＝x2－bx＋k－1的图象可能为（　　） A 点击回到目录 命题点 2 二次函数的图象与性质 2.（2021·安徽）设抛物线y＝x2＋（a＋1）·x＋a，其中a为实数. （1）若抛物线经过点（－1，m），则m＝　 　； （2）将抛物线y＝x2＋（a＋1）x＋a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是　 　. 3.（2019·安徽）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x－a＋1和y＝x2－2ax的图象相交于P，Q两点.若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是　 　. 0 2 a＜－1或a＞1 点击回到目录 命题点 3 二次函数性质的综合应用 4.（2024·安徽）已知抛物线y＝－x2＋bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝ －x2＋2x的顶点横坐标大1. （1）求b的值； 【解答】（1）∵抛物线y＝－x2＋bx的顶点横坐标为，y＝－x2＋2x的顶点横坐标为1， 由题意得－1＝1，解得b＝4； 点击回到目录 （2）点A（x1，y1）在抛物线y＝－x2＋2x上，点B（x1＋t，y1＋h）在抛物线y＝－x2＋bx上. （ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值； 点击回到目录 【解答】（2）∵点A（x1，y1）在抛物线y＝－x2＋2x上， ∴y1＝－＋2x1， 又点B（x1＋t，y1＋h）在抛物线y＝－x2＋4x上， ∴y1＋h＝－＋4（x1＋t）. ∴－＋2x1＋h＝－＋4（x1＋t），整理得h＝－t2－2x1t＋2x1＋4t； （i）∵h＝3t， ∴3t＝－t2－2x1t＋2x1＋4t， 整理得t（t＋2x1）＝t＋2x1. 又x1≥0，t＞0，∴t＋2x1＞0， ∴t＝1，从而h＝3； 点击回到目录 （ⅱ）若x1＝t－1，求h的最大值. 【解答】（ii）将x1＝t－1代人h＝－t2－2x1t＋2x1＋4t， 整理得h＝－3t2＋8t－2， 配方得h＝－3， ∵－3＜0， ∴当t＝，即x1＝时，h取最大值； 点击回到目录 5.（2023·安徽）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2. （1）求a，b的值； 【解答】（1）∵抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2， ∴解得 点击回到目录 （2）已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t＋1.过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E. （ⅰ）当0＜t＜2时，求△OBD与△ACE的面积之和； 【解答】（2）（i）由（1）得，y＝－x2＋4x， ∴当x＝t时，y＝－t2＋4t. 当x＝t＋1时，y＝－（t＋1）2＋4（t＋1），即y＝－t2＋2t＋3， ∴B（t，－t2＋4t），C（t＋1，－t2＋2t＋3）. 设OA的表达式为y＝kx，将A（3，3）代入，得3＝3k，∴k＝1， ∴OA的表达式为y＝x， ∴D（t，t），E（t＋1，t＋1）； 点击回到目录 （i）如图，设BD与x轴交于点M，过点A作AN⊥CE， 则M（t，0），N（t＋1，3）， ∴BD·OM＋AN·CE＝（－t2＋4t－t）· t＋（－t2＋2t＋3－t－1）·（3－t－1）＝（－t3＋3t2）＋ （t3－3t2＋4）＝－t3＋t2＋t3－t2＋2＝2； 点击回到目录 （ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由. 【解答】（ii）①当2＜t＜3时，如图，过点D作DH⊥CE于点H， 则H（t＋1，t），BD＝－t2＋4t－t＝－t2＋3t，CE＝t＋1－ （－t2＋2t＋3）＝t2－t－2，DH＝t＋1－t＝1， ∴S四边形DCEB＝（BD＋CE）·DH，即（－t2＋3t＋t2－ t－2）×1，解得t＝； 点击回到目录 ②当t＞3时，如图，过点D作DH⊥CE于点H，则BD＝t－（－t2＋4t）＝t2－3t，CE＝t2－t－2， ∴S四边形DBCE＝（BD＋CE）·DH， 即（t2－3t＋t2－t－2）×1， 解得t1＝＋1（舍去），t2＝－＋1（舍去）. 综上所述，t的值为. 点击回到目录 3 典例串讲训练 （二次函数的图象与性质）抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x －2 －1 0 1 y 0 4 6 6 根据上表回答下列问题： （1）求抛物线的表达式； 【解答】（1）由题意得解得∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋6； 点击回到目录 （2）求抛物线的顶点坐标，并指出x取何值时，y取最大值，最大值是什么； 【解答】（2）y＝－x2＋x＋6＝－，∴抛物线的顶点坐标为， ∴当x＝时，y取最大值，最大值为； 点击回到目录 （3）求抛物线与x轴的交点； 【解答】令y＝0，则－x2＋x＋6＝0，解得x＝3或x＝－2，∴抛物线与x轴的交点坐标为（－2，0），（3，0）；另解：由表格的对应关系可知，抛物线的对称轴是直线x＝，与x轴的一个交点为（－2，0），∴另一个交点为（3，0）. 点击回到目录 （4）若自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当－2＜x1＜－1，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　） 　　A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y1＜y2 D.y2＜y3＜y1 C 点击回到目录 1.（2024·南通）将抛物线y＝x2＋2x－1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（　　） A.（－4，－1） B.（－4，2） C.（2，1） D.（2，－2） 2.（2024·乐山）已知二次函数y＝x2－2x（－1≤x≤t－1），当x＝－1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（　　） A.0＜t≤2 B.0＜t≤4 C.2≤t≤4 D.t≥2 D C 点击回到目录 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1.下列四个结论：①abc＜0；②a＋b＋c＞0；③2b＋3c＜0； ④不等式ax2＋bx＋c＜－x＋c的解集为0＜x＜2.其中正确结论的个数是（　　）         　　A.1　　　 B.2　　　 C.3　　　 D.4 C 点击回到目录 本例中，a决定了抛物线的开口方向和大小，a，b决定了抛物线的对称轴，c决定了抛物线与y轴交点的位置，还要注意抛物线的对称性、增减性和一些特殊点对应的函数值. 点击回到目录 3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋a与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） B 点击回到目录 4.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝－1.若点A的坐标为（－4，0），则下列结论正确的是（　　）   A.2a＋b＝0 B.－4a－2b＋c＞0 C.x＝2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个根 D.点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，当x1＞x2＞－1时，y1＜y2＜0 C （续表） 点击回到目录 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A（－3， 0），B（1，0）两点，交y轴于点C.  （1）求抛物线的表达式； 【解答】（1）由抛物线与x轴交于A（－3，0），B（1，0） 两点， 代入抛物线y＝ax2＋bx＋3，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3； 点击回到目录 （2）抛物线上是否存在一点P，使得＝，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【解答】（2）存在.理由如下： ∵A（－3，0），B（1，0），∴AB＝4. 抛物线y＝－x2－2x＋3与y轴交于点C，令x＝0，则y＝3， ∴C点坐标为（0，3），即OC＝3， ∴AB·OC＝×4×3＝6， ∴＝3； 点击回到目录 如图，连接BC，作PE∥x轴交BC于E， 设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 将B，C两点的坐标代入，得解得 ∴直线BC的解析式为y＝－3x＋3. 设点P的横坐标为t，则P（t，－t2－2t＋3）， 则点E的横坐标满足－3x＋3＝－t2－2t＋3，解得x＝， ∴E， ∴PE＝－t＝， ∴×3＝3，解得t＝－2或3， ∴点P的坐标为（－2，3）或（3，－12）. 点击回到目录 $$