2025年安徽省中考数学一轮复习梳理基础知识点 第一章　数与式第二节 整式与因式分解

2025年安徽省中考数学一轮复习 梳理基础知识点 第一章　数与式 第二节　整式与因式分解 1 教材知识精讲 3 典例串讲训练 2 中考真题在线 目录 1 教材知识精讲 点击回到目录 知识点 1 代数式及求值 1.列代数式：把问题中与数量关系有关的词语用含有数、字母和运算符号的式子表示. 2.代数式求值：①化简后代入求值；②变形后整体代入求值. 点击回到目录 知识点 2 整式的相关概念 名称 识别 次数 系数与项 整式 单项 式　 数与字母或字母与字母相乘 组成的代数式；单独的一个 数或一个字母 所有字 母的指 数之和 系数：单项式中的数字因数 多项 式　 几个单项式的和 次数最 高的项 的次数 项：多项式中的每个单项式 点击回到目录 知识点 3 整式的运算 1.加减运算 ①同类项：所含字母相同，并且相同字母的　 　也相同的项（所有常数项都是同类项）. ②合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数　　 . 整式加减的实质就是　 　. ③去括号法则：括号前是“＋”号，括号内各项不变号，如：a＋（b－c）＝a＋b－c；括号前是“－”号，括号内每一项都变号，如：a－（b－c）＝　 　. 指数 不变 合并同类项 a－b＋c 点击回到目录 2.幂的运算（m，n为正整数） ①同底数幂相乘，底数不变，指数相加： am·an＝　 　. ②同底数幂相除，底数不变，指数相减： am÷an＝am－n（a≠0）. ③幂的乘方，底数不变，指数相乘： ＝amn. am＋n 点击回到目录 ④积的乘方等于各因式乘方的积： （ab）n＝anbn. ⑤任何一个不等于零的数的零次幂都等于1：a0＝　 　（a≠0）. ⑥任何一个不等于零的数的－p（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数：a－p＝ （a≠0，p是正整数）. 1 点击回到目录 3.乘法运算 ①单项式乘单项式：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的一个因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.如：2a2·ab3＝2a3b3. ②单项式乘多项式：将单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.如：m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc. ③多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.如：（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb. 点击回到目录 4.乘法公式 名称 公式 几何背景 平方差公式 （a＋b）·（a－b）＝a2－b2 完全平方公式 （a±b）2＝a2±2ab＋b2 点击回到目录 5.除法运算 ①单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式.如：a4b3c÷a2b2＝a2bc. ②多项式除以单项式：先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.如：（2a3＋5a2＋6a）÷a＝2a2＋5a＋6. 点击回到目录 知识点 4 因式分解 1.定义 把一个多项式化为几个整式的　 　的形式. 2.基本方法 ①提公因式法 公式：ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）. 公因式的确定：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项相同的字母，指数取各项相同字母的最低次数. 积 点击回到目录 ②公式法 用平方差公式进行因式分解： a2－b2＝　 　. 用完全平方公式进行因式分解： a2＋2ab＋b2＝　 　； a2－2ab＋b2＝　 　. 3.一般步骤 一提：多项式中有公因式，应先提公因式； 二套：再用公式法； 三查：检查是否还可以继续进行因式分解. （a＋b）（a－b） （a＋b）2 （a－b）2 点击回到目录 2 中考真题在线 命题点 1 整式的运算 1.（2024·安徽）下列计算正确的是（　　） A.a3＋a3＝a6 B.a6÷a3＝a2 C.（－a）2＝a2 D.＝a 2.（2023·安徽）下列计算正确的是（　 ） A.a4＋a4＝a8 B.a4·a4＝a16 C.（a4）4＝a16 D.a8÷a4＝a2 C C 点击回到目录 3.（2022·安徽）下列各式中，计算结果等于a9的是（　　） A.a3＋a6 B.a3·a6 C.a10－a D.a18÷a2 4.（2021·安徽）计算x2·（－x）3的结果是（　　） A.x6 B.－x6 C.x5 D.－x5 B D 点击回到目录 命题点 2 因式分解 5.（2018·安徽）下列分解因式正确的是（　　） A.－x2＋4x＝－x（x＋4） B.x2＋xy＋x＝x（x＋y） C.x（x－y）＋y（y－x）＝（x－y）2 D.x2－4x＋4＝（x＋2）（x－2） 6.（2020·安徽）分解因式：ab2－a＝ 　. C a（b＋1）（b－1） 点击回到目录 命题点 3 列代数式 7.（2012·安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（　　） A.2a2　　 B.3a2　　 C.4a2　　 D.5a2 A 点击回到目录 命题点 4 与整式有关的规律探究 8.（2024·安徽）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2－y2（x，y均为自然数）”的问题. （1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）： 点击回到目录 N 奇数 4的倍数 表示 结果 1＝12－02 3＝22－12 5＝32－22 7＝42－32 9＝52－42 … 4＝22－02 8＝32－12 12＝42－22 16＝52－32 20＝62－42 … 一般结论 2n－1＝n2－（n－1）2 4n＝_____________________ （n＋1）2－（n－1）2　 点击回到目录 按上表规律，完成下列问题： （ⅰ）24＝（　 ）2－（　 ）2； 【解答】（ⅰ）4＝4×1＝（1＋1）2－（1－1）2， 8＝4×2＝（2＋1）2－（2－1）2， 12＝4×3＝（3＋1）2－（3－1）2， 20＝4×5＝（5＋1）2－（5－1）2， 24＝4×6＝（6＋1）2－（6－1）2＝72－52， …… 4n＝4·n＝（n＋1）2－（n－1）2. 故答案为：7，5； 7 5 点击回到目录 （ⅱ）4n＝　 　； 【解答】 （ⅱ）由（ⅰ）推导的规律可知4n＝4·n＝（n＋1）2－（n－1）2. 故答案为：（n＋1）2－（n－1）2. （2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如4n－2（n为正整数）的正整数N不能表示为x2－y2（x，y均为自然数）.师生一起研讨，分析过程如下： 假设4n－2＝x2－y2，其中x，y均为自然数. 分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数， 则x2－y2＝（2k）2－（2m）2＝4（k2－m2）为4的倍数. 而4n－2不是4的倍数，矛盾.故x，y不可能均为偶数. （n＋1）2－（n－1）2 点击回到目录 ②若x，y均为奇数，设x＝2k＋1，y＝2m＋1，其中k，m均为自然数， 则x2－y2＝（2k＋1）2－（2m＋1）2＝　 　为4的倍数. 而4n－2不是4的倍数，矛盾.故x，y不可能均为奇数. ③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2－y2为奇数. 而4n－2是偶数，矛盾.故x，y不可能一个是奇数一个是偶数. 由①②③可知，猜测正确. 阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容. 【解答】 （2k＋1）2－（2m＋1）2＝（2k＋1＋2m＋1）（2k＋1－2m－1）＝4（k2－m2＋k－m）. 故答案为：4（k2－m2＋k－m）. 4（k2－m2＋k－m） （续表） 点击回到目录 9.（2023·安徽）【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中“◎”的个数为 　； 【解答】∵第1个图案中“◎”的个数为：3＝1＋2，第2个图案中“◎”的个数为：6＝1＋2＋2＋1，第3个图案中“◎”的个数为：9＝1＋2＋2＋3＋1，…，∴第n个图案中“◎”的个数为：1＋2（n－1）＋n＋1＝3n，故答案为：3n； 3n 点击回到目录 （2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，…，第n个图案中“★”的个数可表示为 . 【解答】由题意得，第n个图案中“★”的个数可表示为.故答案为：； 点击回到目录 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1＋2＋3＋…＋n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍. 【解答】由题意得，＝2×3n，解得n＝11或n＝0（不符合题意，舍去），则n＝11. 点击回到目录 3 典例串讲训练 先化简，再求值：（2x＋y）2－（2x＋y）（2x－y）－2y（x＋y），其中x＝，y＝22 024. 点击回到目录 【解答】（2x＋y）2－（2x＋y）（2x－y）－2y（x＋y） ＝4x2＋4xy＋y2－4x2＋y2－2xy－2y2 ＝2xy， 当x＝，y＝22 024时， 原式＝2××22 024 ＝2××22 024 ＝2× ＝2××1＝1. 点击回到目录 进行整式运算要以相关的运算法则和乘法公式为依据，在运算过程中要注意运算的顺序及符号的变化. 点击回到目录 1.（2024·青岛）下列计算正确的是（　　） A.a＋2a＝3a2 B.a5÷a2＝a3 C.（－a）2·a3＝－a5 D.（2a3）2＝2a6 B 点击回到目录 2.（2024·长沙）先化简，再求值：2m－m（m－2）＋（m＋3）（m－3），其中m＝. 【解答】2m－m（m－2）＋（m＋3）（m－3） ＝2m－m2＋2m＋m2－9 ＝4m－9， 当m＝时，原式＝4×－9＝10－9＝1. （续表） 点击回到目录 （用代数式表示实际问题中的数量关系）（2024·合肥包河区一模）某公司今年2月份的利润为x万元，3月份比2月份减少7％，4月份比3月份增加了8％，则该公司4月份的利润为（　　） A.（x－7％）（x＋8％）万元 B.（x－7％＋8％）万元 C.（1－7％＋8％）x万元 D.（1－7％）（1＋8％）x万元 D 点击回到目录 3.（2023·长春）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为　 　公里.（用含x的代数式表示） （7.5－10x） 点击回到目录 （因式分解）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　） A.（a＋3）2＝a2＋6a＋9 B.a2－4a＋4＝a（a－4）＋4 C.5ax2－5ay2＝5a（x＋y）（x－y） D.a2－2a－8＝（a－2）（a＋4） C 点击回到目录 安徽中考试题中往往是采用先提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解的考查.分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止. 点击回到目录 4.（2024·威海）因式分解：（x＋2）（x＋4）＋1＝　 　. （x＋3）2 点击回到目录 （2024·牡丹江）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形：第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形，…，按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（　　） A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 B 点击回到目录 根据前3个图中三角形的个数找到规律，再进行求解.第1个图中有4个三角形，即4＝3×1＋1，第2个图中有7个三角形，即7＝3×2＋1，第3个图中有10个三角形，即10＝3×3＋1，…，按此规律摆下去，第n个图中有（3n＋1）个三角形，则第674个图中三角形的个数为：3×674＋1＝2 023（个）. 点击回到目录 5.（2023·达州）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的.其中，的圆心为A，半径为AD；的圆心为B，半径为BA1；的圆心为C，半径为CB1；的圆心为D，半径为DC1…，，，，的圆心依次为A，B，C，D循环，则的长是（　　） A. B.2 023π C. D.2 022π A 点击回到目录 $$