2025年中考数学一轮考点精讲 第6讲 分式方程（山东版）

第6讲　分式方程 分式方程及其解法(常考点) 定义 分母中含有　 的方程  特征 (1)含有分母. (2)分母中含有未知数. (3)是方程 未知数 解分式方 程的一般 方法和 步骤 (1)去分母:方程两边同乘　 　,把分式方程化为整式方程.  (2)解整式方程:去括号、　 　、合并同类项、系数化为1等.  (3)检验:将整式方程的解代入最简公分母,若最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解. 简称:一化、二解、三检验 最简公分母 移项 解分式方 程的基本 思想 把分式方程转化为整式方程,解这个整式方程,然后验根,从而确定分式方程的解 增根 使分式方程的最简公分母为0的根 产生增根的原因:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,将其转化为整式方程后没有此条件限制了 分式方程的增根与无解的区别:分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的分母为0 的根 [温馨提示] 分式方程的特殊解法——换元法.换元法是中学数学中的一个重要的数学方法,其应用非常广泛,当分式方程具有某种特殊形式,去分母不易解决时,可考虑用换元法. 分式方程及其解法 由题意,根据分式方程的解题步骤先找出最简公分母,化为整式方程,解方程后检验即可得结果. 解:原方程两边同乘(x-1), 去分母,得3=5(x-1)-3x. ………………………………………………1分 去括号,得3=5x-5-3x. 移项、合并同类项,得-2x=-8. 系数化为1,得x=4.………………………………………………………3分 检验:将x=4代入(x-1)中,得4-1=3≠0. ∴原分式方程的解为x=4.………………………………………………4分 A D C 7 分式方程的增根问题(无解) 本题考查解分式方程及由分式方程无解求参数问题,熟练掌握分式方程的解法步骤以及无解情况的分类讨论是解决问题的关键. D A x=4 -1 分式方程的应用 [典例3] (8分)(2023泰安)为进行某项数学综合与实践活动,小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具.该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款,否则按零售价付款.小明如果给学校九年级学生每人购买一个,只能按零售价付款,需用 3 600元;如果多购买60个,则可以按批发价付款,同样需用3 600元.若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同,这个学校九年级学生有多少人? B [变式12] (2022威海)按照如图所示的程序计算,若输出y的值是2,则输入x的值是　 　. 1 [变式13] (2024扬州)为了提高垃圾处理效率,某垃圾处理厂购进A,B两种机器,A型机器比B型机器每天多处理40 t垃圾,A型机器处理500 t垃圾所用天数与B型机器处理300 t垃圾所用天数相等.B型机器每天处理多少吨垃圾? [变式14] (2024自贡)为传承我国传统节日文化,端午节前夕,某校组织了包粽子活动.已知七年级(3)班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子,甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相 同.甲、乙两组同学平均每小时各包多少个粽子? 解:(1)B型玩具的单价　A型玩具的数量 (2)该经营者准备用1 350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个,则最多可购进A型玩具多少个? 根据分式方程的解的情况求参数的值或范围 A D 分式方程的应用 A 4.(2024泰安)随着快递行业的快速发展,全国各地的农产品有了更广阔的销售空间,某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人.甲组每天加工3 000件农产品,乙组每天加工2 700件农产品,已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍,则甲、乙两组各有多少名工人? 28 [典例1] (4分)(2023包头)解方程=5+. [变式1] (2024济宁)解分式方程1-=-时,去分母变形正确的是 ( ) A.2-6x+2=-5 B.6x-2-2=-5 C.2-6x-1=5 D.6x-2+1=5 [变式2] (2024泸州)分式方程-3=的解是( ) A.x=- B.x=-1 C.x= D.x=3 [变式3] (2023龙东地区)已知关于x的分式方程+1=的解是非负数.则m的取值范围是( ) A.m≤2 B.m≥2 C.m≤2且m≠-2 D.m<2且m≠-2 [变式4] (2022济南) 代数式与代数式的值相等,则x=　 　. [变式5] 解分式方程: (1)(2023广西)=; 解:(1)=, 去分母,得2x=x-1. 移项,合并同类项,得x=-1. 检验:当x=-1时,x(x-1)=2≠0. ∴原分式方程的解为x=-1. (2)(2023山西)+1=. 解:(2)+1=, 由题意,得最简公分母为2(x-1), ∴原方程可化为2+2x-2=3.∴x=. 检验:把x=代入2(x-1)=1≠0,且原方程左边=右边. ∴原分式方程的解为x=. [典例2] (2023菏泽成武一模)已知关于x的分式方程-=1无解,则a的值为 　. 5或 [变式6] 若关于x的方程 =无解,则m的值为( ) A.0 B.4或6 C.6 D.0或4 [变式7] 若关于x的分式方程=-2有增根,则a的值是( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 [变式8] (2023永州)若关于x的分式方程-=1(m为常数)有增根,则增根是　 　. [变式9] (2023巴中)关于x的分式方程+=3有增根,则m=　 　. 解:设这个学校九年级学生有x人. 根据题意,得×50=×60. ………………………………3分 解得x=300. ………………………………………………………6分 经检验,x=300是原方程的解,且符合题意.………………………7分 答:这个学校九年级学生有300人. ………………………………8分 [变式10] (2024山东) 为提高生产效率,某工厂将生产线进行升级改造,改造后比改造前每天多生产100件,改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同,则改造后每天生产的产品件数为( ) A.200 B.300 C.400 D.500 [变式11] (2024东营)水是人类赖以生存的宝贵资源,为节约用水,创建文明城市,某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费上涨原价的,小丽家去年5月份的水费是28元,而今年5月份的水费则是24.5元.已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3立方米.设该市去年居民用水价格为x元/立方米,则可列分式方程为　 　. -=3 解:设B型机器每天处理x t垃圾,则A型机器每天处理(x+40)t垃圾, 根据题意,得=,解得x=60. 经检验,x=60是所列方程的解,且符合题意. 答:B型机器每天处理60 t垃圾. 解:设乙组同学平均每小时包x个粽子,则甲组同学平均每小时包(x+20)个粽子. 根据题意,得=,解得x=80. 经检验,x=80是原方程的解,且符合题意,∴80+20=100(个). 答:甲组同学平均每小时包100个粽子,乙组同学平均每小时包80个 粽子. [变式15] (2023宁夏)“人间烟火味,最抚凡人心”,地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源.某经营者购进了A型和B型两种玩具,已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个,且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍. (1)求两种型号玩具的单价. 根据题意,甲、乙两名同学分别列出如下方程: 甲:=+30,解得x=5, 经检验x=5是原方程的解. 乙:=1.6×,解得x=65, 经检验x=65是原方程的解. 则甲所列方程中的x表示　　 　　,乙所列方程中的x表示　　　　　. 解:(2)设可购进A型玩具a个, 则购进B型玩具(200-a)个. 根据题意,得1.6×5a+5(200-a)≤1 350, 解得a≤116. ∴整数a的最大值是116. 答:最多可购进A型玩具116个. 1.(2023聊城)若关于x的分式方程+1=的解为非负数,则m的取值范围是( ) A.m≤1且m≠-1 B.m≥-1且m≠1 C.m<1且m≠-1 D.m>-1且m≠1 2.(2023日照)若关于x的方程-2=解为正数,则m的取值范围是 ( ) A.m>- B.m< C.m>-且m≠0 D.m<且m≠ 3.(2023东营)为扎实推进“五育”并举工作,加强劳动教育,东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程.课程开设后学校花费6 000元购进第一批面粉,用完后学校又花费9 600元购进了第二批面粉,第二批面粉的采购量是第一批采购量的 1.5倍,但每千克面粉价格提高了0.4元.设第一批面粉采购量为x kg,依题意所列方程正确的是( ) A.-=0.4 B.-=0.4 C.-=0.4 D.-=0.4 解:设甲组有x名工人,则乙组有(35-x)名工人. 根据题意,得=×1.2,解得x=20. 经检验,x=20是原方程的解,且符合题意, ∴35-20=15(名). 答:甲组有20名工人,乙组有15名工人. $$