1.5一元二次不等式分层作业-2025届高三数学一轮复习

1-5 一元二次不等式 分层作业 一、单项选择题 1.不等式－x2＋3x＋10＞0的解集为(　　) A.(－2，5) 　　　 B.(－∞，－2)∪(5，＋∞) C.(－5，2) 　　　 D.(－∞，－5)∪(2，＋∞) 2．已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝，则A∩B等于(　　) A．{x|－1<x≤3} B．{x|x≤3或x>4} C．{x|－2≤x≤4} D．{x|－2≤x≤－1} 3．若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－1≤a<2} B．{a|－1<a≤2} C．{a|－1<a<2} D．{a|－1≤a≤2} 4.关于x的不等式x2＋px－2＜0的解集是(q，1)，则p＋q的值为(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 5.若存在x∈[0,1]，不等式x2－4x－m≥0成立，则m的最大值为(　　) A．0 B．1 C．－3 D．3 6.已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(　　) A.[0，1] B.(0，1] C.(－∞，0)∪(1，＋∞) 　D.(－∞，0]∪[1，＋∞) 7．二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则m可能为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 8.下列不等式中，解集为的是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题 9.若：－x2＋3x＋10＞0，则x可以取(　　) A.2 　　　 B.3 C.4 　　　 D.5 10．对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0的解集可能为(　　) A．∅ B．(－1，a) C．(a，－1) D．(a，＋∞) 11．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是(　　) A．a>0 B．c<0 C．a＋b>0 D．关于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集为{x|－3<x<－1} 三、填空题 12．（23-24高三下·河北保定）集合，则 . 13.不等式的解集为________. 14．甲、乙两人解关于x的不等式x2＋bx＋c<0，甲写错了常数b，得到的解集为(－3,2)，乙写错了常数c，得到的解集为(－3,4)．那么原不等式的解集为________． 一、单项选择题 1．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是(－∞，－1)∪(2，＋∞)，则不等式bx2＋ax－c≤0的解集是(　　) A．[－1,2] B．(－∞，－1]∪[2，＋∞) C．[－2,1] D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 2.关于的一元二次不等式解集为，则不等式解集为（    ） A． B． C． D． 3．若关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中恰有2个整数解，则实数a的取值范围为(　　) A．(－1,0]∪[2,3) B．[－2，－1)∪(3,4] C．(－2，－1)∪(3,4) D．[－1,0)∪(2,3] 4.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是(　　) A.[－4，3] B.[－4，2] C.[－1，3] D.[－2，2] 5.若关于x的不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，5) B.(5，＋∞) C.(－4，＋∞) D.(－∞，4) 6.不等式组的解集是关于x的不等式x2－3x＋a＜0的解集的子集，则a的取值范围为(　) A.(－∞，0] B.(－∞，0) C.(－∞，－1] D.(－∞，－2) 7.使不等式x2＋(a＋1)x＋a≤0成立的任意一个x，都满足不等式3x－1≤0，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 8.设集合，则下列错误的是（    ） A． B．的元素个数为16 C． D．的子集个数为64 二、多项选择题 9.下列四个解不等式，正确的有(　　) A．不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x>2或x<1} B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是 C．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是3 D．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－1 10.若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的值可以为(　　) A．－6 B．－5 C．－4 D．0 11.当－2≤x≤2时，不等式x2－mx＋1＞0恒成立，则实数m的取值范围不是(　　) A.(－2，2) B.(－∞，－2) C.[－2，2] D.(2，＋∞) 三、填空题 12.不等式(m＋1)x2－mx＋m－1＜0的解集为∅，则m的取值范围是________. 13.已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)＜5－m恒成立，则实数m的取值范围为________. 14．若关于x的方程mx2＋2x＋2＝0至少有一个负实根，则实数m的取值范围是________． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1-5 一元二次不等式 分层作业 一、单项选择题 1.不等式－x2＋3x＋10＞0的解集为(　　) A.(－2，5) 　　　 B.(－∞，－2)∪(5，＋∞) C.(－5，2) 　　　 D.(－∞，－5)∪(2，＋∞) 【答案】A【解】由－x2＋3x＋10＞0得x2－3x－10＜0，解得－2＜x＜5. 2．已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝，则A∩B等于(　　) A．{x|－1<x≤3} B．{x|x≤3或x>4} C．{x|－2≤x≤4} D．{x|－2≤x≤－1} 【答案】A【解】因为不等式x2－x－6≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，又不等式≤0的解集为{x|－1<x≤4}， 所以A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|－1<x≤4}，所以A∩B＝{x|－1<x≤3}． 3．若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－1≤a<2} B．{a|－1<a≤2} C．{a|－1<a<2} D．{a|－1≤a≤2} 【答案】B【解】当a＝2时，原不等式为－12<0，满足解集为R； 当a≠2时，根据题意得a－2<0，且Δ＝16(a－2)2－4(a－2)×(－12)<0，解得－1<a<2. 综上，－1<a≤2，故a的取值范围为{a|－1<a≤2}． 4.关于x的不等式x2＋px－2＜0的解集是(q，1)，则p＋q的值为(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 【答案】B【解】依题意得q，1是方程x2＋px－2＝0两根，∴q＋1＝－p，即p＋q＝－1. 5.若存在x∈[0,1]，不等式x2－4x－m≥0成立，则m的最大值为(　　) A．0 B．1 C．－3 D．3 【答案】A【解】由题意得，当x∈[0,1]时，m≤(x2－4x)max；令f(x)＝x2－4x，x∈[0,1]， 由f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4可知，当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝0，所以m≤0，故m的最大值为0. 6.已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(　　) A.[0，1] B.(0，1] C.(－∞，0)∪(1，＋∞) 　D.(－∞，0]∪[1，＋∞) 【答案】A【解】当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0可化为8≥0，恒成立； 当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立， 只需解得0<k≤1；综上，k的取值范围是[0，1]. 7．二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则m可能为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 【答案】B【解】令f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3，则f(1)＝m＋2－2m－4＋3m＋3＝2m＋1， 由题可知，m≠－2，且(m＋2)f(1)<0，即(m＋2)(2m＋1)<0，解得－2<m<－. 8.下列不等式中，解集为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解】对于A,，故A不符合， 对于B，,且开口向上，所以对任意的,都有,故B符合, 对于C,得，故C不符合，对于D,由得，故D不符合，故选：B 二、多项选择题 9.若：－x2＋3x＋10＞0，则x可以取(　　) A.2 　　　 B.3 C.4 　　　 D.5 【答案】BC【解】由－x2＋3x＋10＞0得x2－3x－10＜0，解得－2＜x＜5，故选BC. 10．对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0的解集可能为(　　) A．∅ B．(－1，a) C．(a，－1) D．(a，＋∞) 【答案】ABC【解】根据题意，易知a≠0. 当a>0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向上，故不等式的解集为(－∞，－1)∪(a，＋∞)． 当a<0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向下，若a＝－1，则不等式的解集为∅； 若－1<a<0，则不等式的解集为(－1，a)； 若a<－1，则不等式的解集为(a，－1)． 11．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是(　　) A．a>0 B．c<0 C．a＋b>0 D．关于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集为{x|－3<x<－1} 【答案】BC【解】由题意得，a<0，且和1是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系可得: 解得a＝3c，b＝－4c，则c<0，故A错误，B正确；a＋b＝－c>0，故C正确； 不等式cx2＋bx＋a>0即cx2－4cx＋3c>0，即x2－4x＋3<0，解得1<x<3，故解集为{x|1<x<3}，故D错误． 三、填空题 12．（23-24高三下·河北保定）集合，则 . 【答案】【分析】由对数不等式和一元二次不等式化简集合，再由交集运算即可求解. 【解】，解得，故； ，解得，故，故；故答案为： 13.不等式的解集为________. 【答案】{x|1＜x＜4}【解】原不等式可化为，即，即，即； 即(x－1)(x－4)＜0，解得1＜x＜4，∴原不等式的解集为{x|1＜x＜4}. 14．甲、乙两人解关于x的不等式x2＋bx＋c<0，甲写错了常数b，得到的解集为(－3,2)，乙写错了常数c，得到的解集为(－3,4)．那么原不等式的解集为________． 【答案】(－2,3)【解】依题意知，c＝－3×2＝－6，－b＝－3＋4＝1，即b＝－1， 因此不等式x2＋bx＋c<0，即x2－x－6<0，解得－2<x<3，所以原不等式的解集为(－2,3)． 一、单项选择题 1．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是(－∞，－1)∪(2，＋∞)，则不等式bx2＋ax－c≤0的解集是(　　) A．[－1,2] B．(－∞，－1]∪[2，＋∞) C．[－2,1] D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 【答案】A【解】由题意可知，ax2＋bx＋c＝0的两个实数根是－1和2，且a<0， 则解得所以bx2＋ax－c≤0可化为－ax2＋ax＋2a≤0，即x2－x－2≤0， 解得－1≤x≤2，所以不等式的解集是[－1,2]． 2.关于的一元二次不等式解集为，则不等式解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解】由题意可得：的解为，且， 可得，解得，则不等式，即为， 且，则，得，得或，解集为；故选：D. 3．若关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中恰有2个整数解，则实数a的取值范围为(　　) A．(－1,0]∪[2,3) B．[－2，－1)∪(3,4] C．(－2，－1)∪(3,4) D．[－1,0)∪(2,3] 【答案】A【解】不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0， 当a＝1时，不等式无解； 当a<1时，不等式的解为a<x<1，若解集中恰有2个整数解，则－2≤a<－1； 当a>1时，不等式的解为1<x<a，若解集中恰有2个整数解，则3<a≤4. 综上，a的取值范围是[－2，－1)∪(3,4]． 4.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是(　　) A.[－4，3] B.[－4，2] C.[－1，3] D.[－2，2] 【答案】A【解】原不等式可化为(x－a)(x－1)≤0， 当a＜1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a＜1； 当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求； 当a＞1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1＜a≤3，综上可得－4≤a≤3. 5.若关于x的不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，5) B.(5，＋∞) C.(－4，＋∞) D.(－∞，4) 【答案】A【解】设f(x)＝x2－4x－a，则f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝2， x2－4x－a＞0在(1，5)内有解，只要f(5)＞0即可，即25－20－a＞0，得a＜5，所以a的范围为(－∞，5). 6.不等式组的解集是关于x的不等式x2－3x＋a＜0的解集的子集，则a的取值范围为(　　) A.(－∞，0] B.(－∞，0) C.(－∞，－1] D.(－∞，－2) 【答案】A【解】由解得x∈(2，3)，因为(2，3)是不等式x2－3x＋a＜0的解集的子集， 故f(x)＝x2－3x＋a要满足解得a≤0. 7.使不等式x2＋(a＋1)x＋a≤0成立的任意一个x，都满足不等式3x－1≤0，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【答案】C【解】由3x－1≤0得x≤，因为使不等式x2＋(a＋1)x＋a≤0成立的任意一个x， 都满足不等式3x－1≤0，所以不等式x2＋(a＋1)x＋a≤0的解集是的子集； 又由x2＋(a＋1)x＋a≤0得(x＋a)(x＋1)≤0，当a＝1时，x∈{－1}⊆，符合题意； 当a＜1时，x∈[－1，－a]⊆，则－a≤，所以－≤a＜1； 当a＞1时，x∈[－a，－1]⊆，符合题意；故实数a的取值范围为. 8.设集合，则下列错误的是（    ） A． B．的元素个数为16 C． D．的子集个数为64 【答案】A【解】因为，所以，即， 所以有个元素，故A错误，BC正确； 对于D，而有个元素，所以的子集个数为，故D正确；故选：A. 二、多项选择题 9.下列四个解不等式，正确的有(　　) A．不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x>2或x<1} B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是 C．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是3 D．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－1 【答案】BCD【解】A中，不等式2x2－x－1>0的解集为，A不正确； B中，不等式－6x2－x＋2≤0的解集是，B正确； C中，a>0，且＝7，所以a＝3，C正确； D中，－2＝q，－p＝q＋1＝－2＋1＝－1，∴p＝1，∴p＋q＝1－2＝－1，D正确．故选BCD. 10.若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的值可以为(　　) A．－6 B．－5 C．－4 D．0 【答案】CD【解】由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根， 又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根， 于是不等式在[1，5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得：a>－. 11.当－2≤x≤2时，不等式x2－mx＋1＞0恒成立，则实数m的取值范围不是(　　) A.(－2，2) B.(－∞，－2) C.[－2，2] D.(2，＋∞) 【答案】BCD【解】设f(x)＝x2－mx＋1，其中－2≤x≤2. ①当≤－2，即m≤－4时，函数f(x)在[－2，2]上单调递增， 则f(x)min＝f(－2)＝2m＋5＞0，解得m＞－，此时m不存在； ②当－2＜＜2，即－4＜m＜4时，f(x)min＝f＝1－＞0，解得－2＜m＜2； ③当≥2，即m≥4时，f(x)在[－2，2]上递减，则f(x)min＝f(2)＝－2m＋5＞0，解得m＜，此时m不存在. 综上所述，实数m的取值范围是(－2，2)；故选BCD. 三、填空题 12.不等式(m＋1)x2－mx＋m－1＜0的解集为∅，则m的取值范围是________. 【答案】【解】∵不等式(m＋1)x2－mx＋m－1＜0的解集为∅，∴(m＋1)x2－mx＋m－1≥0恒成立. ①当m＋1＝0，即m＝－1时，不等式化为x－2≥0，解得x≥2，不是对任意x∈R恒成立，舍去； ②当m＋1≠0，即m≠－1时，对任意x∈R， 要使(m＋1)x2－mx＋m－1≥0，只需m＋1＞0且Δ＝(－m)2－4(m＋1)(m－1)≤0，解得m≥. 综上，实数m的取值范围是. 13.已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)＜5－m恒成立，则实数m的取值范围为________. 【答案】【解】要使f(x)＜－m＋5在x∈[1，3]上恒成立， 即m＋m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立.有以下两种方法： 法一　令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3]. 当m＞0时，g(x)在[1，3]上单调递增，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6＜0，所以m＜，所以0＜m＜； 当m＝0时，－6＜0恒成立； 当m＜0时，g(x)在[1，3]上单调递减，所以g(x)max＝g(1)，即m－6＜0，所以m＜6，所以m＜0. 综上所述，m的取值范围是. 法二　因为x2－x＋1＝＋＞0， 又因为m(x2－x＋1)－6＜0在x∈[1，3]上恒成立，所以m＜在x∈[1，3]上恒成立. 令y＝，因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m＜即可. 14．若关于x的方程mx2＋2x＋2＝0至少有一个负实根，则实数m的取值范围是________． 【答案】【解】当m＝0时，方程为2x＋2＝0，有一个负实根，满足题意； 当m≠0时，mx2＋2x＋2＝0为一元二次方程，关于x的方程mx2＋2x＋2＝0至少有一个负实根，设根为x1，x2， 当Δ＝4－8m＝0，即m＝时，方程为x2＋2x＋2＝0，解得x＝－2，满足题意； 当Δ＝4－8m>0，即m<，且m≠0时， 若有一个负实根，则x1x2＝<0，解得m<0， 若有两个负实根，则解得0<m<， 综上所述，实数m的取值范围是. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$