1.5一元二次不等式 讲义-2025届高三数学一轮复习

1-5 一元二次不等式 讲义 一、三个二次的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)、一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0) Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数图象 方程的根 有两个不相等实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实数根x1＝x2＝ 没有实数根 不等式解集 {x|x<x1或x>x2} R 2.分式不等式与整式不等式 (1) >0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2) ≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 3．简单的绝对值不等式：|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 【常用结论】 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． 2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． 考点一 一元二次不等式的解法 命题点1　不含参的一元二次不等式 【例1-1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【例1-2】(多选)下列选项中，正确的是(　　) A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1} B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D．“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件 【例1-3】（2024·山东济宁·一模）设集合，，若，则实数的取值范围是 ． 思维升华 解一元二次不等式的步骤 第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 第二步：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 第三步：根据不等式，写出解集。 命题点2　含参的不等式 【例1-4】（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间内随机取一个实数，则关于的不等式仅有2个整数解的概率为（    ） A． B． C． D． 【例1-5】（2023·湖南·模拟预测）若关于x的不等式的解集恰有50个整数元素，则a的取值范围是 ，这50个整数元素之和为 ． 思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 1.（23-24高三上·浙江绍兴）（多选），关于x的一元二次不等式解集可能是（    ） A．或 B． C． D． 2.(2022·安徽黄山·二模)若集合，，则等于(       ) A． B． C． D． 3. (2024·全国·模拟预测)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a<－2或a≥2} B．{a|－2<a<2} C．{a|－2<a≤2} D．{a|a<2} 4.(2022•和平区校级二模)不等式解集中恰有五个整数，则的取值范围为 　 ． 考点二 三个二次之间的关系 【例2-1】（23-24高一上·四川成都）一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】 (多选)(2023·枣庄)关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a＜0(a＜0)的解集是(x1，x2)(x1＜x2)，则(　　) A.x1＋x2＝2 B.x1x2＜－8 C.－2＜x1＜x2＜4 D.x2－x1＞6 【例2-3】(多选)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0解集为{x|x≤－4或x≥5}，则下列正确的是(　) A．a>0 B．不等式cx2－bx＋a<0解集为 C．a＋b＋c>0 D．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－5} 【例2-4】若方程x2－4x＋a＝0的两根都在区间(1，＋∞)内，则实数a的取值范围是___________． 思维升华　一个一元二次方程根的分布问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解． (1)判别式Δ的符号． (2)对称轴x＝与所给区间的位置关系． (3)区间端点处函数值的符号． 1.已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为(　　) A. B. C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2或x>1} 2.一元二次不等式的解为，那么的解集为(    ) A． B． C． D． 3.(2024·江西·模拟)，关于的不等式解集中有且只有个整数，则值可以是(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 4.(2023·孝感模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(n>m)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是(　　) A．α<m<n<β B．m<α<n<β C．m<α<β<n D．α<m<β<n 5.(多选)若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则下列说法正确的是(　　) A．a<0 B．a＋b＝－5 C．不等式ax2＋x－b>0的解集是 D．不等式ax2＋x－b>0的解集是∪(1，＋∞) 6. (多选)若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1，2)，则下列选项正确的是(　　) A.a＜0 B.b＜0且c＞0 C.a＋b＋c＞0 D.不等式ax2－cx＋b＜0的解集是R 7.(2024·广东深圳·模拟预测)(多选)下列说法正确的是(    ) A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 8.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(x)<0恰有3个整数解，写出一个符合题意的函数解析式为f(x)＝______. 考点三 一元二次不等式恒成立与能成立问题 命题点1　在R上恒成立与能成立问题 【例3-1】（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（23-24高三上·河南）“关于x的不等式的解集为”是“”的（    ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 命题点2　在给定区间上恒成立与能成立问题 【例3-3】（2023·辽宁鞍山·二模）当时，不等式恒成立，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3-4】（2023·浙江宁波·一模）已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 命题点3　在给定参数范围内的恒成立与能成立问题 【例3-5】（23-24高三上·河南信阳）若对于恒成立，则实数x的取值范围为 ． 【例3-6】若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是 . 思维升华　(一)恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． (二)一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： 1、， 2、， 3、， 4、， 1. (2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　) A．[－1,3] B．(－∞，－1] C．[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 2. (2024·江西鹰潭·模拟预测)若命题：“，”是假命题，则的取值范围是 . 3. (2023·广西·模拟预测)若不等式对恒成立，则a的取值范围是 ． 1．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2020·全国·高考真题）已知集合则（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1-5 一元二次不等式 讲义 一、三个二次的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)、一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0) Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数图象 方程的根 有两个不相等实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实数根x1＝x2＝ 没有实数根 不等式解集 {x|x<x1或x>x2} R 2.分式不等式与整式不等式 (1) >0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2) ≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 3．简单的绝对值不等式：|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 【常用结论】 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． 2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． 考点一 一元二次不等式的解法 命题点1　不含参的一元二次不等式 【例1-1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】解一元二次不等式化简集合M，再根据交集运算求解即可. 【解】因为，，所以.故选：B 【例1-2】(多选)下列选项中，正确的是(　　) A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1} B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D．“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件 【答案】ABD【解】方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2， 所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1}，故A正确； －1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以解集为{x|－3≤x<2}，故B正确； 由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，解得x≤1或x≥3，所以解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误； 由|x－1|<1解得0<x<2，由<0，得－4<x<5，因此，“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件，故D正确． 【例1-3】（2024·山东济宁·一模）设集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】【分析】解一元二次不等式解得集合，再根据集合的包含关系，列出不等式求解即可. 【解】集合， 又，且，故可得，即，解得；故答案为：. 思维升华 解一元二次不等式的步骤 第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 第二步：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 第三步：根据不等式，写出解集。 命题点2　含参的不等式 【例1-4】（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间内随机取一个实数，则关于的不等式仅有2个整数解的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】利用一元二次不等式解得，可得区间内仅包含两个整数，再利用几何概型概率公式可得结果. 【解】不等式等价于；因为，所以不等式的解集为； 依题意可得区间内仅有两个整数，即包含两个整数，可得； 由几何概型概率公式可得其概率为.故选：C 【例1-5】（2023·湖南·模拟预测）若关于x的不等式的解集恰有50个整数元素，则a的取值范围是 ，这50个整数元素之和为 ． 【答案】；或1625【分析】讨论的范围，解出不等式，结合题意确定的范围及解集中的整数解，再利用等差数列求和公式求和即可. 【解】不等式等价于不等式． 当时，的解集为，不合题意； 当时，的解集为，则50个整数解为，，…，5，6， 所以，这50个整数元素之和为； 当时，的解集为，则50个整数解为8，9，…，56，57，所以， 这50个整数元素之和为．综上，故答案为：；或1625 思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 1.（23-24高三上·浙江绍兴）（多选），关于x的一元二次不等式解集可能是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】ACD【解】当时，； 当时，或，故A正确； 当时，，若，则解集为空集；故B错误 若，则不等式的解为：，故D正确； 若，则不等式的解为：，故C正确.故选：ACD 2.(2022·安徽黄山·二模)若集合，，则等于(       ) A． B． C． D． 【答案】D【解】不等式化为：，解得：，则， 不等式，即，整理得：，解得，则， 所以.故选：D 3. (2024·全国·模拟预测)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a<－2或a≥2} B．{a|－2<a<2} C．{a|－2<a≤2} D．{a|a<2} 【答案】C【解】因为不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅， 所以不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R； 当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，符合题意； 当a－2≠0，即a≠2时，需满足，解得－2<a<2. 综上，实数a的取值范围是{a|－2<a≤2}． 4.(2022•和平区校级二模)不等式解集中恰有五个整数，则的取值范围为 　 ． 【答案】【解】，， 当时，原不等式化为，，不符合题意； 当时，不等式为，其中解集中必有元素， 若五个整数是时，可得，此时解集为空集， 若五个整数是时，，此时解集为空集， 若五个数为时，，解得， 若五个数为时，，此时解集为空集， 右五个数为时，，此时解集为空集， 当时，不等式的解集为，其中解集中必有， 若五个整数是时，，此时解集为空集， 若五个数是时，，此时解集为空集， 若五个数是时，，解得， 若五个数为时，，此时解集为空集， 若五个数为时，，此时解集为空集；故答案为：． 考点二 三个二次之间的关系 【例2-1】（23-24高一上·四川成都）一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解】一元二次不等式的解为， 所以的解为，且，由韦达定理得， 代入得，故选：D. 【例2-2】 (多选)(2023·枣庄)关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a＜0(a＜0)的解集是(x1，x2)(x1＜x2)，则(　　) A.x1＋x2＝2 B.x1x2＜－8 C.－2＜x1＜x2＜4 D.x2－x1＞6 【解】ABD【解】因为关于x的不等式(x＋2)·(x－4)＋a＜0(a＜0)的解集是(x1，x2)(x1＜x2)， 所以x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＋a＝0的两个根.所以x1＋x2＝2，故A正确； x1x2＝a－8＜－8，故B正确； 由x2－x1＞6，x1＋x2＝2，可得x1＜－2，x2＞4，故－2＜x1＜x2＜4是错误的，故C错误. ，故D正确；故选ABD 【例2-3】(多选)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0解集为{x|x≤－4或x≥5}，则下列正确的是(　) A．a>0 B．不等式cx2－bx＋a<0解集为 C．a＋b＋c>0 D．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－5} 【解】AB【解】由题意得，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，即a>0，故A正确； 因为－4,5是方程ax2＋bx＋c＝0的根，所以解得 不等式cx2－bx＋a<0等价于－20ax2＋ax＋a<0，即20x2－x－1>0，解得x<－或x>，故B正确； 因为1∉{x|x≤－4或x≥5}，所以a＋b＋c<0，故C错误． bx＋c>0，即－ax－20a>0，解得x<－20，故D错误；故选AB. 【例2-4】若方程x2－4x＋a＝0的两根都在区间(1，＋∞)内，则实数a的取值范围是___________． 【答案】(3,4]【解】设方程x2－4x＋a＝0的两根为x1，x2，则x1>1，x2>1，所以Δ＝(－4)2－4a≥0，x1＋x2>2， (x1－1)(x2－1)>0，由Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4；由x1＋x2>2，得4>2显然成立； 由(x1－1)(x2－1)>0，得x1x2－(x1＋x2)＋1>0，即a－4＋1>0，解得a>3， 综上可得，3<a≤4，所以实数a的取值范围是(3,4]． 思维升华　一个一元二次方程根的分布问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解． (1)判别式Δ的符号． (2)对称轴x＝与所给区间的位置关系． (3)区间端点处函数值的符号． 1.已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为(　　) A. B. C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2或x>1} 【答案】A【解】因为不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}， 所以ax2＋bx＋2＝0的两根为－1,2，且a<0，即，解得a＝－1，b＝1， 则不等式可化为2x2＋x－1<0，解得，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为. 2.一元二次不等式的解为，那么的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【解】一元二次不等式的解为， 所以的解为，且，由韦达定理得， 代入得，故选：D. 3.(2024·江西·模拟)，关于的不等式解集中有且只有个整数，则值可以是(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D【解】令二次函数， 则二次函数开口向上，且对称轴为，根据二次函数对称性可知： 若不等式的解集中有且只有个整数，则需要满足， 即，解得，故选：D. 4.(2023·孝感模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(n>m)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是(　　) A．α<m<n<β B．m<α<n<β C．m<α<β<n D．α<m<β<n 【答案】C【解】∵α，β为方程y＝0的两个实数根， ∴α，β为函数y＝(x－m)(x－n)＋2 023的图象与x轴交点的横坐标， 令y1＝(x－m)(x－n)，∴m，n为函数y1＝(x－m)(x－n)的图象与x轴交点的横坐标， 易知函数y＝(x－m)(x－n)＋2 023的图象可由y1＝(x－m)(x－n)的图象向上平移2 023个单位长度得到， ∴m<α<β<n. 5.(多选)若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则下列说法正确的是(　　) A．a<0 B．a＋b＝－5 C．不等式ax2＋x－b>0的解集是 D．不等式ax2＋x－b>0的解集是∪(1，＋∞) 【解】ABC【解】由题意得，a<0，且ax2＋bx＋1＝0的两个实数根是x1＝－1，x2＝， 则解得a＋b＝－3－2＝－5，故A，B正确； ax2＋x－b>0，即－3x2＋x－(－2)>0，即(3x＋2)(x－1)<0，解得－<x<1， 故不等式ax2＋x－b>0的解集为，故C正确，D不正确． 6. (多选)若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1，2)，则下列选项正确的是(　　) A.a＜0 B.b＜0且c＞0 C.a＋b＋c＞0 D.不等式ax2－cx＋b＜0的解集是R 【答案】AB【解】由题意，不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1，2)， 可得－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，且a＜0，所以，A正确； 则b＝a，c＝－2a，所以b＜0，c＞0，B正确；当x＝－1时，a＋b＋c＝0，C不正确； 把b＝a，c＝－2a代入ax2－cx＋b＜0，可得ax2＋2ax＋a＜0， 因为a＜0，所以x2＋2x＋1＞0，即(x＋1)2＞0，此不等式的解集为{x|x≠－1}，D不正确. 7.(2024·广东深圳·模拟预测)(多选)下列说法正确的是(    ) A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 【答案】CD【解】对于A，或，故A错误； 对于B，，故B错误； 若不等式恒成立，当时，是不可能成立的， 所以只能，而该不等式组无解，综上，故C正确； 对于D，由题意得是一元二次方程的两根，从而，解得， 而当时，一元二次不等式满足题意， 所以的值为，故D正确；故选：CD. 8.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(x)<0恰有3个整数解，写出一个符合题意的函数解析式为f(x)＝______. 【解】x2－4x(答案不唯一)【解】因为f(x)<0恰有3个整数解，所以设三个整数解分别为1,2,3， 则f(x)<0的解集可以为(0,4)，故x1＝0，x2＝4是ax2＋bx＋c＝0的两个根， 故0＋4＝－，0×4＝，所以c＝0，b＝－4a，令a＝1，则b＝－4，故f(x)＝x2－4x.(答案不唯一) 考点三 一元二次不等式恒成立与能成立问题 命题点1　在R上恒成立与能成立问题 【例3-1】（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】分类讨论与两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解. 【解】当时，不等式可化为，显然不合题意； 当时，因为的解为全体实数，所以，解得； 综上：；故选：C. 【例3-2】（23-24高三上·河南）“关于x的不等式的解集为”是“”的（    ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】求出解集为的的范围，再判断可得答案. 【解】当即时，不等式的解集为，符合题意； 当即时，若不等式的解集为， 可得，解得， 所以不等式的解集为可得，充分性不成立， 若，则不等式的解集为，必要性成立， 所以不等式的解集为”是“”的必要不充分条件；故选：B. 命题点2　在给定区间上恒成立与能成立问题 【例3-3】（2023·辽宁鞍山·二模）当时，不等式恒成立，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】先由得，由基本不等式得，故. 【解】当时，由得， 因，故，当且仅当即时等号成立， 因当时，恒成立，得，故选：C 【例3-4】（2023·浙江宁波·一模）已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】B【解】由题意若不等式在上恒成立， 则必须满足，即， 由，两式相加得， 再由，两式相加得， 结合（4），（5）两式可知，代入不等式组得，解得， 经检验，当，时，， 有，，满足在上恒成立， 综上所述：满足要求的有序数对为：，共一个；故选：B. 【关键点点睛】解题的关键是首先得到，进一步由不等式的性质通过分析即可求解. 命题点3　在给定参数范围内的恒成立与能成立问题 【例3-5】（23-24高三上·河南信阳）若对于恒成立，则实数x的取值范围为 ． 【答案】.【分析】令，则可得，解不等式组可得结果. 【解】令，因为对于恒成立， 所以，即，解得，故答案为：. 【例3-6】若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是 . 【答案】【分析】把题意转化为，设，由一次函数的单调性列不等式组，即可求解. 【解】可转化为；设， 则是关于m的一次型函数；要使恒成立，只需， 解得；故答案为： 思维升华　(一)恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． (二)一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： 1、， 2、， 3、， 4、， 1. (2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　) A．[－1,3] B．(－∞，－1] C．[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 【答案】D【解】不等式x2＋px>4x＋p－3；可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0， 由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)， 可得,解得x<－1或x>3. 2. (2024·江西鹰潭·模拟预测)若命题：“，”是假命题，则的取值范围是 . 【答案】【解】 因为命题：“，”是假命题， 所以命题“”是真命题， 若，即或， 当时，不等式为，恒成立，满足题意； 当时，不等式为，不恒成立，不满足题意； 当时，则需要满足，即，解得， 综上所述，的取值范围是；故答案为： 3. (2023·广西·模拟预测)若不等式对恒成立，则a的取值范围是 ． 【答案】【解】由不等式对恒成立， 可转化为对恒成立，即，而， 当时，有最大值，所以，故答案为：． 1．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 【答案】【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【解】方程的解为或，故不等式的解集为， 故答案为：. 2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【解】方法一：因为，而， 所以．故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立， 所以．故选：C． 3．（2020·全国·高考真题）已知集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果. 【解】由解得，所以， 又因为，所以，故选：D. 【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目. 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$