随机变量及其分布列 学案-2025届高三数学二轮复习

33 随机变量及其分布列（新编） 【复习目标】 1、考点归纳 （1）离散型随机变量的期望与方差 （2）二项分布与超几何分布 2、易错易混点归纳 涉及求分布列时，要注意区分是二项分布还是超几何分布 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 1.离散型随机变量的期望与方差 （1）期望：E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn； （2）方差：D（X）＝（xi－E（X））2pi，标准差为； （3）期望与方差的性质：E（aX＋b）＝aE（X）＋b（a，b为常数）， D（aX＋b）＝a2D（X）（a，b为常数）， 若X～B（n，p），则E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）. 2.二项分布概率模型的特征 （1）在每一次试验中，试验结果只有两个，即发生与不发生；（2）各次试验中的事件是相互独立的； （3）在每一次试验中，事件发生的概率与不发生的概率都保持不变. 3.超几何分布概率模型的特征 （1）实际问题所描述的事件只包含两个结果（发生与不发生），每进行一次上述抽取都不是原来的重复（再次抽取时，都与上次条件发生了变化）；（2）每次抽取中同一事件发生的概率都不同； （3）实际问题中随机变量为抽到某类个体的个数； （4）该问题属于不放回抽取问题. 【典例探究】 考点一　离散型随机变量的期望与方差 学法指导：求随机变量X的均值与方差的方法及步骤 （1）理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；（2）求X取每个值时对应的概率，写出随机变量X的分布列；（3）由均值和方差的计算公式，求得均值E（X），方差D（X）. 【例1】（2024·新高考Ⅱ卷18题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立. （1）若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率； （2）假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 所以比赛成绩不少于5分的概率P＝（1－0.63）·（1－0.53）＝0.686. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ，， ，， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ，因为，则，， 则，应该由甲参加第一阶段比赛. 考点二　二项分布与超几何分布 学法指导：1.二项分布的期望与方差的求解策略 （1）如果ξ ～B（n，p），则用公式E（ξ）＝np，D（ξ）＝np（1－p）求解，可大大减少计算量；（2）有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b以及E（ξ）＝np求出E（aξ＋b），同样也可求出D（aξ＋b）. 2.求超几何分布的分布列的三个步骤： 1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；（2）根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；（3）用表格的形式列出分布列. 【例2】　（2023·全国甲卷理19题节选）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望. 【答案】解：X的所有可能取值为0，1，2， 且P（X＝k）＝，k＝0，1，2， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P X的数学期望E（X）＝0×＋1×＋2×＝1. 【训练检测】 1.（2024·济宁一模）袋中装有大小相同的4个红球，2个白球.某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏规则如下：①每次从袋中摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束. （1）求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次的概率； （2）若摸出1次红球计1分，摸出1次白球记2分，求一轮游戏结束时，此人总得分X的分布列和数学期望. 【答案】（1）设一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次为事件A，记第i次（i＝1，2，3）摸到红球为事件Bi， 则事件A＝∪B1∪B1B2， 显然，B1，B1B2彼此互斥， 由互斥事件概率的加法公式：P（A）＝P（∪B1∪B1B2）＝P（）＋P（B1）＋P（B1B2）， 因为每次摸到红球后放回，所以P（Bi）＝，P（）＝， 所以P（A）＝＋×＋××＝. （2）依题意，X的可能取值为2，3，4，5， P（X＝2）＝P（）＝， P（X＝3）＝P（B1）＝×＝， P（X＝4）＝P（B1B2）＋P（B1B2B3B4）＝××＋（）4＝， P（X＝5）＝P（B1B2B3）＝（）3×＝， 所以一轮摸球游戏结束时，此人总得分X的分布列为 X 2 3 4 5 P E（X）＝2×＋3×＋4×＋5×＝. 2.（2024·九省联考）盒中有标有数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球. （1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率； （2）记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E（X）. 【答案】（1）从8个小球中，随机一次取出3个小球， 共有＝＝56（种）结果. 先从数字1，2，3，4中选择3个数字，再从选定的数字中各取1个小球，共有＝32（种）结果. 记事件A：“取出的3个小球上的数字两两不同”， 则P（A）＝＝. 所以取出的3个小球上的数字两两不同的概率为. （2）因为X为取出的3个小球上的最小数字，所以X的所有可能取值为1，2，3， P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝， P（X＝3）＝＝. 故X的分布列为 X 1 2 3 P X的数学期望E（X）＝1×＋2×＋3×＝. 3.（2024·临沂一模）某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有一个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎.游戏规则如下：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上两级台阶，再重复以上步骤，当参加游戏的学生位于第8、第9或第10级台阶时游戏结束.规定：从平地开始，结束时学生位于第8级台阶可获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失败. （1）某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第X级台阶，求X的分布列及数学期望E（X）； （2）甲、乙两位学生参加游戏，求恰有一人获得奖品的概率. 【答案】（1）由题意可知：每次抛掷骰子上两级台阶的概率为＝，上三级台阶的概率为＝， 且X的可能取值为6，7，8，9，可得（X－6）～B（3，），则有： P（X＝6）＝（）3＝， P（X＝7）＝××（）2＝， P（X＝8）＝×（）2×＝， P（X＝9）＝（）3＝， 所以X的分布列为 X 6 7 8 9 P 因为E（X－6）＝3×＝1，所以E（X）＝7. （2）因为位于第10级台阶则认定游戏失败，无法获得奖品， 结合题意可知：若学生位于第10级台阶，则抛掷3次后，学生位于第7级台阶，抛掷第4次上三级台阶， 可知不能获得奖品的概率为P1＝××（）2×＝， 所以甲、乙两位学生参加游戏，恰有一人获得奖品的概率P＝××（1－）＝. 【预习要求】 1、 认真阅读选择性必修一196页-220页，学案、熟悉本节课的“复习目标”、“重点”、“难点”； 2、 能合本说出求离散型分布列的期望和方差公式，二项分布和超几何分布的区别。 3、能合本说出随机变量及其分布列知识体系的思维导图。 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 33 随机变量及其分布列（新编） 【复习目标】 1、考点归纳 （1）离散型随机变量的期望与方差 （2）二项分布与超几何分布 2、易错易混点归纳 涉及求分布列时，要注意区分是二项分布还是超几何分布 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 1.离散型随机变量的期望与方差 （1）期望：E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn； （2）方差：D（X）＝（xi－E（X））2pi，标准差为； （3）期望与方差的性质：E（aX＋b）＝aE（X）＋b（a，b为常数）， D（aX＋b）＝a2D（X）（a，b为常数）， 若X～B（n，p），则E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）. 2.二项分布概率模型的特征 （1）在每一次试验中，试验结果只有两个，即发生与不发生；（2）各次试验中的事件是相互独立的； （3）在每一次试验中，事件发生的概率与不发生的概率都保持不变. 3.超几何分布概率模型的特征 （1）实际问题所描述的事件只包含两个结果（发生与不发生），每进行一次上述抽取都不是原来的重复（再次抽取时，都与上次条件发生了变化）；（2）每次抽取中同一事件发生的概率都不同； （3）实际问题中随机变量为抽到某类个体的个数； （4）该问题属于不放回抽取问题. 【典例探究】 考点一　离散型随机变量的期望与方差 学法指导：求随机变量X的均值与方差的方法及步骤 （1）理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；（2）求X取每个值时对应的概率，写出随机变量X的分布列；（3）由均值和方差的计算公式，求得均值E（X），方差D（X）. 【例1】（2024·新高考Ⅱ卷18题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立. （1）若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率； （2）假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 考点二　二项分布与超几何分布 学法指导：1.二项分布的期望与方差的求解策略 （1）如果ξ ～B（n，p），则用公式E（ξ）＝np，D（ξ）＝np（1－p）求解，可大大减少计算量；（2）有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b以及E（ξ）＝np求出E（aξ＋b），同样也可求出D（aξ＋b）. 2.求超几何分布的分布列的三个步骤： 1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；（2）根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；（3）用表格的形式列出分布列. 【例2】　（2023·全国甲卷理19题节选）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望. 【训练检测】 1.（2024·济宁一模）袋中装有大小相同的4个红球，2个白球.某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏规则如下：①每次从袋中摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束. （1）求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次的概率； （2）若摸出1次红球计1分，摸出1次白球记2分，求一轮游戏结束时，此人总得分X的分布列和数学期望. 2.（2024·九省联考）盒中有标有数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球. （1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率； （2）记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E（X）. 3.（2024·临沂一模）某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有一个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎.游戏规则如下：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上两级台阶，再重复以上步骤，当参加游戏的学生位于第8、第9或第10级台阶时游戏结束.规定：从平地开始，结束时学生位于第8级台阶可获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失败. （1）某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第X级台阶，求X的分布列及数学期望E（X）； （2）甲、乙两位学生参加游戏，求恰有一人获得奖品的概率. 【预习要求】 1、 认真阅读选择性必修一196页-220页，学案、熟悉本节课的“复习目标”、“重点”、“难点”； 2、 能合本说出求离散型分布列的期望和方差公式，二项分布和超几何分布的区别。 3、能合本说出随机变量及其分布列知识体系的思维导图。 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$