概率学案-2025届高三数学二轮复习

学案32 概率（新编） 【复习目标】 1、考点归纳 （1）古典概型、相互独立事件的概率 （2）条件概率与全概率公式、正态分布中的概率计算 2、易错易混点归纳 （1）古典概型、相互独立事件的概率不会算 （2）条件概率与全概率公式、正态分布中的概率计算题型不清晰致错 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 1.常用的概率公式 （1）A与B互斥，则P（AB）＝0； （2）A与B对立，则P（A）＝1－P（B）； （3）A与B相互独立，则P（AB）＝P（A）·P（B）； （4）A发生的条件下，B发生的概率P（B｜A）＝＝； （5）若A1，A2，…，An是两两互斥事件且A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0（i＝1，2，…，n），则对任意事件B⊆Ω，有P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）. 2.服从N（μ，σ2）的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法 （1）利用P（μ－σ≤X≤μ＋σ），P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ），P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）的值直接求； （2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质求解； （3）若X～N（μ，σ2），则E（X）＝μ，D（X）＝σ2； （4）在实际问题中，参数μ，σ可以分别用样本均值和样本标准差来估计. 【典例探究】 考点一　古典概型 学法指导：求古典概型概率的注意点 （1）对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时要做到不重不漏； （2）当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率. 【例1】（新编）（2024·湘豫名校联考）党的二十大报告提出：“深化全民阅读活动”.今天，我们思索读书的意义、发掘知识的价值、强调阅读的作用，正是为了更好地满足人民群众精神文化生活新期待.某市把图书馆、博物馆、美术馆、文化馆四个公共文化场馆面向社会免费开放，开放期间需要志愿者参与协助管理.现有A，B，C，D，E共5名志愿者，每名志愿者均参与本次志愿者服务工作，每个场馆至少需要一名志愿者，每名志愿者到各个场馆的可能性相同，则A，B两名志愿者不在同一个场馆的概率为（　　） A. B. C. D. 考点二　互斥事件与独立事件 学法指导：求相互独立事件的概率的两种方法 （1）直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解； （2）间接法：当复杂事件正面情况较多，反面情况较少时，可利用其对立事件进行求解.“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解. 【例2】（新编）（1）（2024·郑州第三次质量检测）抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子（骰子为正四面体，四个面上的数字分别为1，2，3，4），若骰子与桌面接触面上的数字为1或2，则再抛掷一次，否则停止抛掷（最多抛掷2次）.则抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为（　　） A. B. C. D. （2）（多选）对于一个事件E，用n（E）表示事件E中样本点的个数，在一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，D中，n（Ω）＝100，n（A）＝60，n（B）＝40，n（C）＝20，n（D）＝10，n（A∪B）＝100，n（A∩C）＝12，n（A∪D）＝70，则（　　） A.A与D不互斥 B.A与B互为对立 C.A与C相互独立 D.B与C相互独立 考点三　条件概率与全概率公式 学法指导：1.求条件概率的常用方法 （1）利用定义，分别求P（A）和P（AB），得P（B｜A）＝； （2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点个数n（A），再在事件A发生的条件下求事件B包含的样本点个数，即n（AB），得P（B｜A）＝. 2.应用全概率公式求概率的思路 （1）按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai（i＝1，2，…，n）； （2）求P（Ai）和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P（Ai）P（B｜Ai）； （3）代入全概率公式计算. 【例3】（1）（2024·沈阳质量监测）甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为（　　） A　　 　　B. C.　 　　　D. （2）设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5 nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙两线生产的芯片分别为12块、8块，且乙线生产该芯片的次品率为.现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲线生产该芯片的次品率为（　　） A. B. C. D. 【训练检测】 1.（2024·全国甲卷文4题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定.则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（　　） A. B. C. D. 2.（2024·杭州重点中学联考）第19届亚运会的吉祥物由“琮琮”“宸宸”和“莲莲”三类组成，现有印着三类吉祥物的挂件各2个（同类吉祥物完全相同，无区别）.若把这6个挂件分给3位同学，每人2个，则恰好有1位同学得到同类吉祥物挂件的概率是（　　） A.　　　　B. C.　　　　D. 3.（2024·日照一模）已知样本空间Ω＝{a，b，c，d}含有等可能的样本点，且A＝{a，b}，B＝{b，c}，则P（A）＝（　　） A.　　　　B. C.　　　　D.1 4.（2024·武汉五调）抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A＝“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，B＝“n次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（　　） A.当n＝2时，P（AB）＝ B.当n＝2时，事件A与事件B不相互独立 C.当n＝3时，P（A＋B）＝ D.当n＝3时，事件A与事件B不相互独立 5． （2024·天津高考13题）A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为 ；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为 . 6.（2024·长沙新高考适应性考试）已知甲盒中有3个红球和2个黄球，乙盒中有2个红球和1个黄球.现从甲盒中随机抽取1个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取1个球，此球恰为红球的概率为 . 【预习要求】 1、 认真阅读学案、熟悉本节课的“复习目标”、“重点”、“难点”； 2、 提前解题，提前在笔记本上列出古典概型、条件概率、全概率公式，并说出适用题型； 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学案32 概率（新编） 【复习目标】 1、考点归纳 （1）古典概型、相互独立事件的概率 （2）条件概率与全概率公式、正态分布中的概率计算 2、易错易混点归纳 （1）古典概型、相互独立事件的概率不会算 （2）条件概率与全概率公式、正态分布中的概率计算题型不清晰致错 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 1.常用的概率公式 （1）A与B互斥，则P（AB）＝0； （2）A与B对立，则P（A）＝1－P（B）； （3）A与B相互独立，则P（AB）＝P（A）·P（B）； （4）A发生的条件下，B发生的概率P（B｜A）＝＝； （5）若A1，A2，…，An是两两互斥事件且A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0（i＝1，2，…，n），则对任意事件B⊆Ω，有P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）. 2.服从N（μ，σ2）的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法 （1）利用P（μ－σ≤X≤μ＋σ），P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ），P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）的值直接求； （2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质求解； （3）若X～N（μ，σ2），则E（X）＝μ，D（X）＝σ2； （4）在实际问题中，参数μ，σ可以分别用样本均值和样本标准差来估计. 【典例探究】 考点一　古典概型 学法指导：求古典概型概率的注意点 （1）对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时要做到不重不漏； （2）当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率. 【例1】（新编）（2024·湘豫名校联考）党的二十大报告提出：“深化全民阅读活动”.今天，我们思索读书的意义、发掘知识的价值、强调阅读的作用，正是为了更好地满足人民群众精神文化生活新期待.某市把图书馆、博物馆、美术馆、文化馆四个公共文化场馆面向社会免费开放，开放期间需要志愿者参与协助管理.现有A，B，C，D，E共5名志愿者，每名志愿者均参与本次志愿者服务工作，每个场馆至少需要一名志愿者，每名志愿者到各个场馆的可能性相同，则A，B两名志愿者不在同一个场馆的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D　将5名志愿者分配到4个场馆，共有种不同的方法，其中A，B两名志愿者在同一个场馆共有种不同的方法，所以A，B两名志愿者不在同一个场馆的概率为P＝1－＝.故选D. 考点二　互斥事件与独立事件 学法指导：求相互独立事件的概率的两种方法 （1）直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解； （2）间接法：当复杂事件正面情况较多，反面情况较少时，可利用其对立事件进行求解.“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解. 【例2】（新编）（1）（2024·郑州第三次质量检测）抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子（骰子为正四面体，四个面上的数字分别为1，2，3，4），若骰子与桌面接触面上的数字为1或2，则再抛掷一次，否则停止抛掷（最多抛掷2次）.则抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为（　　） A. B. C. D. （2）（多选）对于一个事件E，用n（E）表示事件E中样本点的个数，在一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，D中，n（Ω）＝100，n（A）＝60，n（B）＝40，n（C）＝20，n（D）＝10，n（A∪B）＝100，n（A∩C）＝12，n（A∪D）＝70，则（　　） A.A与D不互斥 B.A与B互为对立 C.A与C相互独立 D.B与C相互独立 【答案】（1）抛掷次数为1的概率为＝，点数可能为3或4，抛掷次数为2的概率为1－＝，此时基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）共八种，其中点数之和至少为4的情况有（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4）共五种，故抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为×＋×＝＋＝.故选A. （2）对于A，∵n（A）＝60，n（D）＝10，n（A∪D）＝70，∴n（A∪D）＝n（A）＋n（D），∴A与D互斥，故A错误；对于B，∵n（A∪B）＝n（A）＋n（B）＝n（Ω），∴A与B互为对立，故B正确；对于C，∵P（A）＝＝，P（C）＝＝，P（A∩C）＝＝，∴P（A∩C）＝P（A）P（C）＝，∴A与C相互独立，故C正确；对于D，∵n（Ω）＝100，n（A）＝60，n（B）＝40，n（C）＝20，n（A∪B）＝100，n（A∩C）＝12，∴n（B∩C）＝8，∴P（B∩C）＝＝，又∵P（B）＝＝，P（C）＝＝，∴P（B∩C）＝P（B）P（C）＝，∴B与C相互独立，故D正确.故选B、C、D. 考点三　条件概率与全概率公式 学法指导：1.求条件概率的常用方法 （1）利用定义，分别求P（A）和P（AB），得P（B｜A）＝； （2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点个数n（A），再在事件A发生的条件下求事件B包含的样本点个数，即n（AB），得P（B｜A）＝. 2.应用全概率公式求概率的思路 （1）按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai（i＝1，2，…，n）； （2）求P（Ai）和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P（Ai）P（B｜Ai）； （3）代入全概率公式计算. 【例3】（1）（2024·沈阳质量监测）甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为（　　） A　　 　　B. C.　 　　　D. （2）设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5 nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙两线生产的芯片分别为12块、8块，且乙线生产该芯片的次品率为.现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲线生产该芯片的次品率为（　　） A. B. C. D. 【答案】（1）据题意，记甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，目标被击中为事件C，甲、乙同时击中目标为事件D，则P（A）＝，P（B）＝，所以P（C）＝1－P（）P（）＝1－（1－）×（1－）＝，P（DC）＝P（D）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝×＝，则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为P（D｜C）＝＝＝. （2）设A1，A2分别表示取得的这块芯片是由甲、乙线生产的，B表示取得的芯片为次品，甲线生产该芯片的次品率为p，则P（A1）＝＝，P（A2）＝，P（B｜A1）＝p，P（B｜A2）＝.由全概率公式得P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＝p＋×＝0.08，解得p＝.故选B. 【训练检测】 1.（2024·全国甲卷文4题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定.则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C　设A表示事件“丙不是第一个出场，且甲最后出场”，B表示事件“丙不是第一个出场，且乙最后出场”.四人由随机抽签的方式确定出场次序，基本事件共有24个，事件A包含的基本事件有4个，故P（A）＝＝，同理有P（B）＝.由于事件A与事件B互斥，故丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率为P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝. 2.（2024·杭州重点中学联考）第19届亚运会的吉祥物由“琮琮”“宸宸”和“莲莲”三类组成，现有印着三类吉祥物的挂件各2个（同类吉祥物完全相同，无区别）.若把这6个挂件分给3位同学，每人2个，则恰好有1位同学得到同类吉祥物挂件的概率是（　　） A.　　　　B. C.　　　　D. 【答案】D　令6个挂件分别为A，A，B，B，C，C，则将这6个挂件分为3组有5种可能：①AB，AB，CC；②AC，AC，BB；③BC，BC，AA；④AA，BB，CC；⑤AB，BC，AC.再将这分成3组的挂件分给3位同学，有3＋3＋3＋＋＝21（种）情况，恰好有1位同学得到同类吉祥物挂件为分组①②③，有3＋3＋3＝9（种）情况，所以恰好有1位同学得到同类吉祥物挂件的概率是＝.故选D. 3.（2024·日照一模）已知样本空间Ω＝{a，b，c，d}含有等可能的样本点，且A＝{a，b}，B＝{b，c}，则P（A）＝（　　） A.　　　　B. C.　　　　D.1 【答案】A　由题意得，P（A）＝，P（B）＝，P（AB）＝，∴P（AB）＝P（A）P（B），∴事件A与B相互独立，则A与也相互独立，∴P（A）＝P（A）P（）＝P（A）（1－P（B））＝×＝.故选A. 4.（2024·武汉五调）抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A＝“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，B＝“n次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（　　） A.当n＝2时，P（AB）＝ B.当n＝2时，事件A与事件B不相互独立 C.当n＝3时，P（A＋B）＝ D.当n＝3时，事件A与事件B不相互独立 【答案】D　当n＝2时，AB表示一正一反，故P（AB）＝2××＝，故A正确；此时P（A）＝2××＝，P（B）＝1－P（）＝1－×＝，P（AB）＝≠＝P（A）P（B），故B正确；当n＝3时，A＋B表示并非每次都是正面朝上，故P（A＋B）＝1－P（）＝1－××＝，故C正确；此时P（AB）＝3×××＝，P（A）＝1－P（）＝1－××－××＝，P（B）＝××＋3×××＝，所以P（AB）＝＝×＝P（A）P（B），故D错误.故选D. 5． （2024·天津高考13题）A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为 ；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为 . 【答案】由题意知甲选到A的概率P＝＝.记乙选择A活动为事件M，乙选了A活动再选择B活动为事件N，则P（M）＝＝，P（MN）＝＝，所以P（N｜M）＝＝＝. 6.（2024·长沙新高考适应性考试）已知甲盒中有3个红球和2个黄球，乙盒中有2个红球和1个黄球.现从甲盒中随机抽取1个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取1个球，此球恰为红球的概率为 . 【答案】设A＝“在甲盒中拿到红球”，B＝“在乙盒中拿到红球”.因为甲盒中有3个红球，2个黄球，所以P（A）＝，P（）＝1－＝，又乙盒中有2个红球，1个黄球，所以P（B｜A）＝，P（B｜）＝，所以P（B）＝P（AB）＋P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝×＋×＝. 【预习要求】 1、 认真阅读学案、熟悉本节课的“复习目标”、“重点”、“难点”； 2、 提前解题，提前在笔记本上列出古典概型、条件概率、全概率公式，并说出适用题型； 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$