成对数据的统计分析 学案-2025届高三数学二轮复习

34 成对数据的统计分析（新编） 【复习目标】 1、考点归纳 （1）相关程度与回归分析及预测；（2）独立性检验 2、易错易混点归纳 （1）计算相关系数r与回归方程系数公式混淆；（2）相关系数的大小与相关程度的关系；（3）选择更优的公式，运用公式时代入计算错误 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 1．回归分析 (1)样本相关系数：r＝ ，主要用于成对样本数据的显著性检验，以衡量它们之间的线性相关程度．当r>0时，表示两个变量正相关；当r<0时，表示两个变量负相关．|r|越接近1，表明成对样本数据的线性相关程度越强；|r|越接近0，表明成对样本数据的线性相关程度越弱． (2)经验回归方程 ＝x＋，其中＝＝，＝－； 2．独立性检验的方法 (1)提出零假设为H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释． (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2＝的值，并与临界值xα比较． (3)如果χ2≥xα，就推断“X与Y不独立”，这种推断犯错误的概率不超过P（χ2≥xα）；否则不能推断“X与Y不独立”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y不独立”. 【典例探究】 考点一　相关程度与回归分析及预测 学法指导：回归分析通常用来判断两组数据之间的关系，解此类题时要清楚： （1）若两个变量呈现线性相关关系，可直接通过计算公式求回归方程； （2）若两个变量呈现非线性相关关系，解题时可利用化归与转化思想，通过恰当的变换，将其转化为线性相关关系，再求回归方程； （3）利用回归方程可以进行预测与估计，但要注意回归方程表示的是两组数据之间的相关关系，并不是函数关系，所以利用该方程求出的值是估计值，而不是一个确定的值. 【例1】（2022·全国乙卷理19题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截 面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得＝0.038，＝1.615 8，xiyi＝0.247 4. （1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； （2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）； （3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值. 附：相关系数r＝，≈1.377. 考点二　独立性检验 学法指导：解决独立性检验问题的关键是过好三关 （1）假设关：假设两个分类变量无关；（2）公式关：把相关数据代入独立性检验公式求χ2的观测值； （3）对比关：将求出的χ2的观测值与临界值比对，进行准确判断. 【例2】（2024·全国甲卷理17题）某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 （1）填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 （1）能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？ （2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5.设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率，如果＞p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（≈12.247） 附：K2＝， P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【训练检测】 1.（2024·郑州第三次质量检测）按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布.下表是2020—2024年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比（yi%）： 　　年份 年份代码　　　 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 xi 1 2 3 4 5 yi 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8 （1）求2020—2024年年份代码xi与yi的样本相关系数（精确到0.01）； （2）请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出y关于x的经验回归方程； （3）预测2028年的酸雨区面积占国土面积的百分比. 附：样本相关系数r＝，≈6. 经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为： ＝，＝－，xiyi＝70.6，＝133.69. 2.（2024·开封第三次质量检测）某学校有A，B两家餐厅，A餐厅有2种套餐选择，B餐厅有4种套餐选择，且这6种套餐各不相同.A餐厅距离教学楼相比于B餐厅要近很多，经调查发现，100名不同性别的学生选择餐厅用餐的情况如下： 男 女 在A餐厅用餐 40 20 在B餐厅用餐 15 25 （1）以题中所给频率作为概率，求某天甲、乙两名同学选择同一套餐用餐的概率； （2）依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为性别与选择餐厅之间有关联？ 附：χ2＝. α 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 3.841 6.635 7.879 10.828 3.（2024·河南九师联盟）PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物.它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重.城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源.某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量x（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度y（单位：μg/m3）.检测人员采集了50天的数据，制成2×2列联表（部分数据缺失）： PM2.5的平均浓度 燃油车日流量 合计 燃油车日流量x＜1 500 燃油车日流量x≥1 500 PM2.5的平均浓度y＜100 16 24 PM2.5的平均浓度y≥100 20 合计 22 （1）完成上面的2×2列联表，并根据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为PM2.5的平均浓度小于100 μg/m3与燃油车日流量小于1 500辆有关联？ （2）经计算得y与x之间的经验回归方程为＝0.12x－73.86，且这50天的燃油车的日流量x的标准差Sx＝249，PM2.5的平均浓度y的标准差Sy＝36.若样本相关系数r满足｜r｜≥0.75，则判定所求经验回归方程有价值；否则判定其无价值. ①判断该经验回归方程是否有价值； ②若这50天的燃油车的日流量x满足＝1.23×108，试求这50天的PM2.5的平均浓度y的平均数（利用四舍五入法精确到0.1）. 参考数据：×1.23＝0.024 6，2492＝62 001，≈1 548.55. 【预习要求】 1、 认真阅读选择性必修一234页-258页，学案、熟悉本节课的“复习目标”、“重点”、“难点”； 2、 能合本说出样本相关系数、回归方程的公式，独立性检验公式。 3、能合本说出成对数据的统计分析的思维导图。 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 34 成对数据的统计分析（新编） 【复习目标】 1、考点归纳 （1）相关程度与回归分析及预测；（2）独立性检验 2、易错易混点归纳 （1）计算相关系数r与回归方程系数公式混淆；（2）相关系数的大小与相关程度的关系；（3）选择更优的公式，运用公式时代入计算错误 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 1．回归分析 (1)样本相关系数：r＝ ，主要用于成对样本数据的显著性检验，以衡量它们之间的线性相关程度．当r>0时，表示两个变量正相关；当r<0时，表示两个变量负相关．|r|越接近1，表明成对样本数据的线性相关程度越强；|r|越接近0，表明成对样本数据的线性相关程度越弱． (2)经验回归方程 ＝x＋，其中＝＝，＝－； 2．独立性检验的方法 (1)提出零假设为H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释． (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2＝的值，并与临界值xα比较． (3)如果χ2≥xα，就推断“X与Y不独立”，这种推断犯错误的概率不超过P（χ2≥xα）；否则不能推断“X与Y不独立”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y不独立”. 【典例探究】 考点一　相关程度与回归分析及预测 学法指导：回归分析通常用来判断两组数据之间的关系，解此类题时要清楚： （1）若两个变量呈现线性相关关系，可直接通过计算公式求回归方程； （2）若两个变量呈现非线性相关关系，解题时可利用化归与转化思想，通过恰当的变换，将其转化为线性相关关系，再求回归方程； （3）利用回归方程可以进行预测与估计，但要注意回归方程表示的是两组数据之间的相关关系，并不是函数关系，所以利用该方程求出的值是估计值，而不是一个确定的值. 【例1】（2022·全国乙卷理19题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截 面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得＝0.038，＝1.615 8，xiyi＝0.247 4. （1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； （2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）； （3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值. 附：相关系数r＝，≈1.377. 【答案】（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积＝＝＝0.06， 估计该林区这种树木平均一棵的材积量＝＝＝0.39. （2）（xi－）（yi－）＝xiyi－10＝0.013 4， （xi－）2＝－10（）2＝0.002， （yi－）2＝－10（）2＝0.094 8， 所以＝＝≈0.01×1.377＝0.013 77， 所以样本相关系数r＝≈≈0.97. （3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，由题意可知，该种树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，所以＝， 所以Y＝＝1 209，即该林区这种树木的总材积量的估计值为1 209 m3. 考点二　独立性检验 学法指导：解决独立性检验问题的关键是过好三关 （1）假设关：假设两个分类变量无关；（2）公式关：把相关数据代入独立性检验公式求χ2的观测值； （3）对比关：将求出的χ2的观测值与临界值比对，进行准确判断. 【例2】（2024·全国甲卷理17题）某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 （1）填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 （1）能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？ （2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5.设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率，如果＞p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（≈12.247） 附：K2＝， P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 则完整的2×2列联表如下： 优级品 非优级品 总计 甲车间 26 24 50 乙车间 70 30 100 总计 96 54 150 K2＝＝4.687 5. 因为K2＝4.687 5＞3.841，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异； 因为K2＝4.687 5＜6.635，所以没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异. （2）由题意可知＝＝0.64， 又p＋1.65＝0.5＋1.65×≈0.5＋1.65×≈0.57， 所以＞p＋1.65， 所以能认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 【训练检测】 1.（2024·郑州第三次质量检测）按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布.下表是2020—2024年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比（yi%）： 　　年份 年份代码　　　 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 xi 1 2 3 4 5 yi 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8 （1）求2020—2024年年份代码xi与yi的样本相关系数（精确到0.01）； （2）请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出y关于x的经验回归方程； （3）预测2028年的酸雨区面积占国土面积的百分比. 附：样本相关系数r＝，≈6. 经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为： ＝，＝－，xiyi＝70.6，＝133.69. 【答案】解：（1）由已知可得，＝＝3， ＝＝5.1， 由题可列下表： xi－ －2 －1 0 1 2 yi－ 1.3 0.4 －0.1 －0.3 －1.3 （xi－）（yi－）＝－5.9，＝，＝， r＝＝≈≈－0.98. （2）由问题（1）知，y与x的样本相关系数r≈－0.98，｜r｜接近1，所以y与x之间具有极强的线性相关关系，可用一元线性回归模型进行描述. 由问题（1）知，＝＝＝－0.59， ＝－＝5.1－（－0.59）×3＝6.87， 所求经验回归方程为＝－0.59x＋6.87. （3）令x＝9，则＝－0.59×9＋6.87＝1.56，预测2028年的酸雨区面积占国土面积的百分比为1.56%. 2.（2024·开封第三次质量检测）某学校有A，B两家餐厅，A餐厅有2种套餐选择，B餐厅有4种套餐选择，且这6种套餐各不相同.A餐厅距离教学楼相比于B餐厅要近很多，经调查发现，100名不同性别的学生选择餐厅用餐的情况如下： 男 女 在A餐厅用餐 40 20 在B餐厅用餐 15 25 （1）以题中所给频率作为概率，求某天甲、乙两名同学选择同一套餐用餐的概率； （2）依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为性别与选择餐厅之间有关联？ 附：χ2＝. α 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）由表中数据可得，选择A餐厅的概率为＝，选择B餐厅的概率为＝， 设事件A1：甲、乙两名同学去A餐厅用餐， 事件B1：甲、乙两名同学去B餐厅用餐， 事件A：甲、乙两名同学选择同一套餐用餐， P（A1）＝（）2，P（B1）＝（）2，P（A｜A1）＝，P（A｜B1）＝， 则P（A）＝P（A1）P（A｜A1）＋P（B1）P（A｜B1）＝（）2×＋（）2×＝， 故甲、乙两名同学选择同一套餐的概率为. （2）根据数据可得列联表： 餐厅 性别 合计 男 女 在A餐厅用餐 40 20 60 在B餐厅用餐 15 25 40 合计 55 45 100 零假设为H0：认为性别与选择餐厅之间无关， 根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝≈8.249＞7.879＝x0.005， 依据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以推断H0不成立，即性别与选择餐厅之间有关，此推断犯错误的概率不大于0.005. 3.（2024·河南九师联盟）PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物.它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重.城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源.某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量x（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度y（单位：μg/m3）.检测人员采集了50天的数据，制成2×2列联表（部分数据缺失）： PM2.5的平均浓度 燃油车日流量 合计 燃油车日流量x＜1 500 燃油车日流量x≥1 500 PM2.5的平均浓度y＜100 16 24 PM2.5的平均浓度y≥100 20 合计 22 （1）完成上面的2×2列联表，并根据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为PM2.5的平均浓度小于100 μg/m3与燃油车日流量小于1 500辆有关联？ （2）经计算得y与x之间的经验回归方程为＝0.12x－73.86，且这50天的燃油车的日流量x的标准差Sx＝249，PM2.5的平均浓度y的标准差Sy＝36.若样本相关系数r满足｜r｜≥0.75，则判定所求经验回归方程有价值；否则判定其无价值. ①判断该经验回归方程是否有价值； ②若这50天的燃油车的日流量x满足＝1.23×108，试求这50天的PM2.5的平均浓度y的平均数（利用四舍五入法精确到0.1）. 参考数据：×1.23＝0.024 6，2492＝62 001，≈1 548.55. 【答案】（1）2×2列联表如下： PM2.5的平均浓度 燃油车日流量 合计 燃油车日流量x＜1 500 燃油车日流量x≥1 500 PM2.5的平均浓度y＜100 16 8 24 PM2.5的平均浓度y≥100 6 20 26 合计 22 28 50 零假设为H0：PM2.5的平均浓度小于100 μg/m3与燃油车日流量小于1 500辆无关联. 根据列联表中的数据，计算得 χ2＝≈9.624＞7.879＝x0.005， 所以根据小概率值α＝0.005的独立性检验，推断H0不成立，所以可以认为PM2.5的平均浓度小于100 μg/m3与燃油车日流量小于1 500辆有关联. （2）①由题意，得＝＝0.12， 得（xi－）（yi－）＝0.12（xi－）2， 由Sx＝＝249， Sy＝＝36， 得r＝ ＝ ＝0.12×＝0.12×＝0.83＞0.75， 所以该经验回归方程有价值. ②因为Sx＝＝249， 即＝249， 所以＝≈1 548.55， 又＝0.12－73.86≈0.12×1 548.55－73.86＝111.966≈112.0. 故可推算出这50天PM2.5平均浓度y的平均数约为112.0 μg/m3. 【预习要求】 1、 认真阅读选择性必修一234页-258页，学案、熟悉本节课的“复习目标”、“重点”、“难点”； 2、 能合本说出样本相关系数、回归方程的公式，独立性检验公式。 3、能合本说出成对数据的统计分析的思维导图。 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$