第02讲 利用导数研究函数的单调性（春季讲义）-2024-2025学年高二数学春季讲义（人教A版2019选择性必修第二、三册）

第02讲 利用导数研究函数的单调性 【人教A版2019】 模块一 利用导数研究单调性（一） 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 2．利用导数判断不含参函数单调性的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求出函数f(x)的导数； (3)在定义域内求解不等式f'(x)>0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间； (4)在定义域内求解不等式f'(x)<0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间. 注：单调区间不以”并集”出现. 3．利用二阶导判断单调性 在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是也有些问题“一次求导”不能求出原函数的单调性，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，再判断原函数的单调性，才能解决问题. 4．构造函数研究单调性 (1)关系式为“加”型 ①f'(x)+f(x)≥0：构造[exf(x)]'=ex[f'(x)+f(x)]； ②xf'(x)+f(x)≥0：构造[xf(x)]'=xf'(x)+f(x)； ③xf'(x)+nf(x)≥0：构造[xnf(x)]'=xnf'(x)+nxn-1f(x)=xn-1[xf'(x)+nf(x)]. (注意对x的符号进行讨论) (2)关系式为“减”型 (1)f'(x)-f(x)≥0：构造； (2)xf'(x)-f(x)≥0：构造； (3)xf'(x)-nf(x)≥0：构造. 【题型1 利用导数判断单调性、求单调区间】 【例1.1】（23-24高二下·江苏南通·期末）函数，的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求导函数，再令导函数大于等于0，即可求出单调增区间. 【解答过程】因为，所以, 即，. 单调增区间为. 故选：A. 【例1.2】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出导数，解不等式可得解. 【解答过程】， 令，则， 所以在区间上单调递减． 故选：A. 【变式1.1】（24-25高二·全国·课后作业）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D．和 【解题思路】求出的定义域和导数，解不等式结合定义域即可得答案. 【解答过程】因为的定义域为，， 令，即，得且， 所以的单调递减区间为和． 故选：D． 【变式1.2】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知函数满足，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导，令，求出，再根据函数解析式令，求出，即可求出函数解析式，再利用导数求出函数的增区间即可. 【解答过程】由， 得， 则，所以， 则， 故，所以， 所以，， 因为函数都是增函数， 所以函数是增函数， 而， 令，得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：D. 【题型2 利用二阶导数判断函数单调性】 【例2.1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数.设，讨论函数在上的单调性. 【解题思路】求出函数，再利用导数探讨函数在上的单调性. 【解答过程】依题意，，求导得， 令，求导得， 则在上单调递增，于是，即在上恒成立， 所以在上单调递增. 【例2.2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数.若，讨论的单调性. 【解题思路】 根据导数正负函数增减，通过对函数求其导数，并通过单调性判断导数正负，得到函数单调性. 【解答过程】 若，，所以，， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增. 又，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 【变式2.1】（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在上单调递增． 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）利用进行放缩，从而证明导数大于0即可. 【解答过程】（1）因为， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）由（1）知，， 因为，， 所以， 所以 设，则导函数， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 所以在上单调递增. 【变式2.2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，其中e是自然对数的底数． (1)求函数的单调区间； (2)讨论函数的单调性． 【解题思路】（1）求定义域，二次求导，结合特殊点的函数值，得到的单调性； （2）求定义域，再求导，结合（1）中所求，分，，和四种情况，求出函数的单调性. 【解答过程】（1）的定义域为R， ， 令，则 因为，所以恒成立， 所以函数在R上单调递增． 而，所以当时，，，函数单调递减； 当时，，，函数单调递增． 综上，函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）， 定义域为R， ． 由（1）知，当时，；当时，． 当时，， ∴时，，函数单调递增； 时，，函数单调递减． 当时，令，解得． ①若，则， ∴时，，，则，函数单调递增， 时，，，，函数单调递增， 时，，，，函数单调递减， ②若，则，当时，，， 当时，，， ∴时，，函数在R上单调递增． ③若，则， ∴时，，，，函数单调递增， 时，，，，函数单调递增， 时，，，，函数单调递减， 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在，上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在R上单调递增； 当时，函数在，上单调递增，在上单调递减． 【题型3 构造函数研究单调性】 【例3.1】（24-25高三上·湖南郴州·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】构造函数，利用单调性可判断的大小，构造函数，利用单调性可判断的大小，进而可得结论. 【解答过程】令，求导得， 令，所以，所以在上单调递增， 所以，所以，所以单调递增， 所以，所以， 所以，所以，即， 令，求导得， 所以在上单调递减，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以. 故选：B. 【例3.2】（2024·广东佛山·一模）设是函数的导数，，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令，求导，得到在上单调递增，且，由得到，得到的对称性，故在上单调递减，且，得到当时，，则，当时，，则，求出成立的的取值范围. 【解答过程】令，则， 因为时，，故当时，， 故在上单调递增，且． 因为，故， 即，所以， 故关于直线对称，故在上单调递减，且， 当时，，则； 当时，，则； 所以使得成立的的取值范围是. 故选：C． 【变式3.1】（24-25高三上·福建南平·期中）定义在上的函数，是的导函数，且成立， ，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由条件可得，构造函数，利用导数判断函数的单调性，比较函数值的大小即可. 【解答过程】因为时，， 所以可化为， 设，， 则， 所以函数在上的单调递减， 因为，所以， 所以，即， 所以. 故选：B. 【变式3.2】（2024·吉林长春·一模）已知定义在上的函数是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】构造函数，由导数确定单调性，将已知不等式转化为关于不等式，然后利用单调性即可求解． 【解答过程】设，则 ， 因为，，所以，可得在上单调递减， 不等式，即，即，所以， 因为在上单调递减，所以，解得：， 所以不等式的解集为：， 故选：D. 模块二 利用导数研究单调性（二） 1．含参函数的分类讨论 利用导数研究函数的单调性主要是利用导数的正负与函数单调性的关系得出相应结论，导函数的符号 决定了函数的单调性，而导函数的变号零点恰好是其分界点，故f'(x)=0是否有根及根的位置是分类讨论的标准，一般可以按方程在定义域内有根、无根以及根的大小等方面来分类讨论. 2．单调性的逆向求参问题 (1)函数f(x)在(a,b)上单调递增，则f'(x)≥0且f'(x)在(a,b)的任意子区间上不恒为0； (2)函数f(x)在(a,b)上单调递减，则f'(x)≤0且f'(x)在(a,b)的任意子区间上不恒为0. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【题型4 利用导数研究含参函数的单调性】 【例4.1】（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数. (1)若，求在处的切线方程. (2)讨论的单调性. 【解题思路】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）求导，对分类讨论，根据导函数的正负即可求解单调性. 【解答过程】（1）由题设，则， 所以，，故切线方程为，         整理得. （2）由题设，且， 当时，当时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，时，或时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立，即在上单调递减；. 当时，时，或时， 所以在上单调递减，在上单调递增. 【例4.2】（2024·陕西西安·一模）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【解题思路】（1）根据，求导，因为，求得，写出切线方程； （2）由（1）知，分， 两种情况，按照求单调区间的步骤求解. 【解答过程】（1）因为. 所以， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知， 当时，，在上单调递减， 当时，令，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 综上：当时， 的单调减区间是，无单调增区间； 当时，的单调减区间是，单调增区间是. 【变式4.1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【解题思路】（1）先求出导函数再得出再应用点斜式得出切线方程； （2）分和两种情况分别讨论的正负，即可得出的单调性. 【解答过程】（1）当时，， 求导得，则， 即切线的斜率为，又， 故曲线在点处的切线方程为， 化简得． （2）求导得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【变式4.2】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，，讨论函数的单调性. 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，结合切点易求得切线方程； （2）将函数求导，根据参数进行分类讨论导函数的正负，即得函数的单调性. 【解答过程】（1），，则， 则，即切线斜率， 故切线方程为，即； （2）函数的定义域为，， ， 当时，，由，可得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 当时，， ①当时，，当或时，， 即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减； ②当时，则对任意的，即函数在上单调递增； ③当时，， 当或时，，即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 【题型5 单调性的逆向求参问题】 【例5.1】（24-25高二上·浙江宁波·期中）若函数在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求出导函数，根据单调性把问题转化为不等式恒成立，利用函数单调性求出最值即可 【解答过程】由，得， 又在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立，只需求出的最小值即可， 又在单调递减，所以，则， 所以，故. 故选：D. 【例5.2】（23-24高三上·广东汕头·期中）设，若函数在递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】把函数在递增利用导数转化为在上恒成立，利用指数函数单调性得，解对数不等式即可得解. 【解答过程】因为函数在递增， 所以在上恒成立， 则，即在上恒成立， 由函数单调递增得， 又，所以，所以， 所以即，解得， 所以的取值范围是. 故选：B. 【变式5.1】（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)在上是增函数，求a的取值范围； (2)讨论函数的单调性． 【解题思路】（1）利用导数与函数的关系得到在上恒成立，从而得解； （2）首先求出定义域，再求出导函数，分和两种情况，求出函数的单调区间. 【解答过程】（1）因为，所以的定义域为， 则， 因为在上是增函数，即在上恒成立， 则在上恒成立， 因为在上恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立，即， 因为，所以，则， 所以，则. （2）由（1）得， 当时，，则在上是增函数； 当时，， 所以； 或； ， 所以在上是减函数，在和上是增函数. 【变式5.2】（23-24高二下·四川自贡·期末）已知函数． (1)若的单调递减区间为，求实数的值； (2)若函数在单调递减，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）求出函数的导数，根据的单调递减区间为，可得是的两根，即可求得答案； （2）由函数在单调递减，可得在上恒成立，即可推出在上恒成立，从而求得答案. 【解答过程】（1）由题意得， 因为的单调递减区间为，即的解集为， 故是的两根，即， 当时，，由，解得， 等号仅在时取得，即的单调递减区间为，符合题意， 故. （2）函数在单调递减，即在上恒成立， 即在上恒成立，此时， 即在上恒成立，而，故, 经验证当时, 即， 等号仅在时取得，此时函数在单调递减，符合题意， 故. 【题型6 导数中函数单调性的应用——比较大小】 【例6.1】（2024·河南·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】易得，，，构建函数，求导判断其单调性，利用单调性比较大小即可. 【解答过程】由题意可得，，， 设，，则， 故当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因为，，，且， 可得，，所以. 故选：D. 【例6.2】（24-25高三上·江西新余·阶段练习）设，，，则的大小关系为：（     ）. A． B． C． D． 【解题思路】分别构造函数，，利用导数求导，得单调性求解即可． 【解答过程】令，求导得，，， 当时，，函数在单调递减， 当时，，函数在单调递增， 所以，所以，当且仅当，时等号成立，所以， 所以，设，则， 记，则，记， 则，所以在上单调递增， 故时，，即， 所以在上单调递增，故时，， 即，所以在上单调递增， 故时，，即，所以， 又，所以，即，所以． 故选：A. 【变式6.1】（24-25高三上·安徽黄山·阶段练习）定义在上的函数满足，又，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先由题设条件，结合导数与函数单调性的关系分析得在上单调递减，再利用指对数函数的单调性得到的大小关系，从而得解. 【解答过程】因为， 所以当时，则， 则函数在上单调递减， 而， 所以，即. 故选：A. 【变式6.2】（24-25高三上·青海·阶段练习）已知奇函数满足.当时，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先证明4为的一个周期，可得，再利用导数证明在上单调递增，从而可得答案. 【解答过程】由奇函数满足，得， 则，所以4为的一个周期， 则， 当时，，令， 则，所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，故. 故选：B. 【题型7 导数中函数单调性的应用——解不等式】 【例7.1】（24-25高三上·福建福州·期中）已知定义在上的函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据的奇偶性以及单调性，即可将问题转化为，即可求解. 【解答过程】记，则 所以所求解不等式为， ，是奇函数 在上是增函数 由得 ，化简得 ， 所以的取值范围是， 故选：B. 【例7.2】（24-25高三上·山东烟台·期中）已知定义在R上的函数满足，当时，，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可知关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，根据的对称性和单调性解不等式即可得出答案. 【解答过程】因为定义在R上的函数满足， 所以关于对称， 当时，，所以， 所以在上单调递减，因为关于对称， 所以在上单调递增， 由，则，可得：， 即或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 【变式7.1】（24-25高三上·广东汕头·期末）已知函数. (1)证明曲线是轴对称图形； (2)设函数，解不等式（是自然对数的底数）. 【解题思路】（1）求出的定义域，分别求出和即可证明； （2）写出函数并求导，令，，利用导数分别判断和的单调性，进而得到的单调性，再结合即可求解. 【解答过程】（1）由得或，所以函数的定义域为， 因为， ， 所以，所以关于对称， 即曲线是轴对称图形； （2）因为， 则， 令， 则， 令， 则，所以在单调递增， 所以，即，所以在单调递增， 所以，即，所以在单调递增， 又， 则，即，所以， 所以不等式的解集为. 【变式7.2】（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数 (1)求证：曲线的图象关于点对称; (2)若，求实数a的取值范围. 【解题思路】（1）由可得答案； （2）利用导数判断出单调性，再利用单调性解不等式，进而得实数a的取值范围. 【解答过程】（1）函数的定义域为， 因为， 所以曲线的图象关于点对称； （2）由（1）知，， 所以， 所以不等式， 可得 因为， 当且仅当即时等号成立， 所以在上单调递增， 所以，即， 解得或 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的选项是（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【解题思路】由的增减性与的正负之间的关系进行判断， 【解答过程】结合图象可得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 显然C正确，其他选项错误. 故选：C. 2．（23-24高二下·广西玉林·期末）函数在R上是单调递增的充分条件是：（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先对函数求导，再由题意可得恒成立，则，从而可求出实数m的取值范围，进而可求解. 【解答过程】因为，所以． 因为函数在R上单调递增，所以恒成立， 则，解得， 所以函数在R上是单调递增的充分条件是的非空子集. 只有B选项符合. 故选：B. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出函数的单调增区间，由即可解出. 【解答过程】函数的定义域是， 所以. 当时，，则在上单调递增，符合题意. 当时，由，得（负根舍去）， 所以当 时，单调递增； 当 时，单调递减. 依题意，函数在区间内存在单调递增区间， 所以，解得. 综上，. 故选：C. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．在区间内单调递增 B．在区间内单调递减 C．在区间内单调递增，在区间内单调递减 D．在区间内单调递减，在区间内单调递增 【解题思路】求，通过在区间内的符号判断函数的单调性即可. 【解答过程】由题意， ， 当时，，则， 所以在区间上单调递减． 故选：B. 5．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】求导，分和，根据函数单调性得到不等式，求出，根据是的真子集，得到答案；或根据条件转化为恒成立进而即得. 【解答过程】法一：因为， 所以，当时，， 此时在上单调递增， 当时，， 令得，解得， 令得，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 要想在上单调递增，则，解得， 故， 综上，， 由于是的真子集， 则“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 法二：由题可得在上恒成立， 即恒成立，又， 所以，下面同解法一. 故选：A. 6．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题设可得在上恒成立，分离参数后利用基本不等式可求实数的取值范围. 【解答过程】因为函数，则， 因为在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立，即，即， 设，，， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 故选：D. 7．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知在上单调递增，若为偶函数，，，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据为偶函数得到关于对称，即有，构造函数，利用导数判断函数的单调性，可判断和的大小，将两边同时取对数可判断和的大小，最后根据在上单调递增比较大小即可. 【解答过程】因为为偶函数，则， 所以关于对称，所以， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 所以，即， 所以， 当时，由得，，则， 由上可得，又在上单调递增， 所以，即， 所以. 故选：A． 8．（24-25高三上·辽宁·期中）已知定义在上的函数及其导函数，满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令，结合题意得，所以在上单调递增，，即，即，根据单调性解不等式即可. 【解答过程】令，则， 因为，所以， 所以在上单调递增， ，即， 又，则， 所以，即， 所以，解得. 故选：. 二、多选题 9．（23-24高二下·湖北十堰·阶段练习）下列函数中，在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数判断函数在指定区间上的单调性即可. 【解答过程】对于，的导数在区间上恒成立，所以函数在上是增函数，故A正确． 对于，的导数在区间上恒成立，所以函数在上是增函数，故B正确． 对于，的导数，当时，，当时，， 所以函数在上是增函数，在上是减函数，故C错误． 对于，的导数在区间上恒成立，所以函数在上是增函数，故D正确． 故选：ABD． 10．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数在区间上存在单调递减区间，则可能的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．e 【解题思路】求得，根据题意，转化为即在有解，设，利用导数求得函数的最小值，结合选项，即可求解. 【解答过程】由函数，可得， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在有解，即在有解， 设，可得， 所以函数单调递增，所以，即， 结合选项，可得选项C、D符合题意. 故选：CD. 11．（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）若奇函数在上可导，当时，满足，，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D．不等式的解集为 【解题思路】对于A，令，解出即可；对于B、C、D，构造函数，由题意求导研究函数性质即可. 【解答过程】对于A，令，则，所以， 所以选项A错误； 对于B，构造函数，则当时，， 所以在单调递增；所以， 所以，所以选项B正确； 对于C，构造函数，由时，， 所以，由， 又由选项B可知在单调递增，所以当时，， 即当，，所以在上单调递增， 所以选项C正确； 对于D，构造函数，当时，由选项B可知在单调递增， 又知，所以当，，在，； 即当时，在为负，在为正； 由为奇函数，所以当时， 在为负，在为正， 所以不等式的解集为：，所以选项D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（23-24高二下·四川成都·期中）函数，的增区间为 . 【解题思路】求出函数导数，解不等式即可得解. 【解答过程】，， 由可得， 解得， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：. 13．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是 ． 【解题思路】求导，利用导数可知的单调增区间为，结合题意列式求解即可. 【解答过程】由题意可知：的定义域为，且， 令，得，可知的单调增区间为， 若函数在区间内单调递增，依题意，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 14．（23-24高二下·四川凉山·期中）已知定义在上的可导函数，满足在上恒成立，且，则不等式的解集为 . 【解题思路】构造函数，由题意可得在上单调递增，不等式可转化为，结合函数单调性计算即可得. 【解答过程】令，则有， 由在上恒成立，故在上恒成立， 即函数在上单调递增， 由，则， 即不等式可转化为， 结合函数单调性可得，即不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高二下·海南海口·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【解题思路】（1）求出、代入直线的点斜式方程可得答案； （2）分、、讨论，利用导数判断可得答案． 【解答过程】（1）若，则， ，所以， ， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）， 当时，， 在上单调递增， 当时，由得，或， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递减； 当时，由得，或， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递减； 综上所述， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为. 16．（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求的单调区间. 【解题思路】（1）根据导数与单调性的关系，求出单调区间即可； （2）对含参函数求导，从而得出导数的零点，再通过对二次函数的根的讨论，得出单调区间. 【解答过程】（1）当时，，定义域为， ， 令，得，令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2），定义域为， ，令，得或. ①当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增； ②当时，当和时，，单调递增， 当时，，单调递减； ③当时，对恒成立，所以在单调递增； ④当时，当和时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述：当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减，在和单调递增； 当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在和单调递增. 17．（23-24高二下·四川成都·期中）已知函数 (1)写出函数的定义域，求当时的单调区间； (2)若，在区间上为减函数，求a的取值范围. 【解题思路】（1）由函数解析式求出定义域，求出函数导数，建立不等式求解，即得函数单调区间； （2）由在区间上为减函数等价于在区间上恒成立，由二次函数得到关于参数的不等式组，解之即得. 【解答过程】（1）因为， 所以函数定义域为， 当时，， 因，由可得，则的单调增区间为， 由，解得，所以的单调减区间为， 故的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由函数，可得， 在区间上为减函数等价于在区间上恒成立， 即在区间上恒成立. 不妨设且，结合二次函数的图象与性质， 需使，解得或（舍去）. 即的取值范围是. 18．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)讨论函数的单调性； 【解题思路】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）求出函数的定义域与导函数，分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【解答过程】（1）当时定义域为， 且， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）函数的定义域为， 又， 当时，则恒成立， 令，解得；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，解得或， ①当，即时，令，解得或；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； ②当，即时，则在定义域上恒成立， 故在上单调递增； ③当，即时，令，解得或；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减； 当，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减. 19．（23-24高二下·山东聊城·阶段练习）已知函数，的解集为． (1)求a，b的值； (2)若是定义在上的奇函数，且当时， （ⅰ）求的解析式 （ⅱ）求不等式的解集． 【解题思路】（1）先求导，结合题意可得1和2是方程的两个根，且，根据韦达定理即可求解； （2）（ⅰ）由题意根据奇函数的定义以及当时，，可以求出当时的表达式，从而即可进一步求解. （ⅱ）结合导数分析时，的单调性，再结合奇函数的性质可得函数在上的单调性，进而转化为，利用单调性即可求解. 【解答过程】（1）因为，所以， 又的解集为， 所以1和2是方程的两个根，且， 所以，解得，. （2）（ⅰ）由（1）知，， 当时，， 因为是定义在上的奇函数，所以， 当时，， ， 故， 所以. （ⅱ）当时，， ，所以函数在上单调递增， 又是定义在上的奇函数，， 所以函数在上单调递增，所以函数在上单调递增. 由，得， 所以，即， 所以不等式的解集为. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 利用导数研究函数的单调性 【人教A版2019】 模块一 利用导数研究单调性（一） 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 2．利用导数判断不含参函数单调性的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求出函数f(x)的导数； (3)在定义域内求解不等式f'(x)>0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间； (4)在定义域内求解不等式f'(x)<0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间. 注：单调区间不以”并集”出现. 3．利用二阶导判断单调性 在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是也有些问题“一次求导”不能求出原函数的单调性，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，再判断原函数的单调性，才能解决问题. 4．构造函数研究单调性 (1)关系式为“加”型 ①f'(x)+f(x)≥0：构造[exf(x)]'=ex[f'(x)+f(x)]； ②xf'(x)+f(x)≥0：构造[xf(x)]'=xf'(x)+f(x)； ③xf'(x)+nf(x)≥0：构造[xnf(x)]'=xnf'(x)+nxn-1f(x)=xn-1[xf'(x)+nf(x)]. (注意对x的符号进行讨论) (2)关系式为“减”型 (1)f'(x)-f(x)≥0：构造； (2)xf'(x)-f(x)≥0：构造； (3)xf'(x)-nf(x)≥0：构造. 【题型1 利用导数判断单调性、求单调区间】 【例1.1】（23-24高二下·江苏南通·期末）函数，的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二·全国·课后作业）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D．和 【变式1.2】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知函数满足，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用二阶导数判断函数单调性】 【例2.1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数.设，讨论函数在上的单调性. 【例2.2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数.若，讨论的单调性. 【变式2.1】（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在上单调递增． 【变式2.2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，其中e是自然对数的底数． (1)求函数的单调区间； (2)讨论函数的单调性． 【题型3 构造函数研究单调性】 【例3.1】（24-25高三上·湖南郴州·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【例3.2】（2024·广东佛山·一模）设是函数的导数，，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高三上·福建南平·期中）定义在上的函数，是的导函数，且成立， ，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2024·吉林长春·一模）已知定义在上的函数是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 模块二 利用导数研究单调性（二） 1．含参函数的分类讨论 利用导数研究函数的单调性主要是利用导数的正负与函数单调性的关系得出相应结论，导函数的符号 决定了函数的单调性，而导函数的变号零点恰好是其分界点，故f'(x)=0是否有根及根的位置是分类讨论的标准，一般可以按方程在定义域内有根、无根以及根的大小等方面来分类讨论. 2．单调性的逆向求参问题 (1)函数f(x)在(a,b)上单调递增，则f'(x)≥0且f'(x)在(a,b)的任意子区间上不恒为0； (2)函数f(x)在(a,b)上单调递减，则f'(x)≤0且f'(x)在(a,b)的任意子区间上不恒为0. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【题型4 利用导数研究含参函数的单调性】 【例4.1】（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数. (1)若，求在处的切线方程. (2)讨论的单调性. 【例4.2】（2024·陕西西安·一模）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【变式4.1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【变式4.2】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，，讨论函数的单调性. 【题型5 单调性的逆向求参问题】 【例5.1】（24-25高二上·浙江宁波·期中）若函数在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例5.2】（23-24高三上·广东汕头·期中）设，若函数在递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)在上是增函数，求a的取值范围； (2)讨论函数的单调性． 【变式5.2】（23-24高二下·四川自贡·期末）已知函数． (1)若的单调递减区间为，求实数的值； (2)若函数在单调递减，求实数的取值范围． 【题型6 导数中函数单调性的应用——比较大小】 【例6.1】（2024·河南·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（24-25高三上·江西新余·阶段练习）设，，，则的大小关系为：（     ）. A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高三上·安徽黄山·阶段练习）定义在上的函数满足，又，则（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高三上·青海·阶段练习）已知奇函数满足.当时，，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 导数中函数单调性的应用——解不等式】 【例7.1】（24-25高三上·福建福州·期中）已知定义在上的函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例7.2】（24-25高三上·山东烟台·期中）已知定义在R上的函数满足，当时，，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高三上·广东汕头·期末）已知函数. (1)证明曲线是轴对称图形； (2)设函数，解不等式（是自然对数的底数）. 【变式7.2】（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数 (1)求证：曲线的图象关于点对称; (2)若，求实数a的取值范围. 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的选项是（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递减 D．在上单调递增 2．（23-24高二下·广西玉林·期末）函数在R上是单调递增的充分条件是：（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．在区间内单调递增 B．在区间内单调递减 C．在区间内单调递增，在区间内单调递减 D．在区间内单调递减，在区间内单调递增 5．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知在上单调递增，若为偶函数，，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·辽宁·期中）已知定义在上的函数及其导函数，满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二下·湖北十堰·阶段练习）下列函数中，在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数在区间上存在单调递减区间，则可能的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．e 11．（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）若奇函数在上可导，当时，满足，，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D．不等式的解集为 三、填空题 12．（23-24高二下·四川成都·期中）函数，的增区间为 . 13．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是 ． 14．（23-24高二下·四川凉山·期中）已知定义在上的可导函数，满足在上恒成立，且，则不等式的解集为 . 四、解答题 15．（23-24高二下·海南海口·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 16．（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求的单调区间. 17．（23-24高二下·四川成都·期中）已知函数 (1)写出函数的定义域，求当时的单调区间； (2)若，在区间上为减函数，求a的取值范围. 18．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)讨论函数的单调性； 19．（23-24高二下·山东聊城·阶段练习）已知函数，的解集为． (1)求a，b的值； (2)若是定义在上的奇函数，且当时， （ⅰ）求的解析式 （ⅱ）求不等式的解集． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$