第01讲 导数的运算与几何意义（春季讲义）-2024-2025学年高二数学春季讲义（人教A版2019选择性必修第二、三册）

第01讲 导数的运算与几何意义 【人教A版2019】 模块一 导数的运算 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 【题型1 基本初等函数的导数】 【例1.1】（23-24高二下·广西桂林·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列求导结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高二下·四川宜宾·期末）下列运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二下·甘肃天水·阶段练习）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 复合函数的求导方法】 【例2.1】（23-24高二下·湖北武汉·期中）下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，，，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式2.1】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）设是定义在R上的奇函数，其导函数为，且也是奇函数，当，，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式2.2】（2024·四川·模拟预测）已知函数为定义在上的函数的导函数，为奇函数，为偶函数，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 与导数运算有关的新定义问题】 【例3.1】（2024·安徽·模拟预测）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高二下·浙江台州·期末）设定义在上的函数．记，对任意的，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高二上·河北·阶段练习）曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：记是的导函数，是的导函数，那么曲线在点处的曲率，则曲线在点处的曲率为（    ） A．0 B． C． D． 【变式3.2】（23-24高二下·宁夏银川·期末）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 模块二 导数的几何意义 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线 P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线的斜率，即f'().这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2．切线方程的求法 (1)已知切点时求切线方程的方法： ①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； ②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). (2)切点未知时的解题通法： ①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； ②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； ③将已知条件代入②中的切线方程求解. 【题型4 求曲线切线的斜率或倾斜角】 【例4.1】（23-24高二下·河北保定·期中）曲线在处的切线倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高二下·湖北·期中）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高三上·河南·阶段练习）已知，过作曲线的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（2024·贵州·模拟预测）设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】 【例5.1】（24-25高三上·河北保定·阶段练习）过曲线S：上一点的切线方程为（    ） A．或 B． C．或 D． 【例5.2】（24-25高二下·重庆·阶段练习）设函数，则曲线在点（3，－6）处的切线方程为（    ） A．y＝9x＋21 B．y＝－9x＋19 C．y＝9x＋19 D．y＝－9x＋21 【变式5.1】（23-24高二下·河北·开学考试）已知函数（，）的图象过点，且． (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程． 【变式5.2】（23-24高二上·重庆·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【题型6 已知切线（斜率）求参数】 【例6.1】（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例6.2】（23-24高三下·河北张家口·开学考试）“”是“直线与曲线相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6.1】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方桯为.则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6.2】（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7 切线的条数问题】 【例7.1】（2024·河南洛阳·三模）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【例7.2】（2024·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（23-24高二下·福建厦门·期末）若过点可作曲线的三条切线，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型8 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 【例8.1】（23-24高二下·湖北·期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．26 B．23 C．15 D．11 【例8.2】（24-25高三·江西·阶段练习）若函数的图象与函数的图象有公切线，且直线与直线互相垂直，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 【变式8.1】（23-24高二上·湖南·期末）已知函数. (1)是坐标原点，的图象在处的切线与轴分别交于两点，求的面积； (2)若直线是曲线与的公切线，求的值. 【变式8.2】（23-24高二下·江西·期中）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 一、单选题 1．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）已知是函数的导函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 2．（2024·安徽黄山·二模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·山东济南·期末）已知曲线与曲线在交点处有相同的切线，则（    ） A．1 B． C． D． 6．（23-24高三上·四川成都·期末）已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若，均为奇函数，且，则（   ） A．2025 B．0 C．-4 D．4 8．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知函数的图象有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高三上·河北·期末）过点与函数相切的直线为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高三上·湖北·期末）设，点是直线上的任意一点，过点作函数图象的切线，可能作（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 11．（24-25高三上·河北衡水·期中）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（    ） A．的图象关于对称 B． C． D． 三、填空题 12．（2024·陕西西安·一模）已知直线l为曲线过点的切线．则直线l的方程为 ． 13．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）直线与函数和的图象都相切，则 . 14．（2024高三·全国·专题练习）已知函数及其导函数的定义域都为R，且为偶函数，为奇函数，则 . 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 16．（23-24高二下·河南·期中）已知函数的图象经过点，且在点A处的切线与直线l：垂直． (1)求a，b的值； (2)求经过点且与曲线相切的切线方程． 17．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知函数． (1)若曲线的切线斜率不小于，求a的取值范围； (2)当时，求曲线过点的切线方程． 18．（23-24高二下·河南信阳·期中）给出定义：设是函数的导函数，是函数 的导函数，若方程有实数解，则称()为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数．都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，已知函数 (1)求出的对称中心； (2)求 的值． 19．（23-24高二下·江西抚州·期中）已知函数． (1)求的图象在处的切线方程； (2)若的图象上存在两点，，使得的图象在点，处的切线都与直线垂直，求实数的取值范围． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 导数的运算与几何意义 【人教A版2019】 模块一 导数的运算 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 【题型1 基本初等函数的导数】 【例1.1】（23-24高二下·广西桂林·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基本初等函数求导公式得解. 【解答过程】由基本初等函数的求导公式知， ，，，，故ACD错误，B正确. 故选：B. 【例1.2】（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列求导结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由初等函数导数公式求导. 【解答过程】，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D错误. 故选：A. 【变式1.1】（23-24高二下·四川宜宾·期末）下列运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据求导公式逐个判断各个选项即可． 【解答过程】解：A．，故正确，不符合题意； B．，故正确，不符合题意； C．，故正确，不符合题意； D．，故选项错误，符合题意；． 故选：D． 【变式1.2】（24-25高二下·甘肃天水·阶段练习）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据导数的运算公式，准确计算，即可求解. 【解答过程】对于A中，由，所以A错误； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，所以C错误； 对于D中，由，所以D错误. 故选：B. 【题型2 复合函数的求导方法】 【例2.1】（23-24高二下·湖北武汉·期中）下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据导数公式及运算律计算判断即可. 【解答过程】对于A:，A选项正确； 对于B:，B选项错误； 对于C:，C选项正确； 对于D:，D选项正确. 故选：B. 【例2.2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，，，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【解题思路】先令，代入求出导数；再求导,再令,即可求出结果. 【解答过程】因为，令，则， 则，再令，代入上式可得， 所以. 故选：C. 【变式2.1】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）设是定义在R上的奇函数，其导函数为，且也是奇函数，当，，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【解题思路】由是奇函数推导的图象关于轴对称，进而推出函数的周期为4，进一步求出a值即可求解. 【解答过程】因为是定义域为R的奇函数， 所以，，． 因为当，，所以，从而． 因为是奇函数，则 则， 令，则，得，即， 故的图象关于轴对称，因此有， 且，从而有， 所以，故是周期为4的周期函数， 又因为，所以， 所以， 故选：B． 【变式2.2】（2024·四川·模拟预测）已知函数为定义在上的函数的导函数，为奇函数，为偶函数，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由奇函数、偶函数性质可得与，分别对两式两边求导可得与，进而可得的一个周期，结合赋值法及周期性判断各项即可. 【解答过程】因为为奇函数，所以，① 因为为偶函数，所以，② 对①两边求导可得，即，③ 对②两边求导可得，即，④ 对于A项，将代入②可得，故A项正确； 对于B项，将代入④可得，故B项正确； 对于C项，将代入④可得，将代入③可得，所以，故C项错误； 对于D项，由③可得，即，⑤ 所以由④⑤可得，⑥ 所以由⑥可得，即，⑦ 由⑦可得，⑧ 所以由⑦⑧可得，故8是的一个周期. 所以， 将代入④可得，即， 由C项知，， 将代入⑦可得，即， 所以 ，故D项正确. 故选：C. 【题型3 与导数运算有关的新定义问题】 【例3.1】（2024·安徽·模拟预测）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给出的导数新定义逐项判断即可. 【解答过程】对于A：，，， 则在上恒有，故A错误； 对于B：，，， 则在上恒有，故B错误； 对于C：，，， 则在上恒有，故C错误； 对于D：，，， 则在上恒有，故D正确. 故选：D. 【例3.2】（23-24高二下·浙江台州·期末）设定义在上的函数．记，对任意的，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由复合函数的求导法则可得对于，若能被4整除，则，代入计算，即可求解. 【解答过程】由题意可得，， ， ， ， ， 通过以上可以看出满足以下规律： ①对于，若能被4整除，则； ②对于，若除4余1，则， ③对于，若除4余2，则， ④对于，若除4余3，则， 则. 故选：C. 【变式3.1】（23-24高二上·河北·阶段练习）曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：记是的导函数，是的导函数，那么曲线在点处的曲率，则曲线在点处的曲率为（    ） A．0 B． C． D． 【解题思路】 根据曲线的曲率定义，对函数求导得出，再对求导得出，将代入求解即可. 【解答过程】对函数求导，得， 对求导，得，所以， 所以曲线在点处的曲率. 故选：D. 【变式3.2】（23-24高二下·宁夏银川·期末）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导，即可根据拐点定义求解. 【解答过程】由，得，进而， 令，故， 所以，故对称中心为 故选：B. 模块二 导数的几何意义 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线 P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线的斜率，即f'().这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2．切线方程的求法 (1)已知切点时求切线方程的方法： ①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； ②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). (2)切点未知时的解题通法： ①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； ②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； ③将已知条件代入②中的切线方程求解. 【题型4 求曲线切线的斜率或倾斜角】 【例4.1】（23-24高二下·河北保定·期中）曲线在处的切线倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由导数的意义求出切线的斜率，再结合斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的大小即可. 【解答过程】设曲线在处的切线倾斜角为， 因为，则. 所以曲线在处的切线倾斜角是， 故选：D. 【例4.2】（23-24高二下·湖北·期中）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导得，即，再根据倾斜角的范围及正切函数的图象求解即可. 【解答过程】解：由，可得， 所以，即， 当时，，当时，， 所以角的范围是. 故选：B. 【变式4.1】（24-25高三上·河南·阶段练习）已知，过作曲线的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设切点坐标为，写出切线的方程，求出即得解. 【解答过程】解：由，得， 设切点坐标为，则切线方程为， 把点代入并整理，得， 解得或（舍去）， 故切线斜率为． 故选：C． 【变式4.2】（2024·贵州·模拟预测）设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出，令后可求，再根据导数的取值范围可得的范围，从而可得的取值范围. 【解答过程】∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴或. 故选：B. 【题型5 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】 【例5.1】（24-25高三上·河北保定·阶段练习）过曲线S：上一点的切线方程为（    ） A．或 B． C．或 D． 【解题思路】当A为切点，利用导数的几何意义求切线斜率，再由点斜式写出切线方程；当A不是切点，根据曲线的极值情况，即可写出切线方程. 【解答过程】由题设，，则、上，上， 所以在、上递减，上递增，则极小值为，极大值为， 若A是切点，则，此时切线方程为，即， 若A不是切点，则过的切线为. 故选：C. 【例5.2】（24-25高二下·重庆·阶段练习）设函数，则曲线在点（3，－6）处的切线方程为（    ） A．y＝9x＋21 B．y＝－9x＋19 C．y＝9x＋19 D．y＝－9x＋21 【解题思路】先求出切线的斜率，再求出切线的方程即得解. 【解答过程】解：因为函数，所以，所以， 所以切线的斜率为. 所以曲线在点（3，－6）处的切线方程为y＋6＝－9（x－3）， 即y＝－9x＋21. 故选：D. 【变式5.1】（23-24高二下·河北·开学考试）已知函数（，）的图象过点，且． (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程． 【解题思路】（1）根据题意可得，由， 可得，联立即可得解； （2）由可设曲线上的切点为，利用导数的几何意义可得切线斜率为，利用点斜式可得切线方程，带入点，即可得解. 【解答过程】（1）因为函数的图象过点，所以①． 又，，所以②， 由①②解得，． （2）由（1）知， 设所求切线在曲线上的切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 可得， ， ，解得， 所以切点为，切线方程为． 故曲线过点的切线方程为． 【变式5.2】（23-24高二上·重庆·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【解题思路】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程. 【解答过程】（1）解：由函数，可得，可得， 即曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：因为点不在曲线上， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又因为在直线上，所以， 即，解得或. 当切点为时，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或. 【题型6 已知切线（斜率）求参数】 【例6.1】（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【解题思路】设直线的方程为，先根据直线和圆相切算出，在根据导数的几何意义算. 【解答过程】依题意得，设直线的方程为， 由直线和圆相切可得，，解得， 当时，和相切， 设切点为，根据导数的几何意义，， 又切点同时在直线和曲线上，即，解得， 即和相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位， 和仍会保持相切状态，即时，， 综上所述，或. 故选：A. 【例6.2】（23-24高三下·河北张家口·开学考试）“”是“直线与曲线相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】利用导函数求得直线与曲线相切时，再根据直线与曲线相切即可得出结论. 【解答过程】若直线与曲线相切， 设切点为， 则解得，即必要性成立； 反之，若，可知直线与曲线相切，即充分性成立； 故选：C． 【变式6.1】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方桯为.则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】对函数求导，再求出处的切线方程，即可求得； 【解答过程】解：函数，则，函数的图象在点处的切线方桯为， 所以，解得，则. 故选：C. 【变式6.2】（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有实数根，求得的取值范围. 【解答过程】∵， ∴， 设切点为，则，切线斜率， ∴切线方程为， ∵切线过原点， ∴，整理得： ∵存在过坐标原点的切线， ∴，解得或， ∴实数的取值范围是. 故选：B. 【题型7 切线的条数问题】 【例7.1】（2024·河南洛阳·三模）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【解题思路】设切点为，利用导数的几何意义及点斜式直线方程求出切线方程，根据过点建立方程，求得切点的个数即为切线的条数. 【解答过程】设切点为，由，所以，得， 所以切线方程为，即． 因为切线过点，所以，解得或， 所以过点作曲线的切线可以作2条. 故选：C. 【例7.2】（2024·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】设切点为，由已知得，则切线斜率， 切线方程为． ∵直线过点，∴， 化简得．∵切线有2条， ∴，则的取值范围是， 故选：D. 【变式7.1】（23-24高二下·福建厦门·期末）若过点可作曲线的三条切线，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先求函数在切点处的切线方程，在根据条件转化为函数与有3个交点，即可求参数的取值范围. 【解答过程】，设切点， 所以在点处的切线方程为，因为切线过点， 所以，整理为， 即，设， ， 当时，，当或时，， 所以函数在区间单调递减，在区间和单调递增， 所以函数的极大值是，函数的极小值是，若函数与有3个交点，则，即. 故选：C. 【变式7.2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】设切点为，根据导数的几何意义求得在切点处的切线方程，再将代入，求得的值，即可得解. 【解答过程】解：因为，所以， 设切点为， 所以在切点处的切线方程为， 又在切线上，所以， 即， 整理得，解得或， 所以过点可作曲线的切线的条数为2. 故选：C． 【题型8 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 【例8.1】（23-24高二下·湖北·期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．26 B．23 C．15 D．11 【解题思路】先由，利用切线斜率为-1求得切点，再将切点代入切线方程求得a，然后设切线与的切点为，利用切线斜率为-1和切点在切线上求解. 【解答过程】解：因为， 所以，由，解得或（舍去）， 所以切点为， 因为切点在切线上，解得， 所以切线方程为， 设切点为， 由题意得，解得， 所以， 故选：D. 【例8.2】（24-25高三·江西·阶段练习）若函数的图象与函数的图象有公切线，且直线与直线互相垂直，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】根据垂直性质可得，再求导根据导数的几何意义可得切线的方程为，再设函数与直线切于点，列式求解即可 【解答过程】由题知，，令，又，解得，因为，所以切线的方程为.， 设函数与直线切于点， 所以，故， 即，，解得或. 故选：D. 【变式8.1】（23-24高二上·湖南·期末）已知函数. (1)是坐标原点，的图象在处的切线与轴分别交于两点，求的面积； (2)若直线是曲线与的公切线，求的值. 【解题思路】（1）求导函数，求得，，得出的图象在处的切线方程，由此求得答案； （2）设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，求得在点处切线方程，在点在切线方程.建立方程组，求解即可. 【解答过程】（1）解：因为，所以的图象在处切线的斜率为. 又，所以的图象在处的切线方程为， 则，故的面积为. （2）解：设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，又，则 由点在切线上，得； 由点在切线上，得. 故，解得. 故. 【变式8.2】（23-24高二下·江西·期中）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）根据导数的几何意义，先求导数得到切线的斜率，利用点斜式可得方程； （2）先求两个函数的导数，利用公切线建立等量关系，求解方程可得答案. 【解答过程】（1）当时，，，. 曲线在处的切线方程为，即. （2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，，. 曲线在点A处的切线为， 与曲线相切于点， 则且（*）， 由，则， 代入（*）得， 解得或. 当时，直线.当时，，直线. 故存在直线与曲线和都相切，直线的方程为或. 一、单选题 1．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）已知是函数的导函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【解题思路】求导后赋值计算即可. 【解答过程】因为，所以. 令，得，所以， 所以，则. 故选：B． 2．（2024·安徽黄山·二模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】首先求导得到，从而得到，再利用导数的几何意义求解切线方程即可. 【解答过程】由，得， 所以，得，所以，， 所以，切点为. ， 所以所求切线方程为，即. 故选：A. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】代点求解出，然后对函数进行求导，对应求解出，最后求解. 【解答过程】由已知，， 故， ， 则切线斜率为，故， 所以． 故选：B. 4．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设切点，结合导数的几何意义可得切线方程，根据切线过点，可得，进而确定切线斜率. 【解答过程】由，得， 设切点为， 则切线斜率， 即切线方程为， 又切线过点， 则， 整理可得， 解得或或， 则切线斜率为或或， 故选：D． 5．（23-24高三上·山东济南·期末）已知曲线与曲线在交点处有相同的切线，则（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】利用导数求出切线的斜率，从而可求解. 【解答过程】由题知曲线和曲线在交点处有相同的切线，即斜率相等， 所以对于曲线，求导得，所以在点处的切线斜率为， 对于曲线，求导得， 所以，得，故B正确. 故选：B. 6．（23-24高三上·四川成都·期末）已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先由奇偶性求得时的解析式，再结合导数的几何意义求切线方程即可. 【解答过程】因为，，， 又由是偶函数，， 令，则， 根据是偶函数，， 得到时，， 所以，时，，， 故曲线在处的切线方程为， 即. 故选：C. 7．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若，均为奇函数，且，则（   ） A．2025 B．0 C．-4 D．4 【解题思路】由已知条件确定的对称中心及对称轴，进而确定函数周期，即可求解. 【解答过程】因为为奇函数，所以， 即，所以 所以关于对称，同时， 又为奇函数，则，所以关于对称， 即，所以常数， 令可得：， 所以， 则关于对称，结合，所以， 所以，又， 所以， 所以 ，也即， 所以 所以是周期为4的函数， ，， ，，，， 故选：C. 8．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知函数的图象有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数的几何意义求出在P,Q两点处的切线斜率，即可得出是的两根，利用韦达定理即可得出的取值范围. 【解答过程】根据题意可知的定义域为，所以， 易得， 由导数的几何意义可得切点为时，切线斜率为, 同理可得，点处切线斜率为； 又因为两条切线与直线平行，可得，即 所以是关于方程的两根， 所以，即，又 可得； 所以，由可得 即，所以的取值范围是. 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高三上·河北·期末）过点与函数相切的直线为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】当为切点时，根据的值和直接求解出切线方程；当不是切点时，设出切点，然后根据斜率的表示求解出的坐标，则切线方程可求. 【解答过程】因为，所以； 若A点是切点，则， 则切线方程为，即，故C正确； 若A点不是切点，设切点，则B处切线斜率为， 又因为直线AB的斜率为， 则，， 化简可得，所以或（舍去，此时重合）， 所以点B为，故切线斜率为， 则切线方程为，即，故D正确． 故选：CD． 10．（23-24高三上·湖北·期末）设，点是直线上的任意一点，过点作函数图象的切线，可能作（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【解题思路】设为直线上任意一点，切点为求出切线方程，将代入切线方程，转化为根的个数求解即可. 【解答过程】设为直线上任意一点， 过点作的切线，切点为， 则函数图象在点B处的切线方程为， 即，   整理得，， 解得1或 当时，，方程仅有一个实根，切线仅可以作1条； 当时，，方程有两个不同实根，切线可以作2条. 故选：. 11．（24-25高三上·河北衡水·期中）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（    ） A．的图象关于对称 B． C． D． 【解题思路】先根据条件分析出的周期性和对称性，再得到的周期性，根据函数性质、简单复合函数求导逐个判断即可得结果. 【解答过程】由题意可得，两式相减可得①， 所以,令，可得, 所以， 所以的图象关于对称，故A正确； 因为为奇函数，所以关于中心对称， 所以②，②式两边对求导可得， 结合，可得： 所以，令，可得：， 所以即，故B错， 因为，可知也是周期为4的周期函数， 即，两边求导可得，所以，故C正确； 是周期为4的周期函数，所以， 因为，令，则，即， 又，所以，又因为是周期为4的周期函数， 则，由可得， 所以，所以，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2024·陕西西安·一模）已知直线l为曲线过点的切线．则直线l的方程为 或 ． 【解题思路】设切点为，由导数的几何意义求得切线方程，代入点坐标求出，再回代得切线方程． 【解答过程】∵，∴. 设直线与曲线相切于点，则直线的斜率为， ∴过点的切线方程为， 即，又点在切线上， ∴，整理得， ∴， 解得或； ∴所求的切线方程为或. 故答案为：或. 13．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）直线与函数和的图象都相切，则 . 【解题思路】设直线与函数的切点为，与函数的切点为，根据导数的几何意义可求的值. 【解答过程】， 设直线与函数的切点为， 又，所以， 设直线与函数的切点为， 又，所以， 由可得， 由，可得， 又，所以， 由，得， 所以. 故答案为：. 14．（2024高三·全国·专题练习）已知函数及其导函数的定义域都为R，且为偶函数，为奇函数，则 0 . 【解题思路】利用抽象函数的奇偶性、对称性、周期性，结合导数运算法则计算即可. 【解答过程】为偶函数， ， ， 为奇函数， ， ，即， ， ，即函数的周期为4， ， 又， ， ， ，即， 由，得， ， . 故答案为：0. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】根据复合函数的求导法则和基本函数的求导公式及运算法则逐个求解即可. 【解答过程】（1）结合题意可得：． （2）结合题意可得：． （3） ． 所以． 16．（23-24高二下·河南·期中）已知函数的图象经过点，且在点A处的切线与直线l：垂直． (1)求a，b的值； (2)求经过点且与曲线相切的切线方程． 【解题思路】（1）由题意可得，，计算即可得； （2）借助导数的几何意义计算即可得. 【解答过程】（1）因为，所以． 的图象在点处的切线与直线l：垂直， ∴，解得； （2）由（1）知，， 设切点坐标为， 因为， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即， 解得或， 即或， 即或， 所以经过点且与曲线相切的切线方程为或． 17．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知函数． (1)若曲线的切线斜率不小于，求a的取值范围； (2)当时，求曲线过点的切线方程． 【解题思路】（1）求出函数的导数，由解不等式得出结果. （2）分成点为切点和不是切点两种情况分别求解切线方程. 【解答过程】（1）由题意可得． 因为曲线的切线斜率不小于，所以恒成立， 即恒成立，则， 解得，即a的取值范围是． （2）当时，，则． 当是切点时，所求切线斜率， 则所求切线方程为． 当不是切点时，设所求切线与曲线的切点为， 由导数的几何意义可得， 整理得，即， 解得或(舍去)， 则切点，所求切线斜率，. 故所求切线方程为． 综上，所求切线方程为或． 18．（23-24高二下·河南信阳·期中）给出定义：设是函数的导函数，是函数 的导函数，若方程有实数解，则称()为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数．都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，已知函数 (1)求出的对称中心； (2)求 的值． 【解题思路】（1）求出函数二阶导数的零点后可求函数图象的对称中心. （2）利用倒序相加法可求的值. 【解答过程】（1），，令可得， 因为为三次函数，故函数的拐点为， 故图象的对称中心为. （2）因为图象的对称中心为，故， 设， 则， 所以 ， 故. 19．（23-24高二下·江西抚州·期中）已知函数． (1)求的图象在处的切线方程； (2)若的图象上存在两点，，使得的图象在点，处的切线都与直线垂直，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）求导函数，根据导数的几何意义求解切线斜率，再求切点坐标，从而可得的图象在处的切线方程； （2）由直线的斜率为，可得的图象在点处的切线斜率为，求导根据导函数的零点，可得实数的取值范围． 【解答过程】（1）因为， 所以，所以， 所以的图象在处的切线方程为， 即． （2）直线的斜率为， 所以的图象在点处的切线斜率为， 所以方程有两个不等的实根， 即有两个不等的实根， 所以， 解得且， 所以实数的取值范围是． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$