精品解析：江西省宜春市第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

宜春一中2024-2025学年度第一学期高一年级期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合或，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数性质化简集合，再结合交集的运算求解即可. 【详解】由题知，， 又或， 则，即. 故选：B 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要性定义，及特殊三角函数值、任意角概念即可得答案. 【详解】由，则，但，不一定有， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 3. 按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第30百分位数，第50百分位数都分别对应相等，则（ ） A. 60 B. 65 C. 70 D. 71 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用第p百分位数的定义分别求出第30百分位数和第50百分位数即可得解. 【详解】由，则甲组数据的第30百分位数为31，乙组数据的第30百分位数为n，即， 第50百分位数即中位数，则乙组数据的第50百分位数为，甲组数据的第50百分位数为， 于是，解得， 所以. 故选：D 4. 若函数是幂函数，则函数(其中且)的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据是幂函数求得，由此求得所过定点. 【详解】∵是幂函数，∴，，∴过定点. 故选：A 5. 一个容器装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余的细沙量为，经过后发现容器内还有一半的沙子，若当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，则前后共需经过的时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据时可得b，然后可解. 【详解】由题知，当时，，即，解得， 令，解得. 故选：B 6. 已知定义域为R的函数 （）有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】化简可得，设，可知还函数为奇函数，从而热利用奇函数性质即可求解. 【详解】由已知得， 设，则，该函数是奇函数， 故，所以，所以， 故选：C 7. 已知，则下列不等式一定正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数和对数函数单调性性质即可判断AB；由三角函数诱导公式结和三角函数单调性即可判断CD. 【详解】对于：函数为R上的增函数，且当时，， 因为，所以，且，故正确； 对于：因为，所以， 当时，函数为上的增函数，所以， 当时，函数为上的减函数，所以，故错误； 对于：在上单调递增，又， 所以，所以，故错误； 对于：， 在上单调递减，时， ，即，故错误. 故选：. 8. 一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据裁判擦去的是奇数还是偶数分类考虑，分析得出若擦去的是奇数，则乙一定获胜；若擦去的是偶数，则甲一定获胜，由此根据古典概型概率公式计算即得. 【详解】由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看裁判擦去哪个数， 注意2，3，4，⋅⋅⋅，2024中有1011个奇数，1012个偶数. （1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜. 理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数， 从而所剩两数不互质，故乙胜. （2）若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜. 理由如下：设裁判擦去的是，则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成： 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互质，故甲必获胜. 甲获胜的概率为. 故选:B. 【点睛】关键点点睛：本题考查的是质数与合数的概念、数的整除性、概率公式，利用分类讨论的思想是解答此题的关键. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法错误的是（    ） A. 命题，的否定为， B. 若都是第一象限角，且，则 C. 函数的定义域是，则函数的定义域为 D. 函数的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断A；利用正弦函数的性质及特殊值法判断B；由抽象复合函数定义域求法判断C；利用正弦函数的性质及对勾函数性质判断D. 【详解】对于A，特称命题的否定为全称命题，所以，的否定为，，错误； 对于B：若都是第一象限角，且，例如， 但是，错误； 对于C，函数的定义域是，可得，解得， 所以函数的定义域为，正确； 对于D，，则，错误. 故选：ABD 10. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字x表示第一次抛掷骰子的点数，数字y表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记事件，事件，事件，[注：余数运算表示整数除以整数所得余数为．则（ ） A. B. 与为对立事件 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得. 【详解】依题意，依次拋郑两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个， 事件“”包含的样本点有：，共6个； 事件，包含的样本点有：， ，共18个； 事件，包含的样本点有：，共7个， 对于A，，A正确； 对于B，包含样本点，事件A与C不为对立事件，B错误； 对于C，事件AB包含的样本点有，3个，， 则，即，事件A与相互独立，C正确； 对于D，事件BC包含的样本点有：，共4个， 而，， 事件与不相互独立，D错误． 故选：AC 11. 已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（    ） A. 是以4为周期的周期函数 B. 点是函数的一个对称中心 C. D. 函数有3个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先根据函数的对称性求出的周期和对称中心，再结合图像逐个判断即可； 【详解】依题意，为偶函数， 且，有，即关于对称， 则 ， 所以是周期为4的周期函数，故A正确； 因为的周期为4，关于对称， 所以是函数的一个对称中心，故B正确； 因为的周期为4，则，， 所以，故C错误； 作函数和的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有3个交点， 所以函数有3个零点，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在某次调查中，采用分层随机抽样的方法得到10个A类样本，30个B类样本.若A类样本的平均数为5.5，总体的平均数为4，则B类样本的平均数为______. 【答案】3.5 【解析】 【分析】设B类样本的平均数为x，通过总体的平均数列方程，进而解方程可得B类样本的平均数. 【详解】设B类样本的平均数为x，则，解得. 故答案为：. 13. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形．如图，已知中间正三角形的边长为2，则该勒洛三角形的面积与周长之比为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形的弧长、面积公式计算即可. 【详解】由题意易知以点为圆心，圆弧所对的扇形面积各为， 中间等边的面积为， 所以莱洛三角形的面积是，周长为， 故面积与周长之比为． 故答案为： 14. 设表示实数中的最小值，若函数，函数有六个不同的零点，则的取值范围是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设得到的大致图象，再由零点的个数且，数形结合有在上有两个解，根据对勾函数的性质求参数范围. 【详解】令，可得，则或， 结合一次函数、二次函数性质，易知，大致图象如下， 令，则，要使原函数有六个不同的零点， 结合图象知在区间上有两个解，所以在上有两个解， 根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，且时趋向正无穷， 所以. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. （1）化简：； （2）已知角终边上一点，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）应用指对数的运算性质化简求值即可； （2）应用诱导公式化简及终边上的点求正切函数值，即可得结果. 【详解】（1） ； （2）由题可知， 则. 16. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：，用表示不超过的最大整数，例如：. （1）已知，正数满足，求的最小值； （2）设方程的解集为A，集合，若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设可得，应用基本不等式“1”的代换求的最小值； （2）解绝对值不等式、含参一元二次不等式求集合，注意讨论参数及集合的并集结果列不等式组求的范围. 【小问1详解】 由题意，正数满足，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 【小问2详解】 ，则，，即， 令 法一：当时，；当时，， 由，则，解得，即的范围是． 方法二：当时，，此时成立； 当时，，此时， 又，则，解得； 当时，，此时， 又，则，解得， 综上，，即； 17. 十三届全国人大四次会议表决通过了关于“十四五”规划和2035年远景目标纲要的决议，纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该款芯片的性能以某项指标值为衡量标准，性能指标的等级划分如表： 性能指标值 等级 A B C D E 为了解该款芯片的生产效益，该企业从试生产的产品中随机抽样并测量了每件产品的指标值，以组距为5画频率分布直方图.设“”， 当时（为正整数），满足： （1）试确定的所有取值，并求； （2）从样本性能指标值不小于85的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品，然后从这5件产品中一次性随机抽取2件产品，并求出2件都是A等级的概率. 【答案】（1）n的取值集合为， （2） 【解析】 【分析】（1）由，结合，，求得n的所有取值；利用频率之和为1求得a的值. （2）分别计算A等级和B等级产品的频率，通过频率比可计算所抽取的5件产品中A等级，B等级产品的件数；利用列举法，结合古典概型的概率计算公式，计算出所求概率. 【小问1详解】 根据题意，，按组距为5可分成6个区间， 分别是，，，，，， 因为，且，， 所以n的取值集合为. 每个小区间对应的频率值为. 所以，解得. 【小问2详解】 依题意等级产品的频率为， 等级产品的频率为， 所以等级产品和等级产品的频率之比为， 所以从样本性能指标值不小于85的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品， 等级产品的件数为4，分别记为，，，， 等级产品的件数为1，记为. 从这5件产品中任意抽取2件产品，所有的可能情况有，，， ，，，，，，，共10种. 事件“抽取的2件产品都是等级”包含的可能情况有， ，，，，，共6种， 故所求概率为. 18. 已知函数是定义域为的奇函数. （1）求实数的值； （2）若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若，且函数在上最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义和性质，可得所求值； （2）求得的单调性，参变分离转化为函数最值问题，即可得实数的取值范围； （3）求得，应用指数函数的单调性和换元法，可得所求值． 【小问1详解】 因为是定义域为的奇函数，所以， 所以，所以，经检验，当时，为上的奇函数. 【小问2详解】 由（1）知：， 因为，所以，又且，所以， 则函数与均为上的单调递减函数， 所以是上的单调递减函数， 又是定义域为的奇函数， 所以， ,， 令，又在区间上单调递减， 所以的最大值为， 所以. 【小问3详解】 由（1）知：， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以， 令，则， 因为在上为增函数，且，所以， 因为在上最小值为， 所以在上的最小值为， 因为的对称轴为， 所以当时，，解得或（舍去）， 当时，，解得（舍去）， 综上可知：. 19. 已知函数的定义域为D，对于给定的正整数k，若存在，使得函数满足：函数在上是单调函数且的最小值为ka，最大值为kb，则称函数是“倍缩函数”，区间是函数的“k倍值区间”． （1）判断函数是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果） （2）证明：函数存在“2倍值区间”； （3）设函数，，若函数存在“k倍值区间”，求k的值． 【答案】（1）是 （2） 取，∵函数在上单调递增， 若函数存在“2倍值区间”，等价于存在，使得成立， 等价于至少有两个不相等的实根， 等价于至少有两个零点， ∵，且在定义内连续不断， ∴在区间内均存在零点， 故函数存在“2倍值区间”. （3） 【解析】 【分析】（1）取，结合题意分析说明； （2）根据题意分析可得至少有两个不相等的实根，构建函数结合零点存在性定理分析证明； （3）先根据单调性的定义证明在上单调递增，根据题意分析可得在内至少有两个不相等的实根，根据函数零点分析运算即可得结果. 【小问1详解】 取， ∵在上单调递增， ∴在上的最小值为，最大值为，且， 故函数是“倍缩函数”. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对，且，则， ∵，则， ∴，即， 故函数在上单调递增， 若函数存在“k倍值区间”，即存在，使得成立， 即在内至少有两个不相等的实根， ∵是方程的根，则在内有实根， 若，则，即，且， ∴，即. 【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法 （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解． （2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． （3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜春一中2024-2025学年度第一学期高一年级期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合或，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第30百分位数，第50百分位数都分别对应相等，则（ ） A. 60 B. 65 C. 70 D. 71 4. 若函数是幂函数，则函数(其中且)的图象过定点（ ） A. B. C. D. 5. 一个容器装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余的细沙量为，经过后发现容器内还有一半的沙子，若当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，则前后共需经过的时间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义域为R的函数 （）有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知，则下列不等式一定正确的是（    ） A. B. C. D. 8. 一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法错误的是（    ） A. 命题，的否定为， B. 若都是第一象限角，且，则 C. 函数的定义域是，则函数的定义域为 D. 函数的最小值为 10. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字x表示第一次抛掷骰子的点数，数字y表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记事件，事件，事件，[注：余数运算表示整数除以整数所得余数为．则（ ） A. B. 与为对立事件 C. 与相互独立 D. 与相互独立 11. 已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（    ） A. 是以4为周期的周期函数 B. 点是函数的一个对称中心 C. D. 函数有3个零点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在某次调查中，采用分层随机抽样的方法得到10个A类样本，30个B类样本.若A类样本的平均数为5.5，总体的平均数为4，则B类样本的平均数为______. 13. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形．如图，已知中间正三角形的边长为2，则该勒洛三角形的面积与周长之比为_____________． 14. 设表示实数中的最小值，若函数，函数有六个不同的零点，则的取值范围是 ________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. （1）化简：； （2）已知角终边上一点，求的值． 16. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：，用表示不超过的最大整数，例如：. （1）已知，正数满足，求的最小值； （2）设方程的解集为A，集合，若，求的取值范围. 17. 十三届全国人大四次会议表决通过了关于“十四五”规划和2035年远景目标纲要的决议，纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该款芯片的性能以某项指标值为衡量标准，性能指标的等级划分如表： 性能指标值 等级 A B C D E 为了解该款芯片的生产效益，该企业从试生产的产品中随机抽样并测量了每件产品的指标值，以组距为5画频率分布直方图.设“”， 当时（为正整数），满足： （1）试确定的所有取值，并求； （2）从样本性能指标值不小于85的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品，然后从这5件产品中一次性随机抽取2件产品，并求出2件都是A等级的概率. 18. 已知函数是定义域为的奇函数. （1）求实数的值； （2）若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若，且函数在上最小值为，求实数的值. 19. 已知函数的定义域为D，对于给定的正整数k，若存在，使得函数满足：函数在上是单调函数且的最小值为ka，最大值为kb，则称函数是“倍缩函数”，区间是函数的“k倍值区间”． （1）判断函数是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果） （2）证明：函数存在“2倍值区间”； （3）设函数，，若函数存在“k倍值区间”，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $