1.2.1 平方差公式 课件 2024--2025学年北师大版七年级数学下册

第1章 整式的乘法 第1章 整式的乘法 1.2 乘法公式 1.2.1 平方差公式 第1章 整式的乘法 多项式乘多项式 运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 注意 不要漏乘；正确确定各项符号；结果要最简 实质上是转化为单项式×多项式的运算 (x－1)2=(x－1)(x－1)，而不是x2－12. 知识回顾 第1章 整式的乘法 多项式与多项式是如何相乘的？ （x ＋ 3)( x＋5） =x2＋5x＋3x＋15 =x2＋8x＋15. (a+b)(m+n) =am +an +bm +bn 复习巩固 新课导入 第1章 整式的乘法 从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为20米的正方形土地租给张老汉种植． 第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你看如何?” 张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．” 回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都说“你吃亏了!” 你知道张老汉是否吃亏了吗? 新课导入 第1章 整式的乘法 解：吃亏了． 理由如下： 原正方形土地的面积为 20×20 = 400m2 ， 改变边长后面积为 (20－5)(20+5) ＝ 375m2 . ∵400＞375， ∴张老汉吃亏了． 新课导入 第1章 整式的乘法 ①（x ＋ 1)( x－1）； ②（m ＋ 2)( m－2）； ③（2m＋ 1)(2m－1）； ④（5y ＋ z)(5y－z）. 算一算：看谁算得又快又准. 新课讲解 第1章 整式的乘法 ②（m＋ 2)( m－2）=m2 －4 ③（2m＋1)( 2m－1)=4m2－1 ④（5y＋z)(5y－z)= 25y2 －z2 ①（x ＋1)( x－ 1）=x2－1 想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？ =x2 － 12 =m2－22 =(2m)2－12 =(5y)2－z2 用自己的语言叙述你的发现. 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差. 新课讲解 第1章 整式的乘法 多项式 x+y 与 x－y 相乘，其积为多少？ （x+y)（x-y）= x² - xy + yx - y2 = x2 - y2 . 由此可得到平方差公式： （x+y）（x-y）= x² - y² . 即多项式 x+y 与 x-y 的乘积，等于多项式 x²-y² . 新课讲解 说一说 新课讲解 第1章 整式的乘法 设 a，b 都是正数，且 a>b . 将平方差公式中的 x 用 a 代入，y 用 b 代入， 可得（a+b）（a-b）= a² - b² . 该式的几何背景是： 如图，将边长为 a 的大正方形剪去一个 边长为 b 的小正方形，则剩余部分的面积为 a²-b² . 新课讲解 第1章 整式的乘法 将剩余部分沿虚线剪开后，拼成一个如图所示的长方形， 则这个长方形的长为 a + b ，宽为 a – b ， 于是，面积为（a+b）（a-b）. 由此可得（a+b）（a-b）= a² - b² . 新课讲解 第1章 整式的乘法 a a b b a+b a-b b b 几何验证平方差公式 新课讲解 第1章 整式的乘法 a a b b a2-b2 a b b b (a+b)(a-b) (a+b)(a-b)=a2-b2 a-b a-b 新课讲解 第1章 整式的乘法 a a a2 新课讲解 第1章 整式的乘法 b a a2-b2 a b 新课讲解 第1章 整式的乘法 b a a b 1 2 (a+b)(a-b) 1 2 (a+b)(a-b) 新课讲解 第1章 整式的乘法 b a a b (a+b)(a-b) = a2-b2 新课讲解 第1章 整式的乘法 (a+b)(a−b)=a2−b2 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 公式变形: (a–b) (a+b) =a2−b2 (b+a)(−b+a )=a2−b2 平方差公式： 新课讲解 归纳总结 第1章 整式的乘法 平方差公式 注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等． (a+b)(a-b) = a2-b2 相同为a 相反为b 适当交换 合理加括号 新课讲解 第1章 整式的乘法 口答下列各题： (l)(－a+b)(a+b)=_________. (2)(a－b)(b+a)= __________. (3)(－a－b)(－a+b)= ________. (4)(a－b)(－a－b)= _________. a2－b2 a2－b2 b2－a2 b2－a2 新课讲解 练一练 第1章 整式的乘法 (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (0.3x-1)(1+0.3x) (1+a)(-1+a) 填一填： a b a2－b2 1 x －3 a 12－x2 (－3)2－a2 a 1 a2－12 0.3x 1 ( 0.3x)2－12 (a-b)(a+b) 新课讲解 练一练 第1章 整式的乘法 例1 计算： （1）(2x+1)(2x-1)； （2）(x+2y)(x-2y). 分析 （1）（2）中两个多项式的乘法 都满足平方差公式的特征， 因而可利用该公式进行计算. 新课讲解 第1章 整式的乘法 解（1）将平方差公式中的 x 用 2x 代替，y 用 1 代替，可得 (2x+1)(2x-1) = (2x)² - 1² = 4x² - 1 . （2）将平方差公式中的 y 用 2y 代替，可得 (x+2y)(x-2y) = x² - (2y)² = x² - 4y² . （1）(2x+1)(2x-1)； （2）(x+2y)(x-2y). 新课讲解 第1章 整式的乘法 例2 运用平方差公式计算：( -2x - y )( -2x + y ). 解 将平方差公式中的 x 用 -2x 代替，y 用 y 代替，可得 ( -2x - y )( -2x + y ) = ( -2x )2 - ( y )2 = 4x2 - y2 . 有了平方差公式，x，y分别用任何数代入，或者用任意多项式代入，从平方差公式可以得到许多有关数或多项式的等式. 新课讲解 第1章 整式的乘法 例3 运用平方差公式计算：(4a+b)(-b+4a). 解(4a+b)(-b+4a) = (4a+b)(4a-b) = (4a)2-b2 = 16a²-b². 新课讲解 第1章 整式的乘法 (1)(－7m＋8n)(－8n－7m)； (2)(x－2)(x＋2)(x2＋4)． 解：(1)原式=(－7m)2－(8n)2 ＝49m2－64n2； 利用平方差公式计算： (2)原式=(x2－4)(x2＋4) ＝x4－16. 新课讲解 练一练 第1章 整式的乘法 想一想：（1）计算下列各式，并观察他们的共同特点： 6×8=48 14×16=224 69×71=4899 7×7=49 15×15=225 70×70=4900 平方差公式的运用 （2）从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？ (a+b)(a−b)=a2−b2 新课讲解 第1章 整式的乘法 例4 计算：1002×998. 解 1002×998 =（1000+2）×（1000-2） = 1000²-2² = 1000000-4 = 999996. 新课讲解 第1章 整式的乘法 计算:(1) 103×97; (2) 118×122. 解: 103×97 =(100+3)(100－3) =1002－32 =10000 – 9 =9991； 解: 118×122 =(120－2)(120＋2) =1202－22 =14400－4 =14396. 注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用 新课讲解 练一练 第1章 整式的乘法 题1 计算： (1)a2(a+b)(a－b)+a2b2; (2)(2x－5)(2x+5) –2x(2x－3) . 解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2 =a4－a2b2+a2b2 =a4; (2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x) =4x2－25－4x2+6x =6x－25. 新课讲解 典题精析 第1章 整式的乘法 解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－ (4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2. 当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15. 方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算． 题2 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2. 新课讲解 典题精析 第1章 整式的乘法 1 运用平方差公式计算： （1）（3x+y）（3x-y）； （2）（m-n）（m+n）； （3）（-1+5x）（-1-5x）； （4）（-4a-b）（4a-b）. 练 习 课 内 版 课堂练习 第1章 整式的乘法 2 计算： （1）202×198 ； （2）49.8×50.2 . 练 习 课 内 版 课堂练习 第1章 整式的乘法 1.下列式子可用平方差公式计算吗? 如果能，怎样计算? (1) (a+b)(a−b) ； (2) (a−b)(b−a) ; (3) (a+2b)(2b+a); (4) (a−b)(a+b) ; (5) (2x+y)(y−2x). (不能) (不能) (不能) ( 能 ) (不能) −(a2 −b2)= −a2 + b2 ; 练 习 课 外 版 课堂练习 第1章 整式的乘法 2.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ （1）（x+2)(x－2)=x2－2; （2）（－3a－2)(3a－2)=9a2－4. 不对 改正：x2－4 不对 改正方法1： 原式=－[(3a+2)(3a－2)] =－(9a2－4) =－9a2+4; 改正方法2： 原式=(－2－3a)(－2+3a) =(－2)2－(3a)2 =4－9a2. 练 习 课 外 版 课堂练习 第1章 整式的乘法 3. 已知a=7202，b=721×719；则（ ） A.a=b B.a>b C.a<b D.a≤b 4. 97×103=( )×( )=( ). 5. (x+6)(x－6)－x(x－9)=0的解是______. 100－3 100+3 1002－32 x=4 B 练 习 课 外 版 课堂练习 第1章 整式的乘法 （1）(a+3b)(a- 3b)； 解：原式=(2a+3)(2a－3) =(2a)2－32 =4a2－9； =a2－9b2 ； 解：原式=a2－(3b)2 （2）(3+2a)(－3+2a)； 6.利用平方差公式计算： 练 习 课 外 版 课堂练习 第1章 整式的乘法 （3）(－2x2－y)(－2x2+y)； 解：原式=(-2x2 )2－y2 =4x4－y2. （4）(－5+6x)(－6x－5). 解：原式=(－5+6x)(－5－6x) =(－5)2－(6x)2 =25－36x2. 练 习 课 外 版 课堂练习 第1章 整式的乘法 解：(1)原式=(50+1)(50-1) =502－12 =2500-1=2499； （1）51×49； （2）13.2×12.8； 7.利用平方差公式计算： 解：(2)原式=(13＋0.2)×(13－0.2) ＝132－0.22 ＝169－0.04＝168.96. 练 习 课 外 版 课堂练习 第1章 整式的乘法 8.若A=(2+1)(22+1)(24+1)， 则A的值是______． 解析：A=(2+1)(22+1)(24+1) =[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1) =[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1) =[(24－1)(24+1)]÷(2－1) =(28－1)÷(2－1) =28－1． 28－1 练 习 课 外 版 课堂练习 第1章 整式的乘法 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2 2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用 课后小结 第1章 整式的乘法 第1章 整式的乘法 $$