安徽省合肥市2024-2025学年八年级下学期春季开学模拟考数学试卷

安徽省合肥市2024-2025学年八年级下学期春季开学模拟考数学试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）当m＜0时，点P（3﹣2m，m）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（4分）已知点（﹣2，m），（1，n）都在直线y＝2x+b上，则m，n的大小关系是（　　） A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．不能确定 3．（4分）等腰三角形的一个底角为36°，则这个三角形的顶角为（　　） A．18° B．36° C．72° D．108° 4．（4分）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，∠ACD是△ABC的外角． 求证：∠ACD＝∠A+∠B． 证法1：如图， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理）， 又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义）， ∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）． ∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）． 证法2：如图， ∵∠A＝88°，∠B＝58°，且∠ACD＝146°（量角器测量所得）， 又∵146°＝88°+58°（计算所得）， ∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）． 下列说法正确的是（　　） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1用严谨的推理证明了该定理 C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 5．（4分）如图，△ABC≌△A'B'C，∠BCB'＝30°，则∠ACA'的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．110° 6．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝20°，延长线段BA至点D，则∠DAC的度数为（　　） A．45° B．60° C．65° D．115° 7．（4分）如图，在△ABC与△ABD中，∠C＝∠D，则添加条件可使△ABC≌△BAD的是（　　） A．AD＝BC B．AC＝BD C．∠CAD＝∠DBC D．∠ABC＝∠BAD 8．（4分）如图，要判断一块纸带的两边a，b相互平行，甲、乙、丙三人的折叠与测量方案如下： 下列判断正确的是（　　） A．甲、乙能得到a∥b，丙不能 B．甲、丙能得到a∥b，乙不能 C．乙、丙能得到a∥b，甲不能 D．甲、乙、丙均能得到a∥b 9．（4分）下列有关一次函数y＝2x﹣6的说法中，错误的是（　　） A．y的值随着x值的增大而增大 B．函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣6） C．函数图象与x轴的交点坐标为（3，0） D．函数图象经过第一、二、三象限 10．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF＝∠CAG＝90°，AB＝AF，AC＝AG，连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF，则下列结论：①BG＝CF；②BG垂直平分CF；③∠EAF＝∠ABC；④EF＝EG；⑤S△AFG＝S△ABC．其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11．（5分）如图，△PAC≌△PBD，∠A＝45°，∠BPD＝20°，则∠PCD的度数为＝　 　． 12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点A（6，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+3上，则m的值为 　 　． 13．（5分）如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝10，则PD的长为 　 　． 14．（5分）如图，△ABC是等边三角形，直线l过顶点B，作点C关于直线l的对称点D，连接BD，AD，CD，若∠BAD＝25°，则∠BCD的度数为 　 　． 三．解答题（共9小题，满分90分分） 15．（8分）如图，已知直线l1：y与坐标轴分别交于点A，B，经过原点的直线l2与l1相交于第一象限内的点C，若．求直线l2的表达式． 16．（8分）如图，在△ABC中，∠A+∠B＝80°，CE是△ABC的角平分线，已知∠CEB＝110°，求∠A和∠B的度数． 17．（8分）如图所示，DC⊥CA，EA⊥CA，CD＝AB，CB＝AE，求证： （1）△BCD≌△EAB； （2）DB⊥BE． 18．（8分）在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，△ABC与△A1B1C1关于y轴对称． （1）画出△A1B1C1； （2）直接写出点C1的坐标 　 　； （3）若P（m，m+1）是△ABC内部一点，点P关于y轴对称点为P1，且PP1＝6，请直接写出点P的坐标 　 　． 19．（10分）某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC． （1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）试说明：DC与BE的位置关系． 20．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点C（0，6），与x轴交于点B． （1）求这条直线的解析式； （2）直线AD与（1）中所求的直线相交于点D（﹣1，n），点A的坐标为（﹣3，0）．求n的值及直线AD的解析式． 21．（12分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，边BC上有一个点D，过点D作DE⊥AB、DF⊥AC分别交两边于E、F，且AE＝AF，求证：DE＝DF． 22．（12分）一辆轿车从A地驶往B地，到达B地后立即返回A地，返回速度是原来的1.5倍，往返共用t小时．一辆货车同时从A地驶往B地，速度是60km/h到达B地后停止．两车同时出发，匀速行驶，设轿车行驶的时间为x（h），两车离开A地的距离为y（km），轿车行驶过程中y与x之间的函数图象如图所示． （1）轿车从A地驶往B地的速度为 　 　km/h，t＝　 　； （2）在图中画出货车从A地行驶到B地的函数图象，并求货车从A地行驶到B地时y与x之间的函数关系式；（写出自变量取值范围） （3）当轿车从B地返回A地的途中与货车相遇时，求相遇处到A地的距离． 23．（14分）在平面直角坐标系中，∠ABC＝90°，AB＝BC，A（2，2）． （1）如图1，若点B（﹣3，0），求点C的坐标； （2）如图2，点B为x轴负半轴上一动点，AC交y轴于点F，连接BF，若AD⊥y轴于点D，AE⊥x轴于点E，试探究BF、BE与DF的数量关系并说明理由； （3）如图3，若在点C处有一个等腰Rt△CGH，且CG＝GH，∠CGH＝90°，连接AH，点I为AH的中点，试探究线段BI与线段GI的关系，并说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）当m＜0时，点P（3﹣2m，m）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】点的坐标． 【专题】平面直角坐标系；符号意识． 【答案】D 【分析】直接利用m的符号得出P点横纵坐标的符号关系，进而得出答案． 【解答】解：∵m＜0， ∴3﹣2m＞0， ∴点P（3﹣2m，m）在第四象限． 故选：D． 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键． 2．（4分已知点（﹣2，m），（1，n）都在直线y＝2x+b上，则m，n的大小关系是（　　） A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．不能确定 【考点】一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】一次函数及其应用；推理能力． 【答案】C 【分析】根据k＝2可知一次函数的增减性，即可比较m和n的大小． 【解答】解：在直线y＝2x+b中，k＝2＞0， ∴y随着x的增大而增大， ∵﹣2＜1， ∴m＜n， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 3．（4分）等腰三角形的一个底角为36°，则这个三角形的顶角为（　　） A．18° B．36° C．72° D．108° 【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】D 【分析】已知给出了等腰三角形的底角等于36°，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理进而求得答案． 【解答】解：∵等腰三角形的底角等于36°， 又等腰三角形的底角相等， ∴顶角＝180°﹣2×36°＝108°． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质；题目比较简单，属于基础题． 4．（4分）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，∠ACD是△ABC的外角． 求证：∠ACD＝∠A+∠B． 证法1：如图， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理）， 又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义）， ∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）． ∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）． 证法2：如图， ∵∠A＝88°，∠B＝58°，且∠ACD＝146°（量角器测量所得）， 又∵146°＝88°+58°（计算所得）， ∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）． 下列说法正确的是（　　） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1用严谨的推理证明了该定理 C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】B 【分析】依据定理证明的一般步骤进行分析判断即可得出结论． 【解答】解：∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形， ∴A的说法不正确，不符合题意； ∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确， ∴B的说法正确，符合题意； ∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明， ∴C的说法不正确，不符合题意； ∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关， ∴D的说法不正确，不符合题意； 综上，B的说法正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形的外角的性质，定理的证明的一般步骤．依据定理的证明的一般步骤分析解答是解题的关键． 5．（4分）如图，△ABC≌△A'B'C，∠BCB'＝30°，则∠ACA'的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．110° 【考点】全等三角形的性质． 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质可得∠ACB＝∠A′CB′，再根据等式的性质可得∠ACA′＝∠BCB′＝30°． 【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C， ∴∠ACB＝∠A′CB′， ∴∠ACB﹣∠A′CB＝∠A′CB′﹣∠A′CB， ∴∠ACA′＝∠BCB′＝30°， 故选：A． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 6．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝20°，延长线段BA至点D，则∠DAC的度数为（　　） A．45° B．60° C．65° D．115° 【考点】三角形内角和定理． 【专题】三角形；几何直观． 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质即可得到结论． 【解答】解：在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝20°， ∴∠DAC＝∠C+∠B＝45°+20°＝65°， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 7．（4分）如图，在△ABC与△ABD中，∠C＝∠D，则添加条件可使△ABC≌△BAD的是（　　） A．AD＝BC B．AC＝BD C．∠CAD＝∠DBC D．∠ABC＝∠BAD 【考点】全等三角形的判定． 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：A．AD＝BC，AB＝BA，∠D＝∠C，不符合全等三角形的判定定理，不能证明△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意； B．AC＝BD，AB＝BA，∠D＝∠C，不符合全等三角形的判定定理，不能证明△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意； C．∠CAD＝∠DBC，AB＝BA，∠D＝∠C，不符合全等三角形的判定定理，不能证明△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意； D．∠ABC＝∠BAD，∠D＝∠C，AB＝BA，符合全等三角形的判定定理AAS，能证明△ABC≌△BAD，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL． 8．（4分）如图，要判断一块纸带的两边a，b相互平行，甲、乙、丙三人的折叠与测量方案如下： 下列判断正确的是（　　） A．甲、乙能得到a∥b，丙不能 B．甲、丙能得到a∥b，乙不能 C．乙、丙能得到a∥b，甲不能 D．甲、乙、丙均能得到a∥b 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定与性质、平行线的判定定理求解即可． 【解答】解：甲、∵∠1＝∠2， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）， 乙、由∠1＝∠2，不能判定a∥b， 丙、在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠CAO＝∠DBO， ∴a∥b， 故选：B． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟记全等三角形的判定与性质、平行线的判定是解题的关键． 9．（4分）下列有关一次函数y＝2x﹣6的说法中，错误的是（　　） A．y的值随着x值的增大而增大 B．函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣6） C．函数图象与x轴的交点坐标为（3，0） D．函数图象经过第一、二、三象限 【考点】一次函数的性质． 【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、∵k＝2＞0，∴y的值随着x值的增大而增大，正确，不符合题意； B、∵当x＝0时，y＝﹣6，∴函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣6），正确，不符合题意； C、∵当y＝0时，x＝3，∴函数图象与x轴的交点坐标为（3，0），正确，不符合题意； D、∵k＝2＞0，b＝﹣6＜0，∴函数图象经过第一、三、四象限，错误，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 10．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF＝∠CAG＝90°，AB＝AF，AC＝AG，连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF，则下列结论：①BG＝CF；②BG垂直平分CF；③∠EAF＝∠ABC；④EF＝EG；⑤S△AFG＝S△ABC．其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形． 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】C 【分析】易证△CAF≌△GAB（SAS），从而推得①正确；利用∠FCA＝∠BGA及三角形内角和与对顶角，可证BG⊥CF，但现有条件不能证明BG平分CF，故②错误；过点F作FM⊥AE于点M，过点G作GN⊥AE交AE的延长线于点N，证明△AFM≌△BAD（AAS），得∠FAM＝∠ABD，则③正确；证明△FME≌△GNE，则EF＝EG，可得出结论④正确；利用全等三角形的面积相等，可得⑤正确． 【解答】解：∵∠BAF＝∠CAG＝90°， ∴∠BAF+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，即∠CAF＝∠GAB， 又∵AB＝AF，AC＝AG， ∴△CAF≌△GAB（SAS）， ∴BG＝CF，故①正确； ∵△FAC≌△BAG， ∴∠FCA＝∠BGA， 又∵BC与AG所交的对顶角相等， ∴BG与FC所交角等于∠GAC，即等于90°， ∴BG⊥CF， 现有条件不能证明BG平分CF，故②错误； 过点F作FM⊥AE于点M，过点G作GN⊥AE交AE的延长线于点N， ∵∠FMA＝∠FAB＝∠ADB＝90°， ∴∠FAM+∠BAD＝90°，∠FAM+∠AFM＝90°， ∴∠BAD＝∠AFM， 又∵AF＝AB， ∴△AFM≌△BAD（AAS）， ∴AM＝BD，FM＝AD，∠FAM＝∠ABD， 即∠EAF＝∠ABC，故③正确； 同理△ANG≌△CDA， ∴NG＝AD，AN＝CD， ∴FM＝NG， ∵FM⊥AE，NG⊥AE， ∴∠FME＝∠GNE＝90°， ∵∠MEF＝∠NEG， ∴△FME≌△GNE（AAS）． ∴EF＝EG， 故④正确． ∵△AFM≌△BAD，△ANG≌△CDA，△FME≌△GNE， ∴S△AFM＝S△BAD，S△ANG＝S△CDA，S△FME＝S△GNE， ∴S△AFG＝S△ABC． 故⑤正确． 综上可知，正确的有①③④⑤． 故选：C． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11．（5分）如图，△PAC≌△PBD，∠A＝45°，∠BPD＝20°，则∠PCD的度数为＝　65°　． 【考点】全等三角形的性质． 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】65°． 【分析】根据全等三角形的性质求出∠APC，根据三角形外角的性质即可求出∠PCD． 【解答】解：∵△PAC≌△PBD， ∴∠APC＝∠BPD， ∵∠BPD＝20°， ∴∠APC＝20°， ∵∠A＝45， ∴∠PCD＝∠A+∠APC ＝45°+20° ＝65°， 故答案为：65°． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解决问题的关键． 12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点A（6，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+3上，则m的值为 　3　． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】3． 【分析】由点A的坐标及点A，B关于x轴对称，可得出点B的坐标为（6，﹣m），由点B在直线y＝﹣x+3上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值． 【解答】解：∵点A的坐标为（6，m），点A，B关于x轴对称， ∴点B的坐标为（6，﹣m）． ∵点B（6，﹣m）在直线y＝﹣x+3上， ∴﹣m＝﹣1×6+3， 解得：m＝3， ∴m的值为3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及关于x轴、y轴对称的点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出m的值是解题的关键． 13．（5分）如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝10，则PD的长为 　5　． 【考点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；平行线的性质． 【专题】推理填空题；推理能力． 【答案】5． 【分析】过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE＝PD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠POD＝∠OPC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PCE＝∠AOB，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出PEPC＝5，根据角平分线的性质得到答案． 【解答】解：作PE⊥OA于E， ∵P是∠AOB平分线上一点， ∴∠AOP＝∠BOP＝15°， ∵PC∥OB， ∴∠POD＝∠OPC， ∴∠PCE＝∠POC+∠OPC＝∠POC+∠POD＝∠AOB＝30°， ∴PEPC＝5， ∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA， ∴PD＝PE＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造含30°角的直角三角形是解题的关键． 14．（5分）如图，△ABC是等边三角形，直线l过顶点B，作点C关于直线l的对称点D，连接BD，AD，CD，若∠BAD＝25°，则∠BCD的度数为 　55°　． 【考点】轴对称的性质；等边三角形的性质． 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】55°． 【分析】由轴对称的性质可得BC＝BD，由等腰三角形的性质可求∠BAD＝∠ADB＝25°，可求∠CBD＝70°，由三角形内角和定理可求解． 【解答】解：∵点C关于直线l的对称点D， ∴BC＝BD， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴AB＝BD， ∴∠BAD＝∠ADB＝25°， ∴∠ABD＝130°， ∴∠CBD＝70°， ∵BC＝BD， ∴∠BCD＝∠BDC＝55°， 故答案为：55°． 【点评】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 三．解答题（共9小题，满分90分） 15．（8分）如图，已知直线l1：y与坐标轴分别交于点A，B，经过原点的直线l2与l1相交于第一象限内的点C，若．求直线l2的表达式． 【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】l2的表达式为yx． 【分析】由直线l1：y求得A、B的坐标，求得△OAB的面积，根据题意求得S△OBC2，设点C的横坐标为m，则C（m，m+4），即可得到S△OBC2m，解得：m＝1，得到C的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线l2的表达式． 【解答】解：在y中， 当y＝0时，x＝3，当x＝0时，y＝4， ∴A（3，0），B（0，4）， ∴S△OAB6， ∴S△OBC2， 设点C的横坐标为m，则C（m，m+4）， ∴S△OBC2m， ∴2m＝2，解得：m＝1， ∴C（1，）， 设l2的表达式为y＝kx，则k， ∴l2的表达式为yx． 【点评】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，求得C点的坐标是解题的关键． 16．（8分）如图，在△ABC中，∠A+∠B＝80°，CE是△ABC的角平分线，已知∠CEB＝110°，求∠A和∠B的度数． 【考点】三角形内角和定理． 【专题】计算题；三角形；运算能力；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】求出∠ACE＝∠BCE＝50°，根据三角形的内角和定理和外角的性质可得出答案． 【解答】解：∵∠A+∠B＝80°， ∴∠ACB＝180°﹣80°＝100°， ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE＝∠BCE∠ACB＝50°， ∵∠CEB＝110°， ∴∠A＝∠CEB﹣∠ACE＝110°﹣50°＝60°， ∠B＝180°﹣∠CEB﹣∠BCE＝180°﹣110°﹣50°＝20°． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及角平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 17．（8分）如图所示，DC⊥CA，EA⊥CA，CD＝AB，CB＝AE，求证： （1）△BCD≌△EAB； （2）DB⊥BE． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【分析】（1）利用SAS判定定理证明三角形全等即可； （2）由△DCB≌△BAE（SAS），可得∠DBC＝∠BEA，∠BDC＝∠EBA，再利用∠DBC+∠BDC＝90°，可得∠DBC+∠EBA＝90°，即∠DBE＝90°，得出DB⊥BE． 【解答】证明：（1）∵DC⊥CA，EA⊥CA， ∴∠DCB＝∠BAE＝90°， 在△DCB和△BAE中， ， ∴△DCB≌△BAE（SAS）． （2）由（1）可知△DCB≌△BAE（SAS）， ∴∠DBC＝∠BEA，∠BDC＝∠EBA， ∵∠DBC+∠BDC＝90°， ∴∠DBC+∠EBA＝90°，即∠DBE＝90°， ∴DB⊥BE． 【点评】本题考查全等三角形的判定定理及性质，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理及性质． 18．（8分）在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，△ABC与△A1B1C1关于y轴对称． （1）画出△A1B1C1； （2）直接写出点C1的坐标 　（﹣5，2）　； （3）若P（m，m+1）是△ABC内部一点，点P关于y轴对称点为P1，且PP1＝6，请直接写出点P的坐标 　（3，4）　． 【考点】作图﹣轴对称变换． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力． 【答案】（1）见解析； （2）（﹣5，2）； （3）（3，4）． 【分析】（1）分别作出点A（3，5）、B（1，1）、C（5，2）关于y轴的对称点A1，B，C1，依次连接起来即得到△A1B1C1； （2）根据关于y轴对称的点的坐标的特征，即可写出点C1的坐标； （3）由点P关于y轴对称点为P1，由PP1＝6可得关于m的方程，解方程即可，从而求得点P的坐标． 【解答】解：（1）如图： （2）点C1与C点关于y轴对称，则C1（﹣5，2）， 故答案为：（﹣5，2）． （3）∵点P关于y轴对称点为P1，且P（m，m+1） ∴P1（﹣m，m+1） ∵点P在△ABC的内部 ∴m＞0 ∴PP1＝2m ∵PP1＝6 ∴2m＝6 ∴m＝3 ∴P（3，4）． 故答案为：（3，4）． 【点评】本题考查了坐标与图形问题，考查了画轴对称图形，关于y对称的点的坐标特征，掌握点关于y轴对称的坐标特征是解题的关键． 19．（10分）某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC． （1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）试说明：DC与BE的位置关系． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】（1）△BAE≌△CAD，证明见解答过程； （2）DC⊥BE，证明见解答过程． 【分析】（1）利用SAS定理证明△BAE≌△CAD； （2）根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACB＝45°，根据垂直的定义证明结论． 【解答】解：（1）△BAE≌△CAD， 理由如下：∵∠BAC＝∠EAD＝90°， ∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD 在△BAE和△CAD中， ， ∴△BAE≌△CAD（SAS）； （2）DC⊥BE， 理由如下：∵△BAC为等腰直角三角形， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∵△BAE≌△CAD， ∴∠CAD＝∠B＝45°， ∴∠ACD＝∠ACB+∠CAD＝90°， ∴DC⊥BE． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． 20．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点C（0，6），与x轴交于点B． （1）求这条直线的解析式； （2）直线AD与（1）中所求的直线相交于点D（﹣1，n），点A的坐标为（﹣3，0）．求n的值及直线AD的解析式． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】（1）y＝﹣2x+6； （2）y＝4x+12． 【分析】（1）把C（0，6）代入函数解析式，可得答案． （2）先求D的坐标，再利用待定系数法求解AD的解析式． 【解答】解：（1）直线y＝﹣2x+a与y轴交于点C（0，6）， ∴﹣2×0+a＝6， ∴a＝6， ∴直线的解析式为y＝﹣2x+6； （2）点D（﹣1，n）在y＝﹣2x+6上， ∴n＝﹣2×（﹣1）+6＝8， ∴D（﹣1，8）， 设直线AD的解析式为y＝kx+b， 把点A（﹣3，0）和D（﹣1，8）代入得， 解得， ∴直线AD的解析式为y＝4x+12． 【点评】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法是解题的关键． 21．（12分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，边BC上有一个点D，过点D作DE⊥AB、DF⊥AC分别交两边于E、F，且AE＝AF，求证：DE＝DF． 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】证明见解析． 【分析】连接AD，利用HL证明Rt△ADE与Rt△ADF全等，进而解答即可． 【解答】证明：连接AD， ∵DE⊥AB、DF⊥AC， 在Rt△ADE与Rt△ADF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴DE＝DF． 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用HL证明Rt△ADE与Rt△ADF全等解答． 22．（12分）一辆轿车从A地驶往B地，到达B地后立即返回A地，返回速度是原来的1.5倍，往返共用t小时．一辆货车同时从A地驶往B地，速度是60km/h到达B地后停止．两车同时出发，匀速行驶，设轿车行驶的时间为x（h），两车离开A地的距离为y（km），轿车行驶过程中y与x之间的函数图象如图所示． （1）轿车从A地驶往B地的速度为 　80　km/h，t＝　5　； （2）在图中画出货车从A地行驶到B地的函数图象，并求货车从A地行驶到B地时y与x之间的函数关系式；（写出自变量取值范围） （3）当轿车从B地返回A地的途中与货车相遇时，求相遇处到A地的距离． 【考点】一次函数的应用． 【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】（1）80，5； （2）y＝60x（0≤x≤4），函数图象见解析； （3）相遇处到A地的距离为200km． 【分析】（1）由图象可知，轿车从A地驶往B地一共行驶了240km，所用时间为3h，根据速度＝路程÷时间即可求出得轿车从A地驶往B地的速度，根据图象即可得到t的值； （2）根据时间＝路程÷速度可求出货车到达B地所需时间，以此确定函数图象过（0，0）和（4，240）两点，根据路程＝速度×时间即可写出y与x之间的函数关系式； （3）由题意可得轿车返回速度为120km/h，设a小时后，轿车从B地返回A地的途中与货车相遇，根据“货车走过的路程+轿车从B地出发后的路程＝240”列出方程，求得a，则相遇处到A地的距离就是货车走过的路程． 【解答】解：（1）由图象可知，轿车从A地驶往B地一共行驶了240km，所用时间为3h， ∴轿车从A地驶往B地的速度为240÷3＝80（km/h）， 由图象可知，轿车往返共用5h； 故答案为：80，5； （2）∵货车同时从A地驶往B地，速度是60km/h到达B地后停止， ∴货车到达B地所需时间为240÷60＝4（h）， ∴货车从A地行驶到B地的函数图象过（0，0）和（4，240）， ∴y＝60x（0≤x≤4）， 函数图象如图所示， （3）∵轿车返回速度是原来的1.5倍， ∴轿车返回速度为80×1.5＝120（km/h）， 设a小时后，轿车从B地返回A地的途中与货车相遇， 根据题意得：60a+120（a﹣3）＝240， 解得：a， ∴相遇处到A地的距离为60200（km）． 【点评】本题主要考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，正确理解题意，根据图象得到做题所需信息是解题关键． 23．（14分）在平面直角坐标系中，∠ABC＝90°，AB＝BC，A（2，2）． （1）如图1，若点B（﹣3，0），求点C的坐标； （2）如图2，点B为x轴负半轴上一动点，AC交y轴于点F，连接BF，若AD⊥y轴于点D，AE⊥x轴于点E，试探究BF、BE与DF的数量关系并说明理由； （3）如图3，若在点C处有一个等腰Rt△CGH，且CG＝GH，∠CGH＝90°，连接AH，点I为AH的中点，试探究线段BI与线段GI的关系，并说明理由． 【考点】三角形综合题． 【专题】几何综合题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】（1）C（﹣5，5）； （2）BE＝BF+DF，理由见解析； （3）BI＝IM，BI⊥GI．理由见解析． 【分析】（1）如图1中，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于E，证明△ABD≌△BCE（AAS），由全等三角形的性质推出AD＝BE＝2，BD＝CE＝5，可得结论； （2）结论：BE＝BF+DF．证明△DFA≌△EHA（SAS），由全等三角形的性质得出AF＝AH，再证明△BAF≌△BAH（SAS），由全等三角形的性质得出BF＝BH，可得结论； （3）结论：BI＝IM，BI⊥GI．延长GI至M，使GI＝IM，连接AM，BG，BM，如图3中，证明△IAM≌△IHG（SAS），由全等三角形的性质得出AM＝GH，∠AMI＝∠IGH，证明△GCB≌△MAB（SAS），由全等三角形的性质得出BG＝BM，∠CBG＝∠ABM．证明△GBM是等腰直角三角形，可得结论． 【解答】解：（1）过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于E， ∴∠ADB＝90°＝∠BEC， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD+∠EBC＝90°， ∴∠BAD＝∠EBC， ∵AB＝BC， ∴△ABD≌△BCE（AAS）， ∴AD＝BE＝2，BD＝CE＝5， 故点C（﹣5，5）； （2）BE＝BF+DF． 理由：在OE上截取HE＝DF，连接AH， ∵A（2，2）， ∴AD＝AE， ∵∠ADF＝∠AEH＝90°， ∴△DFA≌△EHA（SAS）， ∴AF＝AH， 又∵∠ABC＝90°，AB＝AC， ∴∠BAC＝45°， ∴∠DAB+∠HAE＝45°， ∵∠DAE＝90°， ∴∠BAH＝45°， ∴∠BAF＝∠BAH， 又∵AB＝AB， ∴△BAF≌△BAH（SAS）， ∴BF＝BH， ∴BE＝BH+HE＝BF+DF； （3）BI＝IM，BI⊥GI． 理由：延长GI至M，使GI＝IM，连接AM，BG，BM， ∵I为AH的中点， ∴AI＝IH， 又∵∠AIM＝∠GIH， ∴△IAM≌△IHG（SAS）， ∴AM＝GH，∠AMI＝∠IGH， 又∵CG＝GH， ∴AM＝GH＝CG， 延长MA交GC的延长线于T，AT交BC于点N， ∵∠AMI＝∠IGH， ∴GH∥AM， ∵∠HGC＝90°， ∴∠GTM＝90°， ∵∠ABC＝90°，∠CNT＝∠ANB， ∴∠TCN＝∠NAB， ∴∠GCB＝∠BAM， 又∵BC＝BA， ∴△GCB≌△MAB（SAS）， ∴BG＝BM，∠CBG＝∠ABM， ∴∠CBG+∠GBA＝∠ABM+∠GBA＝∠CBA＝90°， ∴△GBM为等腰直角三角形， ∵GI＝IM， ∴BI＝IM，BI⊥GI． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$