解直角三角形的实际应用 专项2025一轮复习数学（安徽适用）

解直角三角形及其实际应用 1．（2024长春）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（　　） 第1题图 A．asinθ千米 B．千米 C．acosθ千米 D．千米 2．（2024金昌永昌县三模）△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA，cosB，则△ABC的形状是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 3．如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cosα的值为（　　） 第3题图 A． B． C． D． 4．（2024武汉）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是　 　 m．（参考数据：tan63°≈2） 第4题图 5．（2024雅安）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（　　） 第5题图 A．25米 B．25米 C．25米 D．50米 6．（2024临夏州）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB，则BC的长是（　　） 第6题图 A．3 B．6 C．8 D．9 7．（2024眉山）如图，斜坡CD的坡度i＝1：2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为　　 米． 第7题图 8.（2024宁夏）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流AB＝2cm，四边形BCDE是器身，BE∥CD，BC＝DE＝11cm，∠ABE＝120°，∠CBE＝80°．器身底部CD距地面的高度为21.5cm，则该陶盉管状短流口A距地面的高度约为　　cm（结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin80°≈0.9848，cos80°≈0.1736，tan80°≈5.6713，1.732） 第8题图 9．（2024河北）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6m，点P到BQ的距离PQ＝2.6m，AC的延长线交PQ于点E．（注：图中所有点均在同一平面） （1）求β的大小及tanα的值； （2）求CP的长及sin∠APC的值． 第9题图 10．（2024乐山改编）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）如图，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度； 第10题图 11．（2024辽宁改编）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3m，∠CAB＝60°，停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73） 第11题图 12.（2024临夏州）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度AB的实践活动．A为乾元塔的顶端，AB⊥BC，点C，D在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即CE＝1.6米）测得A点仰角为37°，向西平移14.5米至点D，测得A点仰角为45°，请根据测量数据，求乾元塔的高度AB．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 第12题图 13．位于安徽省合肥市的渡江纪念馆旁的胜利塔是合肥滨湖新区的标志性建筑．它体现的是中国正义之师的历史功绩和光辉荣耀．如图，某兴趣小组想测量胜利塔CD的高度，先在A处仰望它顶C，测得仰角为37°，再往塔的方向前进120米到B处，测得仰角为82°． 求胜利塔的高度CD．（结果精确到1米；参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈1.33） 第13题图 14．（2024平凉庄浪县二模）某数学兴趣小组测量一栋居民楼高度的活动报告如下： 活动目的 测量居民楼的高度 测量工具 皮尺、测角仪 测量示意图及说明 说明：测量仪CD⊥BE、居民棱AB⊥BE．点B、E在水平地面上．A、B、C、D、E、F均在同一平面内 测量过程及数据 测量小组在距离居民楼36m（BE＝36m）处的斜坡EF上的点D处放置测角仪CD，测得居民楼楼顶A的仰角为37°，斜坡EF的坡度i＝3：4，DE＝5m，CD＝1.5m 参考数据 sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75 备注 测量过程注意安全 请你根据该兴趣小组的测量结果求出该居民楼的高度AB． 15．（2024山西）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD＝18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD＝37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE＝9米；… 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）． 第15题图 16．（2020贵阳）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图1是政府给贫困户新建的房屋，如图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，1.7） （1）求屋顶到横梁的距离AG； （2）求房屋的高AB（结果精确到1m）． 17．（2024江西）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成，已知AD∥EF，AM，DN是太阳光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点M，E，F，N在同一条直线上．经测量ME＝FN＝20.0m，EF＝40.0m，BE＝2.4m，∠ABE＝152°．（结果精确到0.1m） （1）求“大碗”的口径AD的长； （2）求“大碗”的高度AM的长． （参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88） 第17题图 18．（2024湖南）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米； ③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°； ④用计算器计算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段CE和BC的长度； （2）求底座的底面ABCD的面积．。 19．（2024贵州模拟）贵州格江的增冲鼓楼是我国侗寨现存最老的鼓楼之一．如图是太阳光照射鼓楼形成的示意图．BD，BC分别是不同时刻太阳光照射鼓楼的影长，测得∠ADB＝45°，∠ACB＝39°，CD＝56.25m．（点D，B，C在同一水平线上，且点A，D，B，C在同一平面内） （1）设鼓楼高AB为x m，则BC的长为　 m（用含x的代数式表示）． （2）求鼓楼AB的高度（结果保留整数）． （参考数据：tan39°≈0.80，sin39°≈0.62，cos39°≈0.77） 20.为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A，B，P，Q四点在同一平面）． 当下引桥坡度i＝1：2时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）． 第20题图 参考答案 1.A 2.C 3.D 4.51 5.A 6.B 7.（42） 8.34.1 9.解：（1）由题意可得：PQ⊥AE，PQ＝2.6m，AB＝CD＝EQ＝1.6m，AE＝BQ＝4（m），AC＝BD＝3（m）， ∴CE＝4﹣3＝1（m），PE＝2.6﹣1.6＝1（m），∠CEP＝90°． ∴CE＝PE． ∴β＝∠PCE＝45°，． （2）∵CE＝PE＝1m，∠CEP＝90°， ∴． 如解图，过C作 CH⊥AP于点H， 第9题解图 ∵，设CH＝x m，则AH＝4x m， ∴x2+（4x）2＝AC2＝9． ∴，． ∴． ∴． 10.解：如解图，过点A′作A′B⊥OA于点B． 第10题解图 设秋千绳索的长度为x尺， 由题可知，OA＝OA′＝x尺，AB＝5﹣1＝4尺，A′B＝10尺， ∴OB＝OA﹣AB＝（x﹣4）尺． 在Rt△OA′B中，由勾股定理得：A′B2+OB2＝OA′2， ∴102+（x﹣4）2＝x2， 解得x＝14.5． 答：秋千绳索的长度为14.5尺. 11.解：在Rt△ABC中，AC＝3，∠CAB＝60°， ∴∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝6， 根据勾股定理得，BC3. 在Rt△BCD中，∠CDB＝37°，sin37°≈0.60，1.73， ∴sin∠CDB，即0.60， ∴BD≈8.65， ∴CE＝BD﹣BA＝8.65﹣6＝2.65≈2.7（m）， 则物体上升的高度CE约为2.7m． 12解：如解图，过点E作EF⊥AB于点F， 设FG＝x m，在Rt△AEF中，∵∠AEF＝37°， ∴tan37°， ∴AF＝EF•tan37°＝0.75（x+16.5）＝（0.75x+10.875）m． 在Rt△AGF中，∵∠AGF＝45°， ∴， ∴AF＝GF＝x m， ∴0.75x+10.875＝x， ∴x≈44， ∴AB＝AF+BF＝44+1.6≈46（m）． 答：乾元塔的高度AB约为46m． 第12题解图 13.解：（1）根据题意得∠CAB＝37°，AB＝120，∠CBD＝82°， 如图，过B点作BH⊥AC于H点， ∵∠CBD＝∠CAB+∠ACB， ∴∠ACB＝82°﹣37°＝45°. 在Rt△ABH中， ∵sinA， ∴BH＝120×sin37°＝120×0.6＝72. ∵cosA， ∴AH＝120×cos37°＝120×0.8＝96. 在Rt△CBH中，∵∠HCB＝45°， ∴CH＝BH＝72， ∴AC＝AH+CH＝96+72＝168（m）. 在Rt△ACD中，∵sinA， ∴CD＝168×sin37°＝168×0.6≈101（m）， 即胜利塔的高度CD约为101 m． 第13题解图 14.解：如解图，延长CD交BE的延长线于点G，过点C作CH⊥AB于点H．则四边形BGCH是矩形， ∴BG＝CH，CG＝BH． ∵DE＝5m，坡度， ∴DG＝3m，EG＝4m， ∴BH＝CG＝CD+DG＝4.5m． ∵BE＝36m， ∴CH＝BG＝BE+EG＝40m． 在Rt△ACH中，， 即， ∴，则AH≈30m， ∴AB＝AH+BH＝30+4.5＝34.5m， ∴该居民楼的高度AB为34.5m． 第14题解图 15.解：如解图，延长CD交AB于点H， 由题意得四边形CMBH为矩形， ∴CM＝HB＝20． 在Rt△ACH中，∠AHC＝90°，∠ACH＝18.4°， ∴， ∴． 在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝37°， ∴， ∴． 设AH＝x． ∵AE＝9， ∴EH＝x+9， ∴， 解得x≈7.1， ∴AB＝AH+HB≈7.1+20＝27.1≈27（米）． 答：点A到地面的距离AB的长约为27米． 第15题解图 16.解：（1）由题知，房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF∥CB， 则AG⊥EF，EGEF，∠AEG＝∠ACB＝35°， 在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠AEG＝35°， ∵tan∠AEG＝tan35°，EG＝6， ∴AG＝6×0.7＝4.2（米）． 答：屋顶到横梁的距离AG约为4.2米． （2）如解图，过点E作EH⊥CB于点H， 设EH＝x， 在Rt△EDH中，∠EHD＝90°，∠EDH＝60°， ∵tan∠EDH， ∴DH． 在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝35°， ∵tan∠ECH， ∴CH． ∵CH﹣DH＝CD＝8， ∴8，解得x≈9.52， ∴AB＝AG+BG＝13.72≈14（米）， 答：房屋的高AB约为14米． 17.解：（1）∵AM⊥MN，DN⊥MN， ∴∠AMN＝∠DNM＝90°， ∵AD∥MN， ∴∠DAM＝180°﹣∠AMN＝90°， ∴四边形AMND是矩形， ∴AD＝MN＝ME+EF+FN＝20.0+40.0+20.0＝80.0（m）， 答：“大碗”的口径AD的长为80.0m． （2）如解图，延长CB交AM于点G， 第17题解图 由题意得BE＝GM＝2.4m，BG＝ME＝20.0m，BG⊥AM，∠EBG＝90°， ∵∠ABE＝152°， ∴∠ABG＝∠ABE﹣∠EBG＝62°， 在Rt△ABG中，AG＝BG•tan62°≈20.0×1.88＝37.6（m）， ∴AM＝AG+MG＝37.6+2.4＝40.0（m）， 答：“大碗”的高度AM的长约为40.0m． 18解：（1）∵GH⊥CE，EF的长为4米，∠CFG＝60.3°， ∴， ∴CE＝7米． ∵∠BFG＝45°， ∴BE＝EF＝4米， ∴CB＝CE﹣BE＝3米． （2）如解图，过点A作AM⊥GH于点M． ∵∠AFG＝21.8°， ∴． ∵AM＝BE＝4米， ∴MF＝10米， ∴AB＝ME＝10﹣4＝6米， ∴底座的底面ABCD的面积为3×6＝18（平方米）． 19.解：（1）． （2）∵在Rt△ABD中，BD＝AB＝x m， ∴CD＝BD+BC， 即x＝56.25，解得x≈25， ∴鼓楼AB的高度为25m． 20.解：由题意，∠PBQ＝∠TPB＝60°， ∵∠PQB＝90°， ∴∠BPQ＝30°， ∴BQ＝PQ•tan30°＝93． 如图，过点A作AM⊥QB于点M，AH⊥PQ于点H． 由题意，∠PAH＝∠TPA＝30°. 设AM＝a米，则BM＝2a， ∵∠AHQ＝∠HQM＝∠AMQ＝90°， ∴四边形AHQM是矩形， ∴AH＝QM＝32a，QH＝AM＝a，PH＝PQ﹣HQ＝9﹣a. 在Rt△APH中，tan∠PAH， ∴， 解得,a＝2， ∴AM＝2，BM＝4， ∴AB2（米）． 答：电子眼区间测速路段AB的长2米． 第20题解图 学科网（北京）股份有限公司 $$