精品解析：江西省九江市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

九江市2024—2025学年度高一上学期期末考试 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号､姓名等项内容填写在答题卡上. 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，再利用交集的定义求得答案. 【详解】解不等式，即，解得， 则，所以. 故选：B 2. 已知某地最近10天每天的最高气温（单位：℃）分别为23，17，17，21，22，20，16，14，21，19，则10天最高气温的第75百分位数是（ ） A. 15 B. 21 C. 21.5 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义，将数据重新排列计算即可求得结果. 【详解】将10天的最高气温按照从小到大的顺序重新排列如下： ， 又，不是整数，因此取重新排列的第8个数即可， 即第75百分位数是21. 故选：B 3. 若，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本基本不等式求出最小值. 【详解】，当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为3. 故选：C 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】解：对于A，若，则无法比较大小，故A错误； 对于B，若，则为正数，两边平方得，故B正确； 对于，若，则，故C错误； 对于D，若，满足，但是，故D错误. 故选：B. 5. 函数零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的性质及零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】当时，，此时无零点； 当时，在上单调递增，且，， 所以上存在一个零点； 综上，零点所在区间为. 故选：D 6. 若命题“”是真命题，则不能等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题为真分离参数求得在上的最大值，可得结果. 【详解】由，可得， 即. 故选：D. 7. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数复合函数的区间单调性有，即可求参数范围. 【详解】函数在上单调递减，且在区间上单调递减， 函数在区间上单调递增， ，即， 的取值范围是. 故选：A 8. 已知函数且的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设的值域为，可知，分和两种情况，结合指数函数性质运算求解. 【详解】当时，可知的值域为， 设的值域为，依题意得. 当时，在上单调递减， 即当时，，不符合题意； 当时，在上单调递增， 即当时，，可得，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组原样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中为非零常数，则（ ） A. 新样本数据的平均数是原样本数据的平均数的2倍 B. 新样本数据的中位数是原样本数据的中位数的2倍 C. 新样本数据的标准差是原样本数据的标准差的2倍 D. 新样本数据的极差是原样本数据的极差的2倍 【答案】CD 【解析】 【分析】根据数据平均数、中位数、标准差、极差的定义及性质分析判断各项的正误. 【详解】对于A：设，则，且，错误； 对于B：设原样本数据的中位数为，则新样本数据的中位数为，且，错误； 对于C：由，知新样本数据的标准差是原样本数据的标准差的2倍，正确； 对于D：设原样本数据的极差为，则新样本数据的极差为，正确. 故选：CD 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为奇数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（ ） A. B与D互斥 B. A与D互为对立事件 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】写出以及样本空间所包含的基本事件，逐一判断各个选项即可. 【详解】由题意，样本空间为， 对于A，，这意味着不可能同时发生，故A正确； 对于B，，这意味着中有且仅有一个事情发生，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知连续函数满足：①，有；②当时，；③.则以下说法中正确的是（ ） A. B. C. 在上的最大值是6 D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用题设条件通过赋值法代入，即可判断A，B；对于C，先由条件② ，推出在上的单调性，再由③推出，排除C项；对于D，利用C的结论，将化成，再利用函数单调性即可解得. 【详解】对于A：由①，时，有，即，故A正确； 对于B：由①，取，可得， 再取，，故B正确； 对于C：设且，则，由②得. 由①，取，可得，即. 由①再取，可得， 即，即故在上单调递减. 由③，得.又因则， 故在上的最大值为7，故C错误； 对于D：因则，即， 因在上单调递减，则 ，解得，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的单调性、最值的应用，属于难题. 对于C项的确定是关键，要考虑利用②证明函数单调性，由③通过求得排除此项，同时，又要运用该值等价转化D项不等式. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由奇偶性定义判断函数奇偶性，根据幂函数的单调性及解析式判断函数单调性，再应用奇偶性、单调性解不等式求参数范围. 【详解】由定义域为，且，则为奇函数. 又函数均为上的增函数，则为上的增函数. 由题设，即，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 13. 如图，某电子元件由三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，三种部件不能正常工作的概率分别为，各个部件是否正常工作相互独立，同时正常工作或正常工作则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件.则，分别计算出，根据对立事件即可得即可解出. 【详解】解：设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件. ， ，即该电子元件能正常工作的概率是. 故答案为：. 14. 已知正实数满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设均为方程的根，由解析式判断的单调性，利用零点存在性定理确定零点唯一性，结合对数运算性质求参数值. 【详解】， 均为方程的根， 在上单调递增，且， 有唯一零点，即， . 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，由集合的运算即可得解； （2）由题意得是的真子集，进一步列不等式即可求解. 【小问1详解】 ， . 或， 或. 【小问2详解】 “”是“”成立的充分不必要条件，是的真子集. 又. 等号不同时成立，即，解得，经检验“”满足题意. 的取值范围是. 16. 4月23日是世界读书日，首届全民阅读大会在北京开幕.习近平总书记希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善读书的浓厚氛围.某研究机构为了解当地中学生的阅读情况，通过随机抽样调查了200位中学生，对这些中学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，将这些学生每天阅读的时间分成五段：（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计这200位学生每天阅读的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）； （2）现在从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天阅读的时间所在区间不同的概率. 【答案】（1），54（分钟）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求参数，再结合频率直方图求平均数即可； （2）应用分层抽样确定不同区间抽取的人数，再应用列举法求古典概型的概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，即， 这200位学生每天阅读的平均时间为（分钟）. 【小问2详解】 每天阅读的时间在和内的人数比为，则分层抽样抽取的6人中， 在内的有2人，记为，在内的有4人，记为， 这6人中随机抽取2人的试验的样本空间为，共15个样本点， 阅读的时间所在区间不同的事件，共8个样本点. 这2人每天阅读的时间所在区间不同的概率为. 17. 已知函数. （1）若为偶函数，求的值； （2）讨论的零点个数. 【答案】（1）； （2）当时，无零点； 当或时，有一个零点； 当时，有两个零点. 【解析】 【分析】（1）应用偶函数的性质有恒成立，即可求参数值； （2）设，问题化为分析解的个数，分类讨论判断原函数零点的个数. 【小问1详解】 依题意，得，即 即恒成立，得. 【小问2详解】 令，得 设，则 由函数在上单调递增，在上单调递减，且最大值为， 当时，无零点； 当或时，有一个零点； 当时，有两个零点. 18. 已知函数. （1）求的定义域； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）设，试比较的大小. 【答案】（1）. （2） 曲线是中心对称图形，对称中心为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据即可求解， （2）计算的值，即可根据中心对称的性质求解， （3）利用单调性的定义可得单调递减，即可根据对数复合函数的单调性求解. 【小问1详解】 由，得① ，即①式恒成立，的定义域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，设任意，且， 则 ，又， 即，即. 在上单调递减，在上单调递减 19. 若函数的图象恒过和两点，则称函数为“函数”. （1）试写出一个“函数”的二次函数； （2）若函数，且是“0函数”，求的值； （3）设，且，定义在上的函数满足：①，有，②是“0函数”.求证：均是“函数”. 【答案】（1）； （2）； （3） 为“函数”， ， 令，得，解得或（舍去）， 而，所以，则， ，故， 综上，是“函数”， 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义，写出一个满足要求的二次函数即可； （2）根据定义有得，再由及对数的换底公式求值； （3）根据已知有②及新定义有，再由①且求得，进而求参数，即可证结论. 【小问1详解】 一个“函数”的二次函数是， 显然，，即函数图象过和两点， 所以，一个“函数”的二次函数，满足要求. 【小问2详解】 由，得，解得，则， 由，得，即，由换底公式得，则. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江市2024—2025学年度高一上学期期末考试 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号､姓名等项内容填写在答题卡上. 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知某地最近10天每天的最高气温（单位：℃）分别为23，17，17，21，22，20，16，14，21，19，则10天最高气温的第75百分位数是（ ） A. 15 B. 21 C. 21.5 D. 22 3. 若，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 函数零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 6. 若命题“”是真命题，则不能等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数且的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组原样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中为非零常数，则（ ） A. 新样本数据的平均数是原样本数据的平均数的2倍 B. 新样本数据的中位数是原样本数据的中位数的2倍 C. 新样本数据的标准差是原样本数据的标准差的2倍 D. 新样本数据的极差是原样本数据的极差的2倍 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为奇数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（ ） A. B与D互斥 B. A与D互为对立事件 C. D. 11. 已知连续函数满足：①，有；②当时，；③.则以下说法中正确的是（ ） A. B. C. 在上的最大值是6 D. 不等式的解集为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则实数的取值范围是__________. 13. 如图，某电子元件由三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，三种部件不能正常工作的概率分别为，各个部件是否正常工作相互独立，同时正常工作或正常工作则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是__________. 14. 已知正实数满足，则__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围. 16. 4月23日是世界读书日，首届全民阅读大会在北京开幕.习近平总书记希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善读书的浓厚氛围.某研究机构为了解当地中学生的阅读情况，通过随机抽样调查了200位中学生，对这些中学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，将这些学生每天阅读的时间分成五段：（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计这200位学生每天阅读的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）； （2）现在从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天阅读的时间所在区间不同的概率. 17. 已知函数. （1）若为偶函数，求的值； （2）讨论的零点个数. 18. 已知函数. （1）求的定义域； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）设，试比较的大小. 19. 若函数的图象恒过和两点，则称函数为“函数”. （1）试写出一个“函数”的二次函数； （2）若函数，且是“0函数”，求的值； （3）设，且，定义在上的函数满足：①，有，②是“0函数”.求证：均是“函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $