精品解析：江西省南昌市2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷

高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书.从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（ ） A. 13种 B. 42种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可． 【详解】7本不同的历史书任取1本历史书有7种取法； 6本不同的地理书任取1本地理书有6种取法， 从这些书中任取1本历史书和1本地理书， 根据分步乘法原理得到不同的取法有7×6=42种. 故选：B. 2. 已知直线与直线平行，则（ ） A. 1 B. 3 C. 1或 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据一般式方程两直线平行的条件得到方程，求出参数的值，再检验即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或， 经检验，当或时，均满足两条直线平行. 故选：C 3. 若直线与圆只有一个公共点，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，可得直线与圆相切，再借助点到直线距离公式计算即得. 【详解】依题意，直线与圆相切，而圆的圆心，半径为1， 因此，解得， 所以. 故选：C 4. 某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种脐橙10000个，估计单果质量不低于150g的脐橙个数为（ ） 附：若，则，，. A. 8413 B. 9772 C. 9974 D. 9987 【答案】D 【解析】 【分析】由条件求出和值，依据正态分布的对称性可得质量不低于150g的概率，即可得解. 【详解】由可知，，， 则， 故单果质量不低于150g的脐橙个数约为10000×0.9987=9987. 故选：D 5. 小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】利用插空法可求得结果. 【详解】先将一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄进行排序， 然后将两颗圣女果插入一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄所形成的空位中， 从个空位中抽取个空位进行排序， 由插空法可知，不同的串法有种. 故选：C. 6. 已知为坐标原点，双曲线的右焦点为F，点在C的渐近线上，过点F作，垂足为，，则C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两点距离公式及向量运算得，根据点线距离求出，由点在C的渐近线上得，. 【详解】由知，又，所以. 由，则为焦点F到渐近线即的距离， 所以，在中，， 由点在C的渐近线上，所以，即，所以， 所以C的方程为. 故选：A 7. 小明参加户外植树活动，种植了A，B两种树苗各5棵，A种树苗的成活率为0.8，B种树苗的成活率为0.6，记A，B两种树苗最终成活的棵数分别为，，则（ ） 注：设X，Y为两个随机变量，则有. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的期望性质直接计算即可. 【详解】服从二项分布，. 同理，， . 故选：C. 8. 在四棱锥中，底面是菱形，，，E是上一点，且，，，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算可得，再结合数量积运算求解即可. 【详解】因为，则， 又因为，，，则， 且，，则， 可得， 则 ， 所以，即. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分. 9. 由一组样本数据，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为，记，，则下面说法正确的是（ ） A. 直线至少经过点中的一个点 B. 直线必经过点 C. 样本相关系数与回归系数同号 D. 对样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据回归直线性质、相关系数、回归系数的概念逐项分析可得答案. 【详解】回归直线是由点拟合而成的，可能不过任何一个样本点，但必过数据的中心点，A错误，B正确. 样本相关系数为正时，两个变量为正相关，回归系数为正；样本相关系数为负时， 两个变量为负相关，回归系数为负.故样本相关系数与回归系数同号，C正确. 样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强，D正确. 故选：BCD. 10. 如图，在八面体中，，，，均是边长为4的正三角形，且平面，，均垂直于底面，下列结论正确的是（ ） A. B. 为正三角形 C. 点到平面的距离为2 D. 直线与直线所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理判断A；证明、，判断B；利用线面平行的性质求出点到平面的距离判断C；建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的余弦判断D. 【详解】取的中点，连接， 在正，正中，， 由平面平面，平面平面，平面，则平面， 同理平面，于是，四边形为平行四边形，，， 而，，因此，，A正确； 同理，，则，即为正三角形，B正确； 由，平面，平面，得平面， 则点到平面的距离等于点到平面的距离， 连接，是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半， 而点到平面的距离为，因此点到平面的距离为，C错误； 记的中点为，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则点，，，， ，，， 所以直线与直线所成角的余弦值为，D正确. 故选：ABD 11. 已知A，B分别为椭圆：的左、右顶点，D为C的上顶点，为坐标原点，E为C上一点，且位于第二象限，过点E作轴，垂足为M，直线，分别与y轴交于点H，G，则下列结论正确的是（ ） A. 若D是的中点，则 B. 若M是C的左焦点，则G是的中点 C. D. 若M是的中点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：求出直线的方程，与椭圆联立，求出点及的坐标，即可求解；对B：求出直线的方程，可得点的坐标，即可判断；对C：设，求出直线，的方程，求出点及的坐标，即可判断；对于D：利用三角形相似得，结合C选项，可得，即可求解. 【详解】由是的中点，则，又，则直线的方程为， 与联立可得，解得或， 将代入，可得，， 即，则，故，A正确. 若是的左焦点，则，直线的方程为. 令，得，所以.令，得， 即当时，是的中点，B错误. 设，直线，的斜率分别为，， 则，，. 直线，的方程分别为，， 分别令，可得，，所以，. ，C正确. 由∽得，由∽得， 可得. 因为是的中点，所以. 结合，可得， 所以，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 展开式中的系数为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理通项公式法计算即可。 【详解】根据二项式定理通项公式，知道展开式中的系数为. 故答案为：. 13. 已知抛物线C：的焦点为F，P在C上，若以为直径的圆与x轴相切于点，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意可得点，再利用抛物线的定义即可得结果. 【详解】由题意得，设，的中点为，则. 因为以为直径的圆与轴相切于点， 则，即，解得，则， 所以 故答案为：2 14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，1，3，3，乙的卡片上分别标有数字2，2，4，4，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则甲在第一轮比赛中得1分的概率为_________，甲的总得分为1的概率为_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①设“甲在第一轮比赛中得1分”为事件，求得，，利用古典概型的概率公式运算即可.②甲的总得分可能为0，1，2，分别求甲的总得分为0，2的概率，即得“甲的总得分为1的概率”. 【详解】设样本空间为，甲在第一轮比赛中得1分为事件A， 在第一轮比赛中，甲、乙两人所选卡片上的数字可能为（1，2），（1，4），（3，2），（3，4），即 只有一种情况（3，2）满足甲在第一轮比赛中得1分，即， 所以甲在第一轮比赛中得1分的概率为. 甲的总得分可能为0，1，2.由于对称性，不妨固定乙四轮所选卡片上的数字依次为（2，2，4，4），甲四轮所选卡片上的数字有种排序方法. 若甲的总得分为0，则甲四轮所选卡片上的数字依次为（1，1，3，3）； 若甲的总得分为2，则甲四轮所选卡片上的数字依次为（3，3，1，1）. 故甲的总得分为0，2的概率均为，甲的总得分为1的概率为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 （1）求取出的3个球中有2个白球的概率； （2）设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）应用超几何分布的概率公式求概率即可. （2）先分别应用超几何分布的概率公式求出对应概率，再写出分布列，再求数学期望即可. 【小问1详解】 所求概率为 【小问2详解】 X可能的取值为0，1，2. ， . 故X的分布列为 0 1 2 故. 16. 为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，科学家进行了实验，得到如下结果（单位：人）： 患病情况 服用情况 患病 不患病 服用中药预防方 10 90 不服用中药预防方 50 50 （1）该中药预防方对预防该种疾病是否有效? （2）从参与该实验的人中任选一人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人患病”.利用该调查数据，求，的值. 附：，其中. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）有99%的把握认为该中药预防方对预防该种疾病有效 （2），. 【解析】 【分析】（1）利用的性质进行比较. （2）利用条件概率，分析情况得到答案. 【小问1详解】 由已知得， 所以有99%的把握认为该中药预防方对预防该种疾病有效. 【小问2详解】 由题意可得，， ，. ， 17. 如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，平面，，点为线段上的动点. （1）求三棱锥的体积； （2）当最小时，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出底面积和高，根据棱锥体积公式计算即可； （2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，借助二次函数性质，确定点的位置，再求出各平面的法向量，借助向量夹角余弦值公式计算即可. 【小问1详解】 容易求得. 因为平面，所以是三棱锥的高. 在中，， 所以三棱锥的体积. 【小问2详解】 取的中点O，连接，以，所在直线分别为x轴、y轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，所以. 设，则，， 则， 所以当时，有最小值. 此时，，. 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，，所以. 平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的角为， 则， 所以当最小时，平面与平面所成角的余弦值为. 18. 甲、乙2名同学最近100次的投篮情况如下： 甲 乙 投中 50 60 未投中 50 40 用频率估计概率，解答下列问题． （1）若从甲、乙2人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率． （2）设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投．规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次），投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局．甲、乙每次投中与否相互独立． ①求甲投了第3次后停止比赛的概率； ②求乙投了第4次后停止比赛的概率． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用频率求出两人投中的概率，然后根据两人的投中概率可求答案； （2）①先明确甲投了第3次后停止比赛的所有情况，结合互斥事件的概率求解；②乙投了第4次后停止比赛，说明乙比甲多投中2次，按照轮次情况，分类求解概率即可. 【小问1详解】 甲同学的投篮命中率为， 乙同学的投篮命中率为． 从甲、乙中随机选择1人投篮1次，投中的概率为． 【小问2详解】 ①甲投了3次，则乙投了2次． 由题意可得甲比乙多投中2次，有2种情况． 第一种情况：甲投中了3次，乙投中了1次，即甲每次投篮都投中，乙第一次投篮投中，第二次投篮没投中，其概率为． 第二种情况：甲投中了2次，乙投中了0次，即甲第一、三次投篮投中，第二次投篮没投中，乙每次投篮都没投中，或甲第二、三次投篮投中，第一次投篮没投中，乙每次投篮都没投中，其概率为， 故所求概率为． ②乙投了4次，则甲投了4次． 记甲、乙各投1次为一轮，则甲、乙共投了四轮． 在每轮比赛中，记事件为乙投中的次数比甲多1次，即乙投中，甲没投中，其概率， 记事件为甲、乙投中的次数相等，即甲、乙都没投中或都投中，其概率， 记事件为乙投中的次数比甲少1次，即乙没投中，甲投中，其概率． 投了第四次后停止比赛，即投了四轮后乙投中的次数比甲多2次，有2种情况． 第一种情况：四轮比赛中，事件各发生2次，即第一至四轮依次为或，或，其概率为． 第二种情况：四轮比赛中，事件发生3次，事件发生1次，即第一至四轮依次为，或，其概率为． 所求概率为． 19. 已知为坐标原点，椭圆：的左顶点为A，右焦点为F，点B在C上，且，，直线与直线的斜率之比为3. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F的直线，分别与C交于点D，E和点M，N，若P，Q分别为线段和的中点，当直线，的斜率之积为时，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据对称性，设两直线的斜率，求出，再求出，，.再求出. （2）设直线的方程为，，，联立得，求出，再求出的中点为.再求出的面积. 【小问1详解】 根据对称性，不妨设点在第一象限. 记直线与直线的斜率分别为，， ，. 由题意可得， 所以 ，解得，，. 故椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 显然直线，的斜率存在且不为0. 设直线的方程为，，， 联立得， 所以，， 则，，. 同理，，， 所以的中点为. 的面积， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积的最大值为. 【点睛】思路点睛： 圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书.从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（ ） A. 13种 B. 42种 C. 种 D. 种 2. 已知直线与直线平行，则（ ） A. 1 B. 3 C. 1或 D. 或3 3. 若直线与圆只有一个公共点，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 4. 某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种脐橙10000个，估计单果质量不低于150g的脐橙个数为（ ） 附：若，则，，. A. 8413 B. 9772 C. 9974 D. 9987 5. 小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 已知为坐标原点，双曲线的右焦点为F，点在C的渐近线上，过点F作，垂足为，，则C的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 小明参加户外植树活动，种植了A，B两种树苗各5棵，A种树苗的成活率为0.8，B种树苗的成活率为0.6，记A，B两种树苗最终成活的棵数分别为，，则（ ） 注：设X，Y为两个随机变量，则有. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 在四棱锥中，底面是菱形，，，E是上一点，且，，，，则（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分. 9. 由一组样本数据，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为，记，，则下面说法正确的是（ ） A. 直线至少经过点中的一个点 B. 直线必经过点 C. 样本相关系数与回归系数同号 D. 对样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强 10. 如图，在八面体中，，，，均是边长为4的正三角形，且平面，，均垂直于底面，下列结论正确的是（ ） A. B. 为正三角形 C. 点到平面的距离为2 D. 直线与直线所成角的余弦值为 11. 已知A，B分别为椭圆：的左、右顶点，D为C的上顶点，为坐标原点，E为C上一点，且位于第二象限，过点E作轴，垂足为M，直线，分别与y轴交于点H，G，则下列结论正确的是（ ） A. 若D是的中点，则 B. 若M是C的左焦点，则G是的中点 C. D. 若M是的中点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 展开式中的系数为________. 13. 已知抛物线C：的焦点为F，P在C上，若以为直径的圆与x轴相切于点，则________. 14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，1，3，3，乙的卡片上分别标有数字2，2，4，4，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则甲在第一轮比赛中得1分的概率为_________，甲的总得分为1的概率为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 （1）求取出的3个球中有2个白球的概率； （2）设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 16. 为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，科学家进行了实验，得到如下结果（单位：人）： 患病情况 服用情况 患病 不患病 服用中药预防方 10 90 不服用中药预防方 50 50 （1）该中药预防方对预防该种疾病是否有效? （2）从参与该实验的人中任选一人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人患病”.利用该调查数据，求，的值. 附：，其中. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17. 如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，平面，，点为线段上的动点. （1）求三棱锥的体积； （2）当最小时，求平面与平面所成角的余弦值. 18. 甲、乙2名同学最近100次的投篮情况如下： 甲 乙 投中 50 60 未投中 50 40 用频率估计概率，解答下列问题． （1）若从甲、乙2人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率． （2）设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投．规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次），投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局．甲、乙每次投中与否相互独立． ①求甲投了第3次后停止比赛的概率； ②求乙投了第4次后停止比赛的概率． 19. 已知为坐标原点，椭圆：的左顶点为A，右焦点为F，点B在C上，且，，直线与直线的斜率之比为3. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F的直线，分别与C交于点D，E和点M，N，若P，Q分别为线段和的中点，当直线，的斜率之积为时，求的面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $