精品解析：山西省大同市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

大同市2024−2025学年度第一学期期末八年级教学质量监测 数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分，全卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷及答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. “书法”是我国汉字特有的一种传统艺术，它是我国十大国粹之一．下面的“美”字分别采用楷书、行书、草书、篆书等四种不同字体书写而成，它们呈现出美的不同形态．其中符合轴对称美的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、单项式与单项式的除法法则，熟悉以上知识点是解题的关键． 分别根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法、单项式与单项式的除法法则进行逐一解答． 【详解】解：A. ，原计算错误，故此选项不符合题意； B. ，原计算错误，故此选项不符合题意； C. ，原计算正确，故此选项符合题意； D. ，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行大约需要．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据用科学记数法表示为， 故选：A． 4. 如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】点P到点、的距离相等知点P在的角平分线上，据此可得答案． 【详解】解：∵点P到点、的距离相等， ∴点P在的角平分线上， 故选：B． 【点睛】本题主要考查尺规作图—作角平分线及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质与尺规作图． 5. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，这个分式叫做最简分式，解题关键掌握最简分式的定义． 利用最简分式定义进行分析即可． 【详解】A.该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故此选项不符合题意； B. 该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故此选项不符合题意； C. 该分式是最简分式，故此选项符合题意； D. 该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故此选项不符合题意； 故选C． 6. 解分式方程时，去分母化为一元一次方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，观察，则方程两边同时乘，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴方程两边同时乘，得， 整理得， 故选：B． 7. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是利用三角板度数求未知角的度数，熟记三角形外角的性质是解题关键． 先利用三角板的角度以及外角性质即可求得，进而得出结果． 【详解】解：如图所示，，，， ， ， ． 故选C． 8. 为了有效开展第二课堂，大同市某校决定购进A，两种品牌的足球，其中购买A品牌足球共花费2000元，购买品牌足球共花费1750元，且购买A品牌足球的数量是购买品牌足球数量的2倍，已知品牌足球比A品牌足球单价贵了30元，设A品牌足球单价为元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 设A品牌足球单价为元，根据“品牌足球比A品牌足球单价贵了30元，且购买A品牌足球的数量是购买品牌足球数量的2倍”列出分式方程即可得出答案． 【详解】解：设A品牌足球单价为元，根据题意， 故选A． 9. 把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方式与几何图形，阴影部分的面积等于4个小长方形的面积，也等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此列等式即可． 【详解】解：图中大正方形的面积为：，中间小正方形的面积为：，阴影部分的面积为：， 由此可得， 故选：A． 10. 如图，在中，，，，动点、分别从点、同时出发，其中点以的速度沿向点匀速运动，点以的速度沿向点匀速运动，当、其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当为直角三角形时，的值为（ ） A. 1 B. 1或 C. 1或2 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 分两种情况讨论为直角三角形的情况，再结合路程公式求解即可． 【详解】解：点以的速度沿向点匀速运动，点以的速度沿向点匀速运动，，， ，， 当时， ， ， ， ， ； 当时， ， ， ， ， ； 当、其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动， 点M从B到A所需时间为，点N从C到B所需时间为， ； 和均满足， 的值为1或， 故选B． 第II卷 非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．熟练掌握分式有意义的条件（分母不为零）是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意可得，解得， 故答案为：． 12. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键． 根据分式的混合运算法则即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 在解决问题时，小明发现下列两个被纸板挡住的三角形，只有图②能画出唯一的三角形，他判断的依据是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据图形可知图中三角形纸片两角及其夹边已知，则可根据解答． 【详解】解：∵图中三角形纸片两角及其夹边已知， ∴可以根据画出了一个与原三角形完全重合的三角形， 故答案为：． 14. 若是一个完全平方式，则m的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了完全平方公式．根据完全平方公式的特征解答即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式，且二次项系数为1， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，边的垂直平分线与的延长线交于点，与外角的平分线交于点，过作，垂足为，若，，则为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，准确添加辅助线构建全等三角形是解题关键． 过点D作，垂足为M，连接，，通过证明RtRt，RtRt，结合全等三角形的性质分析求解． 【详解】解：过点D作，垂足为M，连接，， ∵平分，且，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵边的垂直平分线与的延长线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 三、解答题（本大题共7个小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】此题考查了零指数幂和负指数幂，整式的混合运算，掌握运算法则是解决问题的关键． （1）先化简绝对值，计算零指数幂和负指数幂，再算加减法； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开，计算多项式除以单项式，再合并同类项进行化简． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解： （1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，，，，，求的长． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，证明垂直平分是解题关键．首先根据“到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上”易知垂直平分，然后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴点均在线段的垂直平分线上，即垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 19. 下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思 【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，其基本思路是将异分母分式通过通分转化为同分母分式，再进行加减运算． 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 【反思】在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： （1）以上化简过程中，第________步是进行分式的通分，通分的依据是________； （2）上述解题过程中，从第________步开始出现错误，写出正确的化简过程； （3）写出异分母分式加减运算过程中的注意事项（写出一条即可）． 【答案】（1）三，分式的基本性质 （2） 上述解题过程中，从第四步开始出现错误， 解：原式 ； （3） 通分时，分子不要漏乘最简公分母． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算是解题的关键． （1）根据题中的步骤可知第三步是通分，再根据分式的基本性质即可得出答案； （2）根据分式的加减运算的运算法则即可得出答案； （3）根据异分母分式加减运算法则即可得出答案． 【小问1详解】 以上化简过程中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，，平分，交于点； （1）尺规作图：过作的垂线，垂足为（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的基础上，求证：． 【答案】（1） 如图，即为所求： （2） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点是的中点，即． 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，掌握相关的性质定理、正确推理论证是解题关键． （1）根据垂线的作法即可过作的垂线，垂足为； （2）根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，从而可得，，然后根据等腰三角形三线合一的性质分析证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 为了拓展学生学习视野，开启多元成长之旅，全方位提升学生综合素质与实践能力，某市教育局积极推进研学交流活动的展开．现有甲乙两所学校各租用了一辆大巴车，组织部分师生分别从距目的地45千米和44千米的两地同时出发，前往研学教育基地．已知乙校师生所乘坐的大巴车的平均速度是甲校师生所乘坐大巴车的平均速度的1.2倍，甲校师生比乙校师生晚10分钟到达目的地，求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度分别为多少？ 【答案】甲学校师生所乘大巴车的平均速度为千米/小时，乙学校师生所乘大巴车的平均速度为千米/小时 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到等量关系式是解题的关键． 设甲学校师生所乘大巴车的平均速度为千米/小时，则乙学校师生所乘大巴车的平均速度为千米/小时，根据时间=路程速度，结合甲校师生比乙校师生晚10分钟到达目的地，即可得出关于的分式方程，求解并检验即可得出答案． 【详解】解：设甲学校师生所乘大巴车的平均速度为千米/小时，则乙学校师生所乘大巴车的平均速度为千米/小时， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲学校师生所乘大巴车的平均速度为千米/小时，乙学校师生所乘大巴车的平均速度为千米/小时． 22. 综合与实践 问题呈现： 如图①，在四边形中，，， 求证：平分． 问题解决： 小明在解决问题时发现可以通过构造全等三角形来解决问题，而且他找到了两种“构造”方案： 方案一：如图②，过作于，于； 方案二：如图③，延长至，使． （1）请你选择其中一种“构造”方案，写出完整的证明过程． 思维发散： （2）如图④，在等边中，点是的中点，，与交于点，与交于点，请直接写出，和的数量关系． 【答案】（1）方案一：如图②，过作于，于， 证明：在四边形中，， ∴， ∵共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； 方案二： 如图③，延长至，使， 证明：在四边形中，， ∴， ∵点三点共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2），理由如下， ∵是等边三角形， ∴， ∵点是中点， ∴， 如图所示，取线段 的中点，连接， ∴， ∴，， ∴，即是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，中位线的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，构造三角形全等是解题的关键． （1）方案一：先证明，得到，再证明，得到，即可求解； 方案二：证明，得到，则有，即可求解； （2）如图所示，取线段的中点，连接，可得，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大同市2024−2025学年度第一学期期末八年级教学质量监测 数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分，全卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷及答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. “书法”是我国汉字特有的一种传统艺术，它是我国十大国粹之一．下面的“美”字分别采用楷书、行书、草书、篆书等四种不同字体书写而成，它们呈现出美的不同形态．其中符合轴对称美的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行大约需要．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　） A. B. C. D. 5. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 6. 解分式方程时，去分母化为一元一次方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 为了有效开展第二课堂，大同市某校决定购进A，两种品牌的足球，其中购买A品牌足球共花费2000元，购买品牌足球共花费1750元，且购买A品牌足球的数量是购买品牌足球数量的2倍，已知品牌足球比A品牌足球单价贵了30元，设A品牌足球单价为元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，动点、分别从点、同时出发，其中点以的速度沿向点匀速运动，点以的速度沿向点匀速运动，当、其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当为直角三角形时，的值为（ ） A. 1 B. 1或 C. 1或2 D. 2或 第II卷 非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是________． 12. 计算：________． 13. 在解决问题时，小明发现下列两个被纸板挡住的三角形，只有图②能画出唯一的三角形，他判断的依据是________． 14. 若是一个完全平方式，则m的值为_______． 15. 如图，在中，，边的垂直平分线与的延长线交于点，与外角的平分线交于点，过作，垂足为，若，，则为________． 三、解答题（本大题共7个小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1） （2） 17. 因式分解 （1） （2） 18. 如图，，，，，求的长． 19. 下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思 【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，其基本思路是将异分母分式通过通分转化为同分母分式，再进行加减运算． 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 【反思】在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： （1）以上化简过程中，第________步是进行分式的通分，通分的依据是________； （2）上述解题过程中，从第________步开始出现错误，写出正确的化简过程； （3）写出异分母分式加减运算过程中的注意事项（写出一条即可）． 20. 如图，，平分，交于点； （1）尺规作图：过作的垂线，垂足为（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的基础上，求证：． 21. 为了拓展学生学习视野，开启多元成长之旅，全方位提升学生综合素质与实践能力，某市教育局积极推进研学交流活动的展开．现有甲乙两所学校各租用了一辆大巴车，组织部分师生分别从距目的地45千米和44千米的两地同时出发，前往研学教育基地．已知乙校师生所乘坐的大巴车的平均速度是甲校师生所乘坐大巴车的平均速度的1.2倍，甲校师生比乙校师生晚10分钟到达目的地，求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度分别为多少？ 22. 综合与实践 问题呈现： 如图①，在四边形中，，， 求证：平分． 问题解决： 小明在解决问题时发现可以通过构造全等三角形来解决问题，而且他找到了两种“构造”方案： 方案一：如图②，过作于，于； 方案二：如图③，延长至，使． （1）请你选择其中一种“构造”方案，写出完整的证明过程． 思维发散： （2）如图④，在等边中，点是的中点，，与交于点，与交于点，请直接写出，和的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $