9.1 用坐标描述平面内点的位置-【拓展与培优】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024）

数学七年级下册 第九章 平面直角坐标系 9.1 用坐标描述平面内点的位置 典型例题 例1对任意实数x,点P(x,x2十2)一定不在 () A.第一象限 B.第二象限 Cx轴上 D.y轴上 点拔：根据点在平面直角坐标系中各个象限坐标的符号特点解答即可，注意分情况讨论 变式练习如图，正方形ABCD在平面直角坐标系中，其中三个顶点的坐标分别为A(一2,3)， B(一2，一2)，C(3,一2)，则第四个顶点D的坐标为 例2在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y),我们把点P'(一y十1，x十1)叫作点P的 伴随点，已知点A1的伴随点为A2,点A2的伴随点为A,点A,的伴随点为A4,…这样依 次得到点A1,A2,A3,…,An,…若点A1的坐标为(2,1)，则点A2018的坐标为 点拨：本题为一道新概念问题，准确的理解伴随点的定义是解决问题的关键，当然还需要多求 出几个点，找到规律才能顺利解决。 变式练习如图，在平面直角坐标系中，A(1,1),B(一1,1)，C(一1，一2)，D(1, 一2).把一条长为2017个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的 端固定在A处，并按A→BC→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的 边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是 例3在平面直角坐标系中，已知点A(一2,0)，B(2,0),若在坐标轴上存在点C,使得AC+ BC=m,则称点C为点A,B的“m和点”，例如当点C的坐标为(0,0)时，有AC+BC=4,则 称点C(0,0)为点A,B的“4和点” 请根据上述规定回答下列问题： (1)若点C为点A,B的“m和点”，且△ABC为等边三角形，求m的值： (2)点E是点A,B的“5和点”，且点E在x轴上，则点E的坐标为 (3)若点A,B的“m和点”有且只有4个，则m的取值范围是 数学七年级下册 点拨：(1)本题也是一道新概念问题，主要是对坐标轴上的一类点进行新定义，“m和，点”主要 看m的值如何确定，这个名字虽然有点拗口，但是主要关注点为m的值如何确定，准确的理 解数轴上两点间的距离是解题的关键； (2)新概念问题的难点为理解新概念，解决这类问题时不要着急解题，先理解概念的内涵 与外延再解决问题 变式练习在直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为(0,4)，BC平分 ∠ABO交x轴于点C(2,O).点P是线段AB上一个动点（点P不与点A,B重合），过点P作 AB的垂线分别与x轴交于点D,与y轴交于点E,DF平分∠PDO交y轴于点F.设点D的 横坐标为t. 图1 图2 (1)如图1，当0<t<2时，求证：DFCB; (2)当t<0时，在图2中补全图形，判断直线DF与CB的位置关系，并证明你的结论. 63 数学七年级下册 基础提升 1.在平面直角坐标系中，对于点P(x,y),我们把P'(一y十1，x十1)叫作点P的幸运点.已知 点A1的幸运点为A2,点A2的幸运点为A3,点A3的幸运点为A,…这样依次得到A1 A2,A3,A,…,A.若点A1的坐标为(0,2)，则点A2o2s的坐标是 () A.(0,2) B.(-1,1) C.(0,0) D.(1,1) 2.用大小、形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示的图案，A(一1,5)，则 点B的坐标为 () A.(4,-2) 9 C.(-6,5) n兰别 3.如图，动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次运动到点(2， 0),第3次运动到点(3,2)，…按这样的运动规律，则第2023次运动到点 () y (3.2) (7,2 (11,2) (1,1) (91)】 (2,0)(4.0) (6.0)(8,0)(10.0)(12.0)末 A.(2023,0) B.(2023,1) C.(2023,2) D.(2022,0) 4.在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个 单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…依此类 推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则 向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所 处位置的坐标是 () A.(66,34) B.(67,33) C.(100,33) D.(99,34) 5.若点M(a+3,a一2)在y轴上，则点M的坐标是 6.已知点A(一1，b十2)不在任何象限，则b= 7.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平 移，每次移动一个单位，得到点A1(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(2,0),…那么点A2018的 坐标为 1厂 数学七年级下册 国 培优提高 8.在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y),若点Q的坐标为(ax十y,x十ay),则称点Q 是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且a≠0）.例如：点P(1,4)的“2阶派生点”为点Q (2×1+4,1+2×4),即点Q(6,9). (1)若点P的坐标为（一1,5），则它的“3阶派生点”的坐标为 (2)若点P的“5阶派生点"”的坐标为（一9,3），求点P的坐标； (3)若点P(c十1,2c一1)先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点 P1,点P1的“一3阶派生点”P2位于坐标轴上，求点P2的坐标. 9.如图，四边形ABCD为正方形（各边相等），AB,轴.已知B(a,0),C(b,0),P(2a,m), 且/a+2+|b-1|+)(m+t-4)2=0. (1)求出点B,C的坐标； (2)点Q从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线CD方向运动，运动时间为t秒. ①点P在四边形ABCD内部，且S△o=2时，求t的值： ②当Sw号Sr时，求：的值 备用图 658.A9.D10.C 故有100<x<1000, 二、11.10±2-512.-4-610 所以公园的宽大约几百米，而不足1000m. (2)因为4002<200000<5002,4402<200000 -613.⑦⑧14.415.x+y=016.0 <4502, 17.8 所以它的宽大约为440m或450m 三，18a1.21(e2器 (3)3x-14 (3)圆面积=（半径）2×π，即：800=（半径）× 3.14,则（半径）2=800÷3.14≈254.777，半径 19.(1)x= 88(2x- 2 20.3 √254.77≈15.96≈16（米） 21.解：(1)，2<√5<3， 23.824.(1)wm-√n-1(2)925.(1)1 √5的整数部分是2，小数部分是5一2， 5√5(2)5255(3)AnB.C.D.的面积为 故答案为：25-2. 5,边长为√5. (2)根据题意得：a=√5一2，b=5,则原式= 5-2+5-√5=3. 第九章平面直角坐标系 (3):2√/3=√12，且3<12<4， 9.1用坐标描述平面内点的位置 .13<10+23<14, .2x=13,y=10+23-13=23-3, 典型例题 即x品 例1C解析：(1)当x<0时，x2+2>0,故点P 在第二象限： 则x-y=3×号-(2-3)= 13 -23. (2)当x=0时，x2+2>0,故点P在y轴上； (3)当x>0时，x2+2>0,点P在第一象限. 22.(1)W5-2(2)2-√3(3)4-√3 ∴.点P(x,x2十2)一定不在x轴上. 33.02 故选：C 24.乙的结果对. 变式练习(3,3) x=3,.1-x<0. 例2(0,3) 变式练习(1，一2) 又，且(1-x)≥0，∴√1-x)7=x-1,而不 例3(1)m=8 是.√(1一x)7=1一x, (2)(-2.5,0)或(2.5,0) ∴，乙的答案是正确的，甲的答案是错误的 (3)m>4 周末拓展实数(2) 变式练习(I)提示：在四边形DPBO中，∠DPB +∠PBO+∠BOD+∠PDO=360°， -、1.B2.A3.C4.C5.D6.A7.D 推得∠PBO+∠PDO=180°， 8.B9.B 又由于BC平分∠ABO,DF平分∠PDO, 二、10.<>11.503.612.√713.406 ∴.∠CBO+∠FDO=90°， 14.1+√5或1-515.-216.417.23-2 又，∠FDO+∠DFO=90, 18.(1)是(2)否 .∠CBO=∠DFO,所以DFCB. 三、19.(1)-1(2)1(3)-36(4)W2-√3 (2)直线DF与CB的位置关系是DF⊥CB 20)z=士22z=号21.-1 提示：延长DF交CB于点Q,如图. 22.解：(1)设这块长方形的荒地宽为xm,则 长为2xm. 依题意得x·2x=400000,即x2=200000.由 于1002=10000，而10002=1000000， ·14· 基础提升 (3),点P(c+1,2c-1)先向左平移2个单位 1.C解析：A1的坐标为(0,2)， 长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P, A2(-1,1),Aa(0,0),A(1,1)As(0,2), P1(c-1,2c), .P1的“一3阶派生点“P2为：（一3(c一1）十 以此类推，每4个点为一个循环组依次循环， 2c,c-1-6c),即(-c+3,-5c-1), 2023÷4=5053,.点A02的坐标与A ,P:在坐标轴上，∴.一c十3=0或-5c一1= 的坐标相同，为(0,0). 0,c=3或c=-5, 故选：C 2.D解析：设长方形的长为x,宽为y, .-6+3=0或5，-5c-1=-16或0， 7 则/十2=5 x= 3 x一y=1,解得 P,0,-16)或9o） y=3 9.解：(1)：√a+2+b-1+(m+t-4)2 测=2红-兰a1=+y =0, 3 .a十2=0，b-1=0,m十t-4=0,.a=-2, 点B在第二象限，B(兰，》。 b=1,m=4-t, ∴.B(-2,0),C(1,0). 故选：D (2)①a=-2,m=4-t,.P(-1,4-t), 3.C解析：由题意可知，第1次从原点运动到 ,m=4一t,点P在四边形ABCD内部， 点(1,1) .4-t>0,且t>0,即0<t<4, 第2次接着运动到点(2,0)， 当点P在Q上方时，如图. 第3次接着运动到点(3,2)， 第4次从原点运动到点(4,0)， 第5次接着运动到点(5,1)， 第6次接着运动到点(6,0)， 4 第4n次接着运动到点(4n,0), 第4n+1次接着运动到点(4n十1,1)， 第4n十2次从原点运动到点(4n十2,0)， 即4-t>t,∴.0<t<2, 第4n十3次接着运动到点(4n十3,2)， 六San=Saa+S6am-S6m-2BcC·yn ,2023÷4=505…3, .第2023次接着运动到点(2023,2). +2Qc.(x0-x)-号BC·0Q-2×3(4-0) 故选：C 4.C +号×x1+0-号×31=6-2,6-2=7， 5.(0,-5)6.-27.(1009,1) 培优提高 i-i 8.解：(1)3×(-1)+5=2，-1+3×5=14， 当点P在Q下方时，如图. 点P的坐标为（一1,5），则它的“3级派生 点”的坐标为(2,14). 故答案为：(2,14) (2)设点P的坐标为(a,b), 5a+b=-9 由题意可知 +56=3,解得： a=-2 =1 …点P的坐标为（一2,1）. 即0<4-t<t,0<t<4, ·15 .2<t<4, mSom-Somne-SourBC San=5ar+Saw-Sam-7C.lynl c0-号pc·0-2Q0.o-r)=2×3 2Bc·Qc-c0o-r)-号x3-0 号×34-0-2×x1+10-24-6. 2×3-2×1×(1+1)=21-6, 1 21-6=子4=只>4（含去）的值 19 Sa=2BC.r=2×3-0=-6, SABP-SABPC ②由①知，当0<t<4,P在正方形ABCD :2-6-(层-， 内部， P在BQ上方时， 当4-t>t时，即0<t<2, Saaw=S6ac+Sam-S6m=2BC·n十 :的值为票 qc。-x)2Bc00=6-2, 9.2坐标方法的简单应用 5a=BC=×34-0=6-2 典型例题 例11 1 S=2S△re, 变式练习 1.3-4 6-2=26-2) 2.A 4-号>2舍去： 例2南门(0,0)，狮子馆（一4,5），飞禽馆(3,4)，两 栖动物馆(4,1). 当0<4-t<t,且0<t<4时，即2<t<4, 变式练习敌军指挥部如图点C. P在BQ下方时， S△HrQ=S△Q-S△hne-S△acp=2t-6, Sre=BC·y=×34-0=6-， 1 1 SANO-SAWC 2-6=6-), 例3(1)(3,5)(-2，-3) 4-8 (2)①如图，最后的位置还是点B②5 当4一t<0时， 即t>4,如图. (3)-3 基础提升 1.A解析：由题意知，“咚咚一咚咚”对应(2， 2),“咚一咚”对应(1,1)，“咚咚咚一咚”对应(3,1). ∴.“咚咚咚一咚咚”对应(3,2)，表示A,“咚咚咚 咚咚一咚咚咚”对应(5,3)，表示N,“咚一咚咚咚”对 ·16