8.3 实数及其简单运算-【拓展与培优】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024）

数学七年级下册 国 8.3实数及其简单运算 典型例题 例1实数a,b在数轴上的位置如图所示，那么a一b|+√(a十b)2的结果是 ab→ A.2a B.26 C.-2a D.-2b 点拨：先根据数轴得出b<a<0,据此知a十b<0,a一b>0,再利用绝对值的性质和二次根式 的性质化简即可. 变式练习 1.下列实数头-，3.14159w区，-27,12中，无理数有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.有下列说法：①无理数就是开方开不尽的数；②无理数包括正无理数、零、负无理数； ③无理数是无限不循环小数；④无理数都可以用数轴上的点来表示.其中正确的说法的个数是 ) A.1 B.2 C.3 D.4 例2如图，数轴上A,B两点表示的数分别为一1和√3，点B关于点A的对称点为C,则点C 所表示的数为 AO B A.-2-√3 B.-1-√3 C.-2+3 D.1+√3 点拨：(1)本题考查实数与数轴的关系； (2)由点B关于点A的对称点为C可知，点B到点A的距离与，点A到，点C的距离相等， 点B到点A的距离为√3十1，所以，点A到点C的距离为√3十1，所以点C的坐标为一-1一(W3 十1)，即可得到点C的坐标 变式练习 1.已知实数a,b,c在数轴上的位置如图所示. 化简：I2c-a+c-b|-la+b1-a-bl. 数学七年级下册 2.如图，数轴上A,B两点表示的数分别是1和√2，点A关于点B的对称点是点C,则点 C所表示的数是 ( 0 A.√2-1 B.1+√2 C.22-2 D.2√2-1 例3阅读下列材料，解答问题： 大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部 地写出来，但是由于1<√2<2，所以W2的整数部分为1，将√2减去其整数部分1，差就是小数 部分√2一1，根据以上的内容，解答下面的问题： (1)5的整数部分是 ,小数部分是 :8一√2的整数部分是 ,小数 部分是 (2)已知10十√3=x十y,其中x是整数，且0<y<1,求x一y的相反数. 点拨：(1)本题考查无理数的概念： (2)由题意可知，将一个无理数减去它的整数部分，剩下的就是它的小数部分，因此本题关 键在于确定这个无理数在哪两个整数范围内. 变式练习 1.若x是17一2的整数部分，y一1是9的平方根，且|x一y|=y一x,求x十y的值 2.任何一个算术平方根√m都可以写成a十b的形式，其中a为√m的整数部分，b为m 的小数部分，且规定b≥≥0.已知5的小数部分为a,一√5的小数部分为b,求a十b. 数学七年级下册 基础提升 1.如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示一1的点重合.将圆沿数轴滚 动1周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是 () -3 A.π-1 B.一x-1 C.-π十1 D.x-1或-π一1 2.如图，数轴上的点E,F,G,M,N,P分别表示数一1,0,1,2,3,4，则表示数√17一3的点应 落在 车「9￥Y A.线段EF上 B.线段GM上 C.线段MN上 D.线段NP上 3.某计算器中有√、/：x三个按键，以下是这三个按键的功能.①√元：将屏幕显示的 数变成它的算术平方根；②1/x:将屏幕显示的数变成它的倒数；③x2:将屏幕显示的数变 成它的平方.输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第1步到第3步循环按键 例如：当输入5时，第1步操作的结果是25，第2步操作的结果是25，第3步操作的结果是 1 ,…有下列说法 ①若开始输入的数据为2，那么第5步操作之后显示的结果是4； ②若开始输入的数据为。>0)，那么第2025步操作之后显示的结果是， ③若开始输人一个数据a(a>0),经过若干步操作后，得到的结果为16，则a有6种不同的值. 其中正确的个数是 输人x →网→闪→ →… 第1步操作第2步操作第3步操作 A.0 B.1 C.2 D.3 4.我们把M={1,3,x)叫集合M,其中1,3，x叫作集合M的元素.集合中的元素具有确定性 (如x必然存在)、互异性（如x≠1，x≠3）、无序性（即改变元素的顺序，集合不变）.若集合 N={x,1,3},我们说M=N.已知集合A={0,x|,y},集合B={x,xyWx-y},若A= B,则x十y的值是 ) A.4 B.2 C.0 D.-2 数学七年级下册 5.对于任意两个不相等的数a,b,定义一种新运算“⊙”如下： aOb=YaFb ,如3⊙2= w3+2 =5 a-b 3-2 (1)填空：5○4= (2)若12○4=√3(x一1)，求x的值 6.小明制作了一张面积为256cm2的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所 示，长、宽之比为32，面积为420cm2. (1)求正方形贺卡的边长； (2)求长方形信封的长和宽； (3)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断. 邮剔 7.观察下列一组等式： 第0个等式-√ 第②个等式2-2， 第个等式品-3： 第@个等式：4一音=4周 根据你观察到的规律，完成以下问题： (1)第⑤个等式为 (2)用含n的式子表示第n个等式为 46 数学七年级下册 (3)若等式a一6=a√ 是符合上面规律的等式，27是a(b一1)的一个平方根，求a的值， 培优提高 8.阅读下列材料： 正方形的边长为a,则其面积为a2.若正方形的边长增加b,则其面 积是多少？ 探究：如图，把正方形分割成四个正方形或长方形，从中可以求得正 方形面积是(a十b)2,同时又可以求得正方形的面积是(a十b)2= a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2. 所以可以得到：(a十b)2=a2+2ab+b2 我们把公式(a十b)2=a2+2ab+b2称为完全平方公式. 例如：132=(10+3)2=102+2×10×3+32=169. (1)探究1：请模仿上述例子进行填空：322=(30十2)2 (2)探究2：√2究竞有多大呢？探究并完成填空： 我们知道面积是2的正方形的边长是√2，并且√2>1.4.设√2=1.4+x,则2=(1.4+ x)2,由完全平方公式可得：2=(1.4十x)2= ,x的值很小，x2的值更小，可以略去，得：2≈2.8x十1.96 解得：x= (保留到0.001).w2=1.4十x≈ (3)探究3：√2是不是有理数呢？ 假设2是有理数，那么存在两个互质的正整数m,n,使得2-只 于是有2m2=n2,2m2是偶数，n也是偶数，n是偶数. 设n=2t(t是正整数)，则n2=4t2,即4t2=2m2,∴.2t2=m2,∴.m也是偶数. .m,n都是偶数，不互质，与假设矛盾.∴.假设错误。 ∴√2不是有理数. 解决问题：请你探究6是不是有理数，±2②.x=0.3 337…3,因此第2025步操作之后的结果与第3次 8.3实数及其简单运算 相酮，为 典型例题 ③根据②的分析，当输入时，经过若干步操 例1D解析：由数轴知b<a<0, 作后，得到的结果有4种简况，己。a,可计算 则a十b<0,a-b>0, 出a有4种不同的值. .原式=a-b-(a+b)=a-b-a-b= 综上，正确的个数是2. 一2h. 故选：C 故选：D, 4.D解析：由题可得，集合A中x≠0，即 变式练习 x≠0，y≠0， 1.A ∴xy≠0. 2.B .B中的/x一y=0, 例2A .x=y 变式练习 ..r=zy. 1.a-b-3c 2.D x≠y, x与y都为负数， 例3(1)2√5-262-√2(2)W5-12 lxl=一x 变式练习 .-x=xy, 1.6 .xy+x=0, 2.1 .x(y+1)=0. 基础提升 x≠0，y十1=0， 1.D解析：：圆的直径为1个单位长度， y=-1, ,该圆的周长为π .x=-1. 当圆沿数轴向左滚动1周时，点B表示的数 .x十y=-2. 是一x一1： 故选：D. 当圆沿数轴向右滚动1周时，点B表示的数是 5解：1501==3故答案为：3 π一1. 5-4 故选：D. 12+4 4 2.B解析：16<17<25， (2),12@4= /12-422 =√2， .4</17<5 .1</17-3<2 2-3(x-D,解得x=3+6 3 则表示/17-3的点应落在线段GM上. 6.解：(1)正方形贺卡的边长为√256=16cm, 故选：B 答：正方形贺卡的边长为16cm, 3.C解析：①若开始输人的数据为2，第1步 (2),信封的长、宽之比为3：2. 操作的结果是4，第2步操作的结果是，第3步操 ∴设长方形信封的长为3.xcm,则宽为2xcm, 由题意得3x·2x=420,即x2=70,∴x=√70 作的结果是)，第4步操作的结果是{，第5步操作 (负值舍去)， ∴.长方形信封的长为3√7而cm,宽 的结果是4： ②若开始输入的数据为a(a>0),按照该步骤 为2√70cm. (3)正方形贺卡的边长为16cm,信封的宽为 操作，每次显示的结果依次是：a,。,。,产aa, 270cm …,每6次操作的结果是一个循环：因为2025÷6= 70>64,w√70>8，.2√70>16，即信封的 ·12· 宽大于正方形贺卡的边长， (3)假设6是有理数，那么存在两个互质的正 小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封. 整数m,1,使得G= 1解：：第①个等式为，1--√ m 于是有6m3=n3.,6m3是偶数，.n3也是偶 第0个等式为V22得 数，n是偶数. 设n=21(t是正整数)，则n3=8, 第个等式为：品-V： 3 即812=6m2,.413=3m3,.3m3是偶数， m是偶数， 第0个等式为：音=V m是偶数，∴，n都是偶数，不互质，与假设 矛盾.假设错误，6不是有理数 第⑤个等式为：V5一=5 专题拓展算术平方根的非负性 故答案为：√5- 典型例题 (②第①个等式为：√分： 例1 变式练习12 第个等式为：2-2得 例2C 第个等式为-3 变式练习 4 例3D 4 4 变式练习 第④个等式为：4-i7=4√7： 1.当a≥2018时，√(a-2018)+a-2017= 2a-4035: ∴.第n个等式为：n一 程 2 "Vn2+1 当a<2018时，√(a-2018)+a-2017=1. 2.2018 n 故答案为：√nm+1=”√n+ 基础提升 (3)由(2)可知b=a2+1,.a(h-1)=a3=27 1B2.-23.2 -24.士45.27或 =729=93,∴.a=9. -276.117.38.1-m-n 培优提高 培优提高 8.解：(1)322=(30+2)2-30+2×30×2+2 =1024. 9.1<c<3 10.0 故答案为：30+2×30×2+2：1024. 1L.解：蚊子的证法不对。 (2),面积是2的正方形的边长是√2，并且2 由题设，应有关系式：m<a<n, >1.4, 则m一a<0,n一a>0, 设2=1.4十x,则2=(1.4十x)2, 那么√(m-a)产=-(m-a),√(n-a) 由完全平方公式可得：2=(1.4十x)2=1.96+ =n一a. 2.8.x十x2, 则一(m一a)=n一a,仍为m十n=2a, x的值很小，x的值更小，可以略去， 实际上，蚊子的数式演变是在原地打转，什么 得：2≈2.8x十1.96，解得：x=0.014(保留到 也没证明. 0.001). ∴2=1.4十x≈1.414. 周末拓展实数(1) 故答案为：1.96+2.8x十x2:0.014:1.414. -、1.D2.B3.A4.D5.C6.B7.D ·13·