7.3 定义、命题、定理-【拓展与培优】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024）

∴.∠FED+∠DCE+∠FGE=180°， '∠BEF=∠BCD(两直线平行，同位角相 .∠FED+∠DCE=180-a: 等)， 故④正确： ,∠B+∠BDG=180(已知)， 综上所述，正确的有①④. ∴.BCDG(同旁内角互补，两直线平行)， 故答案为：①④。 ∴，∠CDG=∠BCD(两直线平行，内错角相 6.90-号 7.80 等)， ∴.∠BEF=∠CDG(等量代换). 8..AB//CD. (2)条件：①③结论：② .∠4=∠BAF, 证明：：DGBC, 又，∠BAF=∠CAF+∠1，∠1=∠2， ∴∠ADG=∠B,∠CDG=∠BCD, ∴∠BAF=∠CAF+∠2. :∠B=∠BCD, 又，∠CAF+∠2=∠CAD, ∠ADG=∠CDG,即DG平分∠ADC .∠BAF=∠CAD,∠4=∠CAD. 变式练习 解：(1)如果ABCD,∠A=∠C,那么 又∠3=∠4， AD∥BC. .∠3=∠CAD, (2)这个命题是真命题. .AD∥BE. 证明：：ABCD, 培优提高 .∠B+∠C=180, 9.(1)∠A+∠C+∠P=360°：(2)∠A+∠C :∠A=∠C, =∠P:(3)∠A+∠P=∠C:(4)∠C+∠P ∴.∠B+∠A=180 =∠A. ∴AD∥BC 理由：(1)过点P作PN∥AB. 基础提升 1.D2.A3.B 4D解析：①如果a>6ah>0,那么。名： 真命题. ,PN∥AB, ∴.∠A+∠APN=180°， 理由：a>6b>0品>品号 "ab 又，ABCD,.PNCD. 11 ②如果ab>0, .∠C+∠CPN=180°， a<方，那么a>b:真命题 .∠A+∠C+∠APN+∠CPN=∠A+∠C 1 Xab,..a>b. +∠P=360°. 理由：ab>0∴×ah< (2)过点P作PN∥AB. 11 ③如果a>b,。<方，那么ab>0:真命题 理由：11 、、南。、三 ab a>b,.b一a<0,..ab>0. 组成真命题的个数为3个 PN∥AB,∠A=∠APN, 故选：D. .AB//CD...PN//CD, 5.C解析：若A进入前三强，那么进入前三 ∴.∠C=∠CPN, 强的有A,B,C,D,E共5人，显然不合题意：同理， .∠A+∠C=∠APN+∠CPN=∠P 当B进人前三强时，也不合题意：所以应从C开始 7.3定义、命题、定理 进人前三强.即进人前三强的是C,D,E. 故选：C 典型例题 6.D解析：①a,b是有理数，若a>b>0,即 例(1)证明：：EFCD(已知)， a>b,则a2>b2一定成立： ·5… ②a,b是有理数，若a>b,且a十b>0,则a,b 9.解：若∠B十∠D=180°，则ABCD,这个 都是正数或a,b异号，且a>b,不论哪种情况， 命题是假命题. 都有a>b1,则a>b2: 若∠B+∠D=180°，添加的条件是BC∥DE, ③a,b是有理数，若a<b<0,两个负数，绝对 则ABCD,是真命题， 值大的反而小，因而有a>b,则a>b: 理由如下：BCDE, ①a,b是有理数，若a<b且a十b<0,则a,b ∴.∠C+∠D=180°， 同是负数，或异号，不论哪种情况，都有a>b1, :∠B+∠D=180°， 则a2>b2 ∠B=∠C, 故真命题的个数是4个 ∴.ABCD. 故选：D, 10.解：(1)“⊕”运算的运算法则： 培优提高 两数进行“⊕”运算时，同号得正，异号得负，再 7.解：(1)，原命题的条件是：“两条直线不相 把绝对值相加， 交”，结论是：“这两条直线平行” 个数与0进行“⊕”运算时，正数与0“⊕”运 ∴.命题“不相交的两条直线是平行线”写成“如 算得它本身，负数与0“⊕”运算得它的相反数.（或 果…那么…”的形式为：“如果两条直线不相 等于这个数的绝对值). 交，那么这两条直线平行” 故答案为：同号得正，异号得负，再把绝对值相 (2),原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结 加：正数与0“⊕”运算得它本身，负数与0“⊕”运算 论是：“这两个角相等” 得它的相反数。 命题“对顶角相等写成“如果…那么…”的 (2)(-3)⊕[2⊕(-4)]=(-3)⊕(-6)=9. 形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相 (3)结合律在有理数的“⊕”运算中不适用. 等” 例如： (3):原命题的条件是：“经过一点”，结论是： [(-3)⊕(-2)]⊕0=+5④0=+5 “有且只有-一条垂线” (-3)⊕[(-2)⊕0]=(-3)⊕2=-5 ·命题“经过一点有且只有一条垂线”写成“如 这时，[(-3)⊕(-2)]⊕0≠(-3)⊕[(-2)⊕ 果…那么…”的形式为：“如果过一点，那么有 0们，所以结合律在有理数的“⊕”运算中不适用. 且只有一条直线与已知直线垂直” 11.解：(1)与∠D相等的角为：∠DCG, (4),原命题的条件是：“所有的直角”，结论 ∠ECF,∠B,∠AME,∠CMH.理由如下： 是：“都相等” AD∥BC, 命题“直角都相等写成“如果…那么…”的 ∴∠D=∠DCG, 形式为：“如果所有的角是直角，那么它们都相等” :∠FCG=90°，∠DCE=90°， 8.解：(1)题设：两个角的和等于直角时，结论： ∠ECF=∠DCG 这两个角互为余角 ∠D=∠ECF, 这个命题是其命题. .AB//DC. (2)题设：两个角是同旁内角，结论：这两个角 ∴∠DCG=∠B, 互补. .∠B=∠D, 这个命题是假命题 :∠FCG=90°，∠AHC=90, 反例：如图中∠1与∠2是同旁内角，∠1十∠2 ∴.∠HCM+∠CMH=90°，∠HCM+∠FCM ≠180°. =90°， ∴·∠CMH=∠FCM, .∠CMH=∠D, :∠AME=∠CMH, ∴∠AME=∠D. ∴.与∠D相等的角为∠DCG,∠ECF,∠B, ∠AME,∠CMH. (2)∠ECF=25°，∠DCE=90°， (2)平行且相等(3)8 .∠FCD=65, 6.60 又，∠BCF=90, 培优提高 .∠BCD=65°+90°-155. 7.(1)如图所示： (3)如图，当点C在线段BH上时，点F在DA 延长线上 (2)ab-b ab-b ab-b (3)ab-b ∠ECF=∠DCG=∠B=25, 8.1)35”(2)(2n+35) AD∥BC,∴∠BAF=∠B=25° 1 如图，当点C在BH延长线上时，点F在线段 (3)变化 (215-2n) AD上. D 9.解：(1)1,5秒时，小正方形向右移动1.5厘 :∠B=25,AD∥BC,∴.∠BAF=180°-25 米，S=2×1.5=3(平方厘米). =155. (2)如图，小正方形的一条对角线扫过的面积 综上所述，∠BAF的度数为25或155. 为图中平行四边形，面积为(21一4)平方厘米。 7.4平移 国 典型例题 (3)S等于2时，重叠部分宽为2÷2=1， 例1B ①如图，小正方形平移距离为1厘米： 例236 变式练习 1.B ②如图，小正方形平移距离为4十1-5（厘米）. 2.140cm 例35n+6 基础提升 故答案为：(1)3：(2)(21-4)：(3)1或5. 1.A2.30°3.10 10.解：(1)如图1. 4.D解析：根据题意，得出此图形可以进行横 向与纵向分析，横向距离等于AB,纵向距离等于 (AD一1)×2，所以小明从出▣A到出口B所走的 路线（图中虚线）长为50+(20-1)×2=88（米）. 图1 故选：D .直线PQMN,∠ADC=30°， 5.(1)画图如下： ∴.∠ADC=∠QAD=30°， .∠PAD=150°， ,AE平分∠PAD, ∴.∠PAE=75, :∠PAC=50°， ∴∠CAE=25, 又由PQMN 可得∠PAC=∠ACN=50°， ·7数学七年级下册 7.3定义、命题、定理 A 典型例题 例 图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比 (1)如图，E℉CD,数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得 ∠BEF=∠CDG,并给出证明过程.小丽添加的条件：∠B+∠BDG=180°. 请你帮小丽将下面的证明过程补充完整， 证明：EFCD(已知)， ∴.∠BEF= ( :∠B+∠BDG=180(已知)， ∴.BC∥ ( ∴.∠CDG= .∠BEF=∠CDG( (2)拓展：如图，请你从三个选项①DG∥BC,②DG平分∠ADC,③∠B=∠BCD中任选 出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明。 条件： ,结论：.（填序号） 证明： 点拨：(1)根据平行线的判定定理和性质定理解答；(2)根据真命题的概念写出命题的条件和结 论，根据平行线的判定定理和性质定理、角平分线的定义解答 变式练习如图，在四边形ABCD中，①AB/CD,②∠A=∠C,③ADBC (1)请你以其中两个为条件，第三个为结论，写出一个命题； (2)判断这个命题是否为真命题，并说明理由. 基础提升 1.下列命题是真命题的是 A.相等的角是对顶角 B.若数a,b满足a2=b2,则a=b C.垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D.垂线段最短 2.有下列命题：①如果x=y|,那么x=y;②如果两个角相等，那么这两个角为内错角；③如果 m>n,那么m2>n2;④如果∠A与∠B互补，那么∠A十∠B=180°.其中真命题有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14 数学七年级下册 3.对于命题“若a2>b2,则a>b.”下面四组关于a,b的值中，能说明这个命题是假命题的是 ( A.a=3,b=2 B.a=-3,b=2 C.a=3,b=-1 D.a=-1,b=3 王用三个不等式a>b,b>0,。<石中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论 组成一个命题，组成真命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.A,B,C,D,E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强.A说：“如果我进入，那么B 也进入.”B说：“如果我进人，那么C也进入.”C说：“如果我进入，那么D也进入.”D说： “如果我进入，那么E也进入.”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是 ) A.A,B,C B.B,C,D C.C,D,E D.D,E,A 6.对于命题“a,b是有理数，若a>b,则a2>b2”,若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是 真命题.给出下列以下四种说法：①a,b是有理数，若a>b>0,则a2>b2;②a,b是有理 数，若a>b,且a十b>0,则a2>b2;③a,b是有理数，若a<b<0,则a2>b2;④a,b是有理 数，若a<b且a十b<0,则a2>b2.其中真命题的个数是 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 培优提高 7.把下列命题改成“如果…那么…”的形式。 (1)不相交的两条直线是平行线， (2)对顶角相等. (3)经过一点有且只有一条垂线， (4)直角都相等. 8.指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题.如果是假命题，举出个 反例 (1)两个角的和等于直角时，这两个角互为余角： (2)同旁内角互补 数学七年级下册 9.如图，若∠B+∠D=180°，则ABCD.这个命题是真命题吗？若不是，请你再添加一个条 件，使该命题成为真命题，并说明理由. 10.探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫作“⊕”运算.按照“⊕”运算的运算法则进行计算 ①(+2)⊕(+3)=+5； ②(-2)⊕(+3)=-5； ③(-2)⊕(-3)=+5； ④(+2)⊕(-3)=-5； ⑤0⊕(+5)=5： ⑥(+4)①0=4： ⑦(-5)⊕0=5： ⑧0⊕(-3)=3. (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“⊕”运算的运算法则. 两数进行“⊕”运算时， 一个数与0进行“⊕”运算时， (2)计算：(-3)⊕[2⊕(-4)]. (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“⊕”运算中还适用吗？请你判断并举例验证 (注：如果不适用，举出一个反例即可) 11.如图，已知ABCD,ADBC,∠DCE=90°，点E在线段AB上，∠FCG=90°，点F在直 线AD上，∠AHG=90° (1)找出图中与∠D相等的角，并说明理由； (2)若∠ECF=25°，求∠BCD的度数； (3)在(2)的条件下，点C(点C不与B,H两点重合)从点B出发，沿射线BG的方向运 动，其他条件不变，求∠BAF的度数.