7.2 平行线(2)-【拓展与培优】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024）

数学七年级下册 7.2平行线(2) 典型例题 例1如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是 () A.42°，138° B.都是10° C.42°，138°或10°，10° D.以上都不对 点拔：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.设一个角为x度，则另一个角 为(4x一30)度.依据上面的性质得4x一30=x或4x一30十x=180,求解方程可以得出答案. 变式练习如图，已知EFBC,EH∥AC,则图中与∠1互补的角有 () H A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 例2如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C落在点C处，点D落在点D'处，ED' 交BC于点G.已知∠EFG=50°，试求∠DEG与∠BGD'的度数 点拨：由AD∥BC求出∠DEF的度数，再根据折叠图形的性质得出∠DEG的度数，从而求出 ∠AEG的度数，又因为AD∥BC,所以容易得出∠BGD'的度数. 例3如图是一探照灯灯碗的纵剖面，从点O的灯泡处发出的两束光线OB,O℃，经灯碗反射 以后平行射出.若∠ABO=a,∠DCO=3,则∠BOC的度数为 ( A.180°-a-3 B.a十B C. D.90°+(8-a) 点拨：本题考查了平行线的性质，先作OE∥AB,根据CD∥AB,得到OECD是解题的关键， 数学七年级下册 变式练习 1.如图，直线ABEF,点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD= 95°，∠CDE=25°，则∠DEF的度数是 ) A C A.110 B.115 C.120 D.125 2.如图，已知ABEF,∠C=90°，则a,3与y的关系是 A B E 基础提升 1.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为 309 45 A.45 B.60 C.75 D.85 2.如图，直线a%,直线c分别交a,b于点A,C,∠BAC的平分线交直线b于点D,若∠1= 50°，则∠2的度数是 () A.50 B.70° C.80° D.110 北 北 9 第2题 第4题 3.一学员练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的路线与原来的路线平行，这两次拐弯角度不可能 是 () A.第一次向左拐40°，第二次向右拐40°B.第一次向右拐40°，第二次向左拐140° C.第一次向右拐40°，第二次向右拐140°D.第一次向左拐40°，第二次向左拐140 4.如图，甲、乙两岸之间要架一座桥梁，从甲岸测得桥梁的走向是北偏东50°，如果甲、乙两岸 同时开工.要使桥梁准确连接，那么在乙岸施工时，应按β为 度的方向动工. 12 数学七年级下册 5.如图，ABCD,E为AB上一点，且EF⊥CD,垂足为F,∠CED=90°，CE平分∠AEG,且 ∠CGE=a.有下列结论：①∠EDG=a:②∠CEB=2a:③∠CEF=90”-号：④∠FED+ ∠DCE=180°-a.其中正确的有 .(填序号) 第5题 第6题 6.如图，点A,C,F,B在同一直线上，CD平分∠ECB,FGCD.若∠ECA为a度，则∠GFB 为 度（用关于a的代数式表示） 7.如图，CD⊥AB于点D,点F是BC上任意一点，FE⊥AB于点E,且∠1=∠2，∠3=80°， 求∠BCA的度数. 8.如图，ABCD,∠1=∠2，∠3=∠4.求证：ADBE. 培优提高 9.探索发现. 如图，已知ABCD,分别写出下列四个图形中∠P与∠A,∠C的关系，请你从所得的四 个关系中任选两个加以说明.∠BED=∠EFD+∠D, 例3B .∠B=∠EFD, 变式练习 ..AB//CD: 1.C2.a+B-y=90° (2)∠1=∠2+∠3. 基础提升 理由如下：如图2，延长BA交CE于F, 1.C解析：如图. E 72 图2 :∠4=45°，∠3=60°， ,'ABCD(已知)， .∠2=180°-60°-45°=75， ,∠3=∠EFA(两直线平行，同位角相等)， .AB//CD, :∠1=∠2+∠EFA, .∠1=∠2=75 .∠1=∠2+∠3. 故选：C 10.解：(1)AD∥BC, 2.C3.B4.130 .∠DAB=∠ABC=45°， 5.①④解析：，∠CGE=a,AB/CD .∠BAE=∠DAE-∠DAB=60°-45 ∴·∠CGE=∠GEB=a,∠EDG=∠DEB, =15°， .∠AEG=180°-a, .∠CAE=∠BAC-∠BAE=90°-15 :CE平分∠AEG, =75°： ZABC=∠CBG=2∠ABG=90-a, 故答案为：75 (2)MN//PQ. ,∠CED=90°， ∴∠AEC+∠DEB=90, 理由如下： ∠MAB=35°，∠BAC=90°， ∴∠DEB-2a-2∠GEB, 11 ∴.∠MAC=35°+90°=125°， 即DE平分∠GEB, :∠PCB=10°，∠ACB=45°， ∴∠CEB≠2a, .∠ACP=10°+45°=55°， 故①正确，②错误； .∠MAC+∠ACP=125°+55°=180°， .EF⊥CD,ABCD, ∴.MNPQ. ∠AEF=90°，∠CGE=∠BEG=a, (3)∠PAB-∠MCA=90° ∴.∠AEG=180°-∠BEG=180°-a, 理由如下： :CE平分∠AEG MN//PQ, .∠MCA=∠CAQ, ZCEA-2∠ABG=90- ,∠BAC=90°， 又∠CEA=∠ECF, .∠CAQ+∠BAQ=90°， ∴.∠MCA+∠BAQ=90°， ∴∠CEF=90°-∠BCF=2, 又，∠PAB+∠BAQ=180°， 故③错误； ∴.∠PAB-∠MCA=90 ·∠GED=∠GEB-∠DEB= 2a, 7.2平行线(2) .∠CEF=∠GED, 典型例题 :ZFED=S0-∠BED=90-2,∠BBC 例1C 变式练习A =180-∠ABC=90+2, 例2∠DEG=100°，∠BGD'=80 :∠FGE=a, 。4▣ ∴.∠FED+∠DCE+∠FGE=180°， ∴.∠BEF=∠BCD(两直线平行，同位角相 .∠FED+∠DCE=180°-a, 等)， 故④正确： ,∠B+∠BDG=180°（已知）， 综上所述，正确的有①④. ∴BCDG(同旁内角互补，两直线平行)， 故答案为：①④. ∴∠CDG=∠BCD(两直线平行，内错角相 6.90-号 7.80 等)， ∴·∠BEF=∠CDG(等量代换). 8..AB//CD, (2)条件：①③结论：② ∴.∠4=∠BAF, 证明：：DG∥BC, 又：∠BAF=∠CAF+∠1，∠1=∠2， ∴·∠ADG=∠B,∠CDG=∠BCD, .∠BAF=∠CAF+∠2. :∠B=∠BCD, 又，∠CAF+∠2=∠CAD, ∴.∠ADG=∠CDG,即DG平分∠ADC. .∠BAF=∠CAD,·∠4=∠CAD. 变式练习解：(1)如果ABCD,∠A=∠C,那么 又，∠3=∠4， AD∥BC. .∠3=∠CAD, (2)这个命题是真命题， ..AD//BE. 证明：ABCD, 培优提高 ∠B+∠C=180°， 9.(1)∠A+∠C+∠P=360°；(2)∠A+∠C :∠A=∠C, =∠P;(3)∠A+∠P=∠C;(4)∠C+∠P .∠B+∠A=180 =∠A. ∴ADBC. 理由：(1)过点P作PN∥AB 基础提升 1.D2.A3.B 4D解析：@如果。>b6ab>0,那么}<名 真命题。 ,PN∥AB, .∠A+∠APN=180°， 理：>66>0品品←名 a b 又，ABCD,.PNCD, .∠C+∠CPN=180°， ②如果ab>0,右那么>b:真命题 ∴·∠A+∠C+∠APN+∠CPN=∠A+∠C 1 -Xab,..a>b. +∠P=360° 理由：“ab>0,。×ab< a (2)过点P作PN∥AB. ,1<1 ③如果a>b,a<右，那么ab>0:真命题. 理由：1<1 三、之-—⊙甲22二· ab a>b,∴.b-a<0,.ab>0. 组成真命题的个数为3个 PN∥AB,∠A=∠APN, 故选：D. ABCD,∴.PNCD, 5.C解析：若A进人前三强，那么进人前三 ∴.∠C=∠CPN, 强的有A,B,C,D,E共5人，显然不合题意；同理， ∴.∠A+∠C=∠APN+∠CPN=∠P 当B进人前三强时，也不合题意：所以应从C开始 7.3定义、命题、定理 进入前三强.即进人前三强的是C,D,E. 故选：C 典型例题 6.D解析：①a,b是有理数，若a>b>0,即I 例(1)证明：EFCD(已知)， a>bl,则a2>b2一定成立： ·5·