7.2 平行线(1)-【拓展与培优】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024）

故答案为：2,4： -∠GEH, (2)图2中共有6对对顶角，12对邻补角，故答 ∴.180°-∠N-∠M-∠GEH=∠M+ 案为：6,12 2∠GEH,即2∠M+∠N=180°-3∠GEH. (3)图3中共有12对对顶角，24对邻补角，故 ,2∠M+∠N=105, 答案为：12,24： ∴.180°-3∠GEH=105°， (4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数 ∴.∠GEH=25. 之间的关系为：若有”条直线相交于一点，则可形 :∠AEN=∠GEH, 成n(n一1)对对顶角.2(n一1)对邻补角，故答案 ∴.∠AEN=25. 为：n(n-1),2n(n-1): 故选：D. (5)若100条直线相交于一点，则可形成9900 变式练习C 对对顶角，19800对邻补角. 例2C解析：由题意可知ABOF. 培优提高 9.D 10.解：(1)直线11，l2被直线13所截，形成2 对同旁内角，故答案为：2： .∠1+∠OFB-180° (2)平面内三条直线1，l2l:两两相交，最多形 ∠1=x° 成6对同旁内角，即3×2=6，故答案为：6： ∠OFB=180°-x°. (3)平面内四条直线两两相交，最多形成了24 ,∠2=∠POF 对同旁内角，即4×3×2=24，故答案为：24： .∠3=∠POF+∠OFB=(180-x+y)°， (4)平面内n条直线两两相交，最多可以形成 故选：C n(n一1)(n一2)对同旁内角，故答案为：n(n一1)(n 变式练习不平行平行 例3(1)证明：，CF平分∠DCE, -2). 1L.(1)20°(2)∠ECD=lal ∠1=∠2-∠DCE, 2 :∠DCE=90°， 7.2平行线(1) .∠1=45， :∠3=45， 典型例题 .∠1=∠3， 例1D解析：令AB与MF的交点为H, ∴.ABCF: (2):∠D=30°.∠1=45°， .∠DFC=105° 基础提升 1.D解析：由折叠可得：∠GEF=∠1=20°， ,AD∥BC ∴.FHEG. ,AB/CD,∴∠MHB=∠HFD. ∴.∠GEF+∠EFH=180°， :FM平分∠DFN,EG平分∠MEB, ∴.∠EFH=160°， .∠HFD=∠NFH,∠MEG=∠GEH. 又：∠MHB=∠M+∠MEH, ∠EFS=∠EFH=80, .∠HFD=∠M+2∠GEH. .AD//BC. :∠N+∠NFH+∠NGF=180,且∠NGF ∴.∠EFB=∠1=20°， =∠M+∠MEG. ∴.∠2=∠EFS-∠EFB=60 ∴.∠NFH=180°-∠N-(∠M+∠MEG)= 故选：D 180°-∠N-∠M-∠MEG=180°-∠N-∠M 2.D解析：设∠EAD'=a,∠FAB'=B, ·2. 根据折叠可知：∠DAF=∠D'AF,∠BAE= 得：t=1. ∠B'AE, 如图. ∠B'AD'=16 D ,∠DAF=16°+B,∠BAE=16+a, ,四边形ABCD是正方形， 令 .∠DAB=90°， 此时∠NAC+∠QBD=180°.，即15t-180+ .16°+3+3+16°+16°+a+a=90°， 5(2+t)=180. ∴.a十3=21°， 解得：1=17.5， ∴.∠EAF=∠B'AD'+∠D'AE+∠FAB'= 综上，当B灯光束第一次到达BP之前，两灯 16°+a十3=16°+21°=37°.则∠EAF的度数 的光束互相平行时A灯旋转的时间是1秒或 为37. 17.5秒. 故选：D 故选：D 3.B解析：设∠FBE=∠FEB=a,则∠AFE 5.C6.120 =2a, 7.解：如图，过点A作AG∥MN,过点B作 BH//CD. ∠FEH的角平分线为EG,设∠GEH= 方 .CD//MN. ∠GEF=B, .AD//BC. ..AG//MN //BH//CD, .∠ABC+∠BAD=180°， .OAMN. .AG⊥OA,即∠OAG=90°， 而∠D=∠ABC, .∠D+∠BAD=180°， ,∠BA0=158°， ..AB//CD. ∴.∠BAG=∠BAO-∠OAG=68°， :∠DEH=100°，.∠CEH=∠FAE=80°， ∴.∠ABH=∠BAG=68, ∴.∠AEF=180°-∠FEG-∠HEG=180 ,CE∥AB,BHCD, 23. ∴.∠ABC+∠BCE=180°=∠CBH 在△AEF中，80°+2a十180°-23=180°，故3 +∠BCD. a=40°， .∠ABH+∠CBH+∠BCE=180°= ∴.∠BEG=∠FEG-∠FEB=B-a=40° ∠CBH+∠BCE+∠DCE, 故选：B. ∴∠DCE=∠ABH=68 4.D解析：设A灯旋转时间为t秒，B灯光 8.已知∠3∠4等角的余角相等内错 束第一次到达BP要180°÷5°=36s 角相等，两直线平行 .1≤36-2=34s, 培优提高 由题意，满足以下条件时，两灯的光束互相平 9.解：(1)ABCD 行，如图. 理由：如图1，延长BE交CD于F 图1 ∠MAC=∠DBQ,即15=5(t+2),解 .∠BED=∠B+∠D 3· ∠BED=∠EFD+∠D, 例3B ∴∠B=∠EFD, 变式练习 ..AB//CD: 1.C2.a+3-y=90° (2)∠1=∠2+∠3. 基础提升 理由如下：如图2，延长BA交CE于F, 1.C解析：如图， E 30 人45 2 图2 :∠4=45°，∠3=60°， ,ABCD(已知). .∠2=180°-60°-45°=75°， .∠3=∠EFA(两直线平行，同位角相等)， .AB//CD ,∠1=∠2+∠EFA, .∠1=∠2=75° ∴.∠1=∠2+∠3. 故选：C 10.解：(1)AD∥BC, 2.C3.B4.130 .∠DAB=∠ABC=45, 5.①④解析：：∠CGE=a,ABCD. .∠BAE=∠DAE-∠DAB=60°-45 ∴.∠CGE=∠GEB=a·∠EDG=∠DEB, =15°， .∠AEG=180°-a, .∠CAE=∠BAC-∠BAE=90°-15 :CE平分∠AEG, =75°： ·∠AEC=∠CEG= 2∠ABG=90-2a. 故答案为：75 (2)MN∥PQ :∠CED=90, 理由如下： '.∠AEC+∠DEB=90°， 11 ∠MAB=35,∠BAC=90°， ∴∠DEB=2a=2∠GEB, .∠MAC=35°+90°=125°， 即DE平分∠GEB, ∠PCB=10°，∠ACB=45, ∴∠CEB≠2a, .∠ACP=10°+45=55°， 故①正确，②错误 ∴.∠MAC+∠ACP=125+55=180, ,EF⊥CD,ABCD, :.MN//PQ. ∴∠AEF=90°，∠CGE=∠BEG=a, (3)∠PAB-∠MCA=90° ∴.∠AEG=180°-∠BEG=180°-a, 理由如下： :CE平分∠AEG .MN//PQ, .∠MCA=∠CAQ. ∠CEA=3∠ABG=90-号 ∠BAC=90°， 又，∠CEA=∠ECF, .∠CAQ+∠BAQ=90°. .∠MCA+∠BAQ=90, ∠CEF=90-∠ECF=号 又.∠PAB+∠BAQ=180°， 故③错误： .∠PAB-∠MCA=90. ·∠GED=∠GEB-∠DEB= 2a 7.2平行线(2) .∠CEF=∠GED, 典型例题 '∠FED=90°-∠BED=90°- 2a,∠BEC 例1C 变式练习A =180-∠ABC=90+7, 例2∠DEG=100°，∠BGD'=80 ,∠FGE=a, 。4·数学_七年级下册 7.2平行线(1) 典型例题 例1如图，直线ABCD,点E在直线AB上，点F在直线CD上，N为AB,CD之间一点， 连接VE并延长，交∠DFN的角平分线于点G,且EG平分∠MEB,当2∠M+∠N=105° 时，则∠AEN的度数为 () D A.15 B.21° C.24 D.259 点拨：根据平行线的性质得出∠M,∠N,∠GEB之间的关系，再结合2∠M十∠V=105°求出 ∠GEB的度数，最后根据对顶角相等即可解决问题， 变式练习如图，下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠3+∠4=180°：④∠1十∠2=180°： ⑤∠1十∠2=90°；⑥∠3+∠4=90°；⑦∠1=∠4.能判断直线l1∥L2的条件有 () A.②④① B.①②⑦ C.③④ D.②③⑥ 例2如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线 相交于点P,点F为焦点.若∠1=x°，∠2=y°，则∠3的度数为 () A.(x-y) B.(180-x-y)° C.(180-x+y)° D.(x+y-90) 点拔：由平行线的性质可表示出∠OFB=180°一x°，结合对顶角相等可表示出∠2=∠POF, 再利用外角的性质可求得∠3的度数. 变式练习一次数学活动中，检验两条纸带①②的边线是否平行，小明和小丽分别采用两种不 同的方法：小明对纸带①沿AB折叠，量得∠1=∠2=50°：小丽对纸带②沿GH折叠，发现 6 数学七年级下册 GD与GC重合，HF与HE重合.则纸带①的边线 ,纸带②的边线 例3将一副三角板拼成如图1所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F(如图2 所示). (1)求证：CF∥AB: (2)求∠DF℃的度数. D 图1 图2 点拨：(1)根据角平分线的性质可得∠1=45°，由∠3=45°，可得∠1=∠3，再根据内错角相等， 两直线平行可判定出ABCF:(2)利用三角形内角和定理进行计算即可， 基础提升 1.如图1，已知长方形纸带ABCD,ABCD,AD∥BC,∠C=90°，点E,F分别在边AD,BC 上，∠1=20°.如图2，将纸带先沿直线EF折叠后，点C,D分别落在H,G的位置.如图3， 将纸带再沿FS折叠一次，使点H落在线段EF上点M的位置，那么∠2的度数为() 图1 图2 图3 A.45 B.50° C.55° D.60° 医 数学七年级下册 2.将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE,AF为折痕，点B,D折叠后的对应 点分别为B',D'.若∠B'AD'=16,则∠EAF的度数为 ( D A.40 B.45 C.56 D.37 3.如图，AD∥BC,∠D=∠ABC,点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H.点 F是边AB上一点，使得∠FBE=∠FEB,作∠FEH的角平分线EG交BH于点G.若 ∠DEH=100°，则∠BEG的度数为 () A.30° B.40° C.50° D.60° 4.为打造生态湿地滨水景观，园林绿化局在永定河两岸笔直且互相平行的景观道MN,PQ 上分别放置A,B两盏激光灯.如图，A灯发出的光束AC自AM逆时针旋转至AN便立即 回转，B灯发出的光束BD自BQ逆时针旋转至BP便立即回转，两灯不间断照射，A灯每 秒转动15°，B灯每秒转动5°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动.当B灯光束第一次到达 BP之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是 () A.3或21秒 B.3或19.5秒 C.1或19秒 D.1或17.5秒 5.以下三种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边a,b互相平行的是 ( 2 B B 图1 图2 图3 A.如图1，展开后，测得∠1=∠2 B.如图2，展开后，测得∠1=∠2，且∠3=∠4 8 数学七年级下册 C.如图3，测得∠1=∠2 D.如图3，测得∠2=∠3 6.如图是中国机器人创意设计大赛中一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径：机器人从 点A出发，到达点B,第一次拐的∠B是140°，第二次拐的∠C是100°，第三次拐的角是 ∠D,要使这时的机器人行走的路径恰好和出发时行走的路径平行，∠D的度数是 E D 7.如图是一盏可调节台灯及其示意图.固定支撑杆AO垂直于底座MN于点O,AB与BC是 分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中， 最外侧光线CD,CE组成的∠DCE始终保持不变.现调节台灯，使外侧光线CDMN,CE ∥BA,若∠BAO=158°，求∠DCE的度数. 图1 图2 8.推理填空， 已知：如图，AB⊥BC于点B,CD⊥BC于点C,∠1=∠2.求证：BECF. 4 2 证明：，AB⊥BC,CD⊥BC(已知)， .∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°， .∠1与∠3互余，∠2与∠4互余 又.∠1=∠2( .BE//CF( 9 数学_七年级下册 培优提高 9.(1)如图1，若∠B十∠D=∠BED,试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由： (2)如图2，要想得到ABCD,则∠1，∠2，∠3之间应满足怎样的数量关系，试说明理由. 图2 10.【问题背景】 在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》. 图】 图2 图3 【实践操作】 (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板ADE的直角顶点E落在BC 上.已知∠DAE=60°，∠B=∠C=45°，且AD∥BC,则∠CAE的度数为 (2)如图2，小红将一个三角板ABC放在一组直线MN与PQ之间（其中∠B=∠ACB 45),并使直角顶点A在直线MN上，顶点C在直线PQ上，现测得∠MAB=35°， ∠PCB=10°，请判断直线MN与PQ是否平行，并说明理由； (3)现将三角板ABC按图3方式摆放（其中∠B=∠ACB=45),使顶点C在直线MN 上，直角顶点A在直线PQ上，若MN∥PQ,请写出∠PAB与∠MCA之间的关系式， 并说明理由。 10