精品解析：辽宁省葫芦岛市2024—2025学年上学期九年级期末考试数学试卷

葫芦岛市义务教育阶段2024—2025学年度 第一学期期末学业水平测试 九年级数学试卷 （本试卷共23小题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 参考公式：抛物线（）顶点坐标为 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题；每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列汽车标志中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的顶点坐标为 B. 抛物线可由经过平移得到 C. 抛物线与轴有两个交点 D. 当时，随的增大而增大 4. 有7张除数字外都相同的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，7．随机抽取1张，取出的数字是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 关于的方程实数根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D. 无法判断 7. 如图，我市龙湾公园内有一座圆弧形拱桥，桥顶到水面的距离为，它的跨度也为，则桥拱半径为（ ） A. B. C. D. 8. 充满气体的气球能够用脚踩爆，这里涉及气体压强与体积的关系．在温度恒定的情况下，气体的压强与气体体积是反比例函数关系，其图象如图所示．则下列说法中错误的是（ ） A. 这个反比例函数解析式为 B. 当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的增大而减小 C. 若压强由减压到，则气体体积增加了 D. 若气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应小于 9. 如图，在中，，，，将绕点旋转得到，当点恰好落在直线上时，的长为（ ） A. B. C. D. 6 10. 如图，二次函数（）图像过点，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③若，是抛物线上的两点，当时，；④若方程的两根为，，且，则．其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若一元二次方程的一个根是，则的值为________． 12. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为______． 13. 如图，抛物线与轴相交于点，点，与轴相交于点，点在抛物线上，当轴时，______． 14. 如图，，分别与相切于，两点，点为上异于，的一点，连接，，若，则的度数为______． 15. 如图，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接，将绕点按顺时针方向旋转（），点，的对应点分别为点，，直线与交于点，当与的一边平行时，的长为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点均在格点（网格线的交点）上，建立平面直角坐标系后，点的坐标为． （1）画出，使与关于原点成中心对称，并写出点坐标； （2）将绕点逆时针旋转90°，得到， ①画出，并写出点的坐标： ②在旋转到的过程中，线段扫过的面积是_____． 18. 美术课上，小明和小亮用质地均匀的材料做了两个可以自由转动的转盘，用来做“配紫色”游戏：每个转盘都被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．游戏者同时转动两个转盘，如果转盘指针指向红色，转盘指针指向蓝色，或者转盘指针指向蓝色，转盘指针指向红色，那么红色和蓝色涂在一起就可以配成紫色，如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个颜色为止． （1）利用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果； （2）游戏规定若配成紫色，则小明胜，否则小亮胜；请问这个游戏对双方公平吗？说明理由． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象相交于，两点，过点作轴，过点作轴，与相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若直线与轴相交于点，点是反比例函数（）上一点，连接，，若的面积等于的面积，求点的坐标． 20. 近年来，用“短视频＋直播”推广家乡农副产品的方式日益引发关注，成为推动农业和乡村发展的新引擎：资料显示，2022年有近100万网友分享了助农短视频，到2024年分享助农短视频的人数已经达到121万． （1）求短视频分享人数的年平均增长率； （2）某短视频平台的“新农人”通过平台销售家乡特产“薄皮核桃”，据了解，每斤核桃进价是8元，每斤核桃的利润中需拿出2元做为平台管理费，若销量（斤）与每斤售价（元）满足函数关系，设直播收益为（元），当每斤售价定为多少元时，每天的直播收益最大？最大收益为多少元？（直播收益＝销售利润－平台管理费） 21. 如图，是的内接三角形，是的直径，点在上，连接并延长，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 22. 数学活动课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探究图形变化中的数学问题．和均为等腰直角三角形纸板，，先将其如图1摆放，再将绕点逆时针方向旋转（），观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 （1）问题1：如图2，连接，，观察旋转过程，发现线段与始终存在相等的数量关系，请说明理由： 【深入探究】 （2）问题2：结合问题1解决下面的问题． 如图3，延长交直线于点，交于点，取线段的中点，连接，，求证：； 【尝试应用】 （3）问题3：如图4，延长交直线于点，连接，若，，当时，求线段长． 23. 我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同两点，，如果满足，那么称，两点互为“等差点”． （1）在点，，中，与点互为“等差点”的是______； （2）已知点在双曲线（）上存在唯一等差点，求出的值； （3）如图1，抛物线的顶点与点是等差点，且与轴交于，两点，与轴交于点． ①点位于轴下方的抛物线上，设点的横坐标是，过点作直线轴，垂足为点，交直线于点．当，，三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长； ②抛物线（）图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有点的两个“等差点”，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 葫芦岛市义务教育阶段2024—2025学年度 第一学期期末学业水平测试 九年级数学试卷 （本试卷共23小题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 参考公式：抛物线（）顶点坐标为 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题；每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 是关于的一元二次方程，故符合题意； B．是分式方程，故不符合题意； C．的最高次数是3，故不符合题意； D．含有2个未知数，故不符合题意． 故选A． 2. 下列汽车标志中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，轴对称图形的识别．熟知中心对称图形与轴对称图形的概念是解答此题的关键．根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B.是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：B． 3. 关于抛物线，下列结论正确是（ ） A. 抛物线的顶点坐标为 B. 抛物线可由经过平移得到 C. 抛物线与轴有两个交点 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点判断作答即可． 【详解】解：A、抛物线的顶点坐标为，原结论错误，故此选项不符合题意； B、抛物线可由经过平移得到，原结论错误，故此选项不符合题意； C、∵，， ∴抛物线与轴有两个交点，原说法正确，故此选项符合题意； D、当时，随的增大而减小，原结论错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 有7张除数字外都相同的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，7．随机抽取1张，取出的数字是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是概率：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率 ．从中随机抽取一张，共有7种等可能的结果，其中数字是偶数的共3种，即可确定其概率． 【详解】解：∵7个数字中有3个偶数， ∴正面的数字是偶数的概率为 故答案为： 5. 如图，是直径，点，在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据题意得到，再根据圆周角定理得到，计算即可得到答案 ． 【详解】解：是的直径，， ， ， ， 故选：B ． 6. 关于的方程实数根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程，利用根的判别式判断即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 7. 如图，我市龙湾公园内有一座圆弧形拱桥，桥顶到水面的距离为，它的跨度也为，则桥拱半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理以及勾股定理解题的关键．连接，由垂径定理求出，设桥拱半径为r，根据勾股定理即可求出r， 【详解】解：连接， ∵， ∴， 设桥拱半径为r，则， 在中，， 即， 解得：， 故选：B． 8. 充满气体的气球能够用脚踩爆，这里涉及气体压强与体积的关系．在温度恒定的情况下，气体的压强与气体体积是反比例函数关系，其图象如图所示．则下列说法中错误的是（ ） A. 这个反比例函数解析式为 B. 当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的增大而减小 C. 若压强由减压到，则气体体积增加了 D. 若气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应小于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．根据题意可知P与V的函数的表达式为，利用待定系数法即可求得函数解析式可判断A；根据图象可判断B；求出压强为和时的函数值可判断C；求出压强为时的函数值，结合反比例函数的性质可判断D． 【详解】解：A．设P与V的函数关系式为：， 则， 解得， ∴函数关系式为，故A正确； B．由图象可知，当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的增大而减小，故B正确； C．将代入得，将代入得，，故C正确； D．将代入得， ∵当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的减小而增大，球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应大于，故D不正确． 故选D． 9. 如图，在中，，，，将绕点旋转得到，当点恰好落在直线上时，的长为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质以及特殊锐角三角函数的应用，由题意得，在中，利用特殊锐角三角函数得出和，进一步即可得出． 【详解】解：绕点旋转得到， ， ， ， , 又， 在中， ， ， ， ， ． 故选：D． 10. 如图，二次函数（）的图像过点，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③若，是抛物线上的两点，当时，；④若方程的两根为，，且，则．其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像和性质的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图像和性质，属于基础题． 根据二次函数的图像与性质,由图像可知：，， ，可判断①正确；由抛物线的对称轴为直线，得，当时，，可判断②错误；由抛物线的对称性可知：，可知当时，，可判断③正确；由图像过点，对称轴为直线，得抛物线与x轴的另外一个交点坐标为，得，方程的两根为，，得 ，可判断④正确，即可求得答案． 【详解】解：①由图像可知：，，， ， ，故①正确； ②抛物线的对称轴为直线， ， ， 当时，， ， ，故②错误； ③，是抛物线上的两点，由抛物线的对称性可知：， 当时，，故③正确； ④图像过点，对称轴为直线，抛物线与x轴的另外一个交点坐标为， ， 若方程的两根为，，且， 则，为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ， ，故④正确． 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若一元二次方程的一个根是，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根．根据一元二次方程的一个根是，把代入方程可得关于的一元一次方程，解方程求出的值． 【详解】解：一元二次方程的一个根是， ， 解得： 故答案为： ． 12. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，比较简单，要知道，反比例函数图象上的点的坐标符合函数解析式． 将A，B和分别代入反比例函数，求出，、的值，解答即可． 【详解】解：根据题意可得：，，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，抛物线与轴相交于点，点，与轴相交于点，点在抛物线上，当轴时，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴是解题的关键． 根据题意得出抛物线的对称轴为直线，根据抛物线与轴相交于点，轴，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与轴相交于点，点， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴相交于点， ， 轴，点在抛物线上， ， ， 故答案为： ． 14. 如图，，分别与相切于，两点，点为上异于，的一点，连接，，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，在所对的弧上取点D，连接，根据切线的性质，四边形的内角和，求出的度数，再根据圆周角定理，求出的度数即可． 【详解】解：连接，在所对的弧上取点D，连接， ∵，分别与相切于，两点， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，多边形内角和，正确作出辅助线是解答本题的关键． 15. 如图，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接，将绕点按顺时针方向旋转（），点，的对应点分别为点，，直线与交于点，当与的一边平行时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意可知当与的一边平行时分两种情况讨论：当时，当时，分别求出线段的长即可． 【详解】解：在中， ，，， ∴，由勾股定理得：， 为的中位线， ，，， 分两种情况讨论： 当时，如图所示，设与交于点， ， ， ，， 由旋转得，，， ，， ，， ，， ， ； 当时，如图所示，设与交于点， ， ，， ， 由旋转得，，， ， 则，即， 此时， ，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 故答案为或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形性质，中位线的性质定理，等腰三角形的性质，平行线的判定，矩形的判定与性质，注意分类讨论；熟练掌握这些知识是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）整理方程得到，再用直接开平方法解方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或 ，； 【小问2详解】 解：，， ，． 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点均在格点（网格线的交点）上，建立平面直角坐标系后，点的坐标为． （1）画出，使与关于原点成中心对称，并写出点的坐标； （2）将绕点逆时针旋转90°，得到， ①画出，并写出点的坐标： ②在旋转到的过程中，线段扫过的面积是_____． 【答案】（1）图见解析， （2）①见解析，；② 【解析】 【分析】本题考查作图——旋转变换，中心对称．熟练掌握旋转的性质，中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可得出答案． （2）①根据旋转的性质作图结合即可得出答案．②利用旋转的性质分别得出对应点位置，进而得出图形．再利用扇形面积求法得出即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：①如图所示，即为所求； ②， 线段在旋转过程中扫过的面积， 故答案为：． 18. 美术课上，小明和小亮用质地均匀的材料做了两个可以自由转动的转盘，用来做“配紫色”游戏：每个转盘都被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．游戏者同时转动两个转盘，如果转盘指针指向红色，转盘指针指向蓝色，或者转盘指针指向蓝色，转盘指针指向红色，那么红色和蓝色涂在一起就可以配成紫色，如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个颜色为止． （1）利用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果； （2）游戏规定若配成紫色，则小明胜，否则小亮胜；请问这个游戏对双方公平吗？说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）不公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据列表法计算结果种数即可． （2）利用列表法解答即可． 本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，列表如下： 红1 蓝1 红2 黄1 红3 （红1，红3） （蓝1，红3） （红2，红3） （黄1，红3） 蓝2 （红1，蓝2） （蓝1，蓝2） （红2，蓝2） （黄1，蓝2） 黄2 （红1，黄2） （蓝1，黄2） （红2，黄2） （黄1，黄2） 【小问2详解】 解：根据上述表格可得，共有12种等可能结果，其中可配成紫色的结果有3种， 分别为（红1，蓝2），（红2，蓝2），（蓝1，红3）， ， 则； ， 即不能配成紫色的可能性大一些 此游戏对双方不公平． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象相交于，两点，过点作轴，过点作轴，与相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若直线与轴相交于点，点是反比例函数（）上一点，连接，，若的面积等于的面积，求点的坐标． 【答案】（1），（） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合知识点，解题的关键是熟练运用待定系数法求出函数解析式，以及利用三角形面积公式建立等式求解点的坐标． （1）已知反比例函数图象过点，将点坐标代入反比例函数中，可求出的值，进而得到反比例函数解析式．再把点代入已求出的反比例函数解析式，求出点坐标．最后将，两点坐标代入一次函数，通过解方程组得到一次函数的k，b的值，从而确定一次函数解析式． （2）先求出直线与轴交点的坐标，再根据已知条件求出点坐标为．设点坐标为，利用三角形面积公式，根据的面积等于的面积列出方程，求解得出点坐标． 【小问1详解】 反比例函数（）经过点， 将点代入中得，， 反比例函数解析式为（）， 的图象经过点， ，点坐标为， 将，两点代入中得， 解得， 一次函数解析式为 【小问2详解】 对于函数，令，得， 解得， ， ，，轴，轴， 点坐标为， ，，， ， 点是反比例函数（）上一点， 可设点坐标为， ， 解得， 点坐标为． 20. 近年来，用“短视频＋直播”推广家乡农副产品的方式日益引发关注，成为推动农业和乡村发展的新引擎：资料显示，2022年有近100万网友分享了助农短视频，到2024年分享助农短视频的人数已经达到121万． （1）求短视频分享人数的年平均增长率； （2）某短视频平台的“新农人”通过平台销售家乡特产“薄皮核桃”，据了解，每斤核桃进价是8元，每斤核桃的利润中需拿出2元做为平台管理费，若销量（斤）与每斤售价（元）满足函数关系，设直播收益为（元），当每斤售价定为多少元时，每天的直播收益最大？最大收益为多少元？（直播收益＝销售利润－平台管理费） 【答案】（1）10% （2）当售价为15元时，每天的收益最大；最大收益为1250元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解题的关键． （1）设年增长率为，根据题意列出方程，解方程即可； （2）根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质求出二次函数的最值即可． 【小问1详解】 解：设短视频分享人数的年平均增长率为， 根据题意得：， 解得，，（不合题意，舍去）． 答：短视频分享人数的年平均增长率为10%． 【小问2详解】 解：根据题意可得 ， 抛物线开口向下，有最高点，有最大值， 即当时，． 答：当售价为15元时，每天的收益最大；最大收益为1250元 21. 如图，是的内接三角形，是的直径，点在上，连接并延长，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，求长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定和性质，切线的判定定理，勾股定理与弧长公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，进而得到，即可得到，可得出是的切线； （2）由题意得，根据圆周角定理得到，继而得到，根据勾股定理得出的半径，利用弧长公式计算即可得到答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ，， ， ， ； ， ， ， ； 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：， ； 设， ； 由（1）可知， ， 即， 解得：， ，； 设圆的半径为，则， 在中，， ， ， 即， 解得：， 的长为． 22. 数学活动课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探究图形变化中的数学问题．和均为等腰直角三角形纸板，，先将其如图1摆放，再将绕点逆时针方向旋转（），观察图形的变化，完成探究活动． 初步探究】 （1）问题1：如图2，连接，，观察旋转过程，发现线段与始终存在相等的数量关系，请说明理由： 【深入探究】 （2）问题2：结合问题1解决下面的问题． 如图3，延长交直线于点，交于点，取线段的中点，连接，，求证：； 【尝试应用】 （3）问题3：如图4，延长交直线于点，连接，若，，当时，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由图形旋转可得，，，，进而证明即可； （2）由（1）得到，再利用三角形内角和证明，再利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质得到，，则有； （3）过点作于，取中点，连接，，由勾股定理得到，进而得到，在中，求出，，由，得到，则为的垂直平分线，则有，由题意推出，则，再证明，最后证明为等边三角形，则． 【详解】（1）证明：和为等腰直角三角形， ， ， （2）解：由（1）过程得 交于点， 在和中，为中点 ，， （3）证明：过点作于，取中点，连接， 在中，，，O是中点， ,, 为中点 ， 在中， ， ， 为的垂直平分线 ， 为等腰直角三角形， ， 由（2）得： ， 为等边三角形， 【点睛】本题考查了图形的旋转、全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质与判定等知识，解答过程中，利用图形旋转的性质证明是解题关键． 23. 我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点，，如果满足，那么称，两点互为“等差点”． （1）在点，，中，与点互为“等差点”的是______； （2）已知点在双曲线（）上存在唯一等差点，求出的值； （3）如图1，抛物线的顶点与点是等差点，且与轴交于，两点，与轴交于点． ①点位于轴下方抛物线上，设点的横坐标是，过点作直线轴，垂足为点，交直线于点．当，，三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长； ②抛物线（）图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有点的两个“等差点”，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①3或；②或 【解析】 【分析】（1）根据定义，计算各点的纵坐标与横坐标的差，判断解答即可． （2）根据定义，得，设反比例函数图象上一个点与是唯一等差点，根据题意，得，整理成一元二次方程，另根的判别式等于0，解答即可； （3）①根据，得到抛物线的顶点坐标为，结合顶点与点是等差点，得到，确定，于是，令，求得，当时，，于是得到，，，根据点位于轴下方的抛物线上，得到，设直线的解析式为，把代入解析式，确定直线的解析式为，设点的横坐标是，由直线轴，垂足为点，交直线于点，得到，，，分点D为中点，点F为中点，两种情形解答即可． ②设点的“等差点”为，根据新定义，得即，根据 时，，得到的交点 ，分在直线的下方和在直线的上方两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：在点，，中， ，，， 由点中，， ∴与互为“等差点”， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由，得， 设反比例函数图象上一个点与是唯一等差点， 根据题意，得， 整理得， ∵反比例函数图象上一个点与是唯一等差点， ∴， 解得． 【小问3详解】 ①解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵顶点与点是等差点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令， 解得， 当时，， ∴，，， ∵点位于轴下方的抛物线上， ∴， 设直线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点的横坐标是，由直线轴，垂足为点，交直线于点， ∴，，， 当点D为中点时，根据题意，得， 解得（舍去）， ∴， ∴，， ∴； 当点F为中点时，根据题意，得， 解得（舍去）， ∴， ∴，， ∴； 综上所述，的长为3或． ②解：设点的“等差点”为，根据新定义，得， ∴， 当时，， ∴经过点， 当时，， ∴的交点， 当直线经过点时，与图象有两个不同的交点，符合 ，两部分组成的图象上恰有点的两个“等差点”， ∴， 解得， 当在直线的下方时， 则有， ∴； 当在直线的上方时， 当直线与相切时，直线与有一个交点， 此时的判别式等于0， ∴， ∴， 解得， ∴当时，直线与无交点，与有两个不同的交点， 综上所述，符合题意的m的取值范围是或． 【点睛】本题考查了新定义，反比例函数的性质，一元二次方程根的判别式，线段中点坐标的意义，分类思想，熟练掌握新定义，根的判别式，中点坐标是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$