广东省部分学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

广东省部分学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.考查范围：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、淮考证号等填写在答题卡指定位置上． 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无数． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，访将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若数列的前5项为，则它的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 直线与圆的公共点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法判断 5. 已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与圆有三条公切线，则（ ） A. 5 B. 16 C. 32 D. 36 7. 已知数列的通项公式为，则当取得最小值时，（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 在正方体中，空间中一动点满足，则直线与直线所成角正弦值的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. B. 同方向上的单位向量的坐标为 C. D. 在上的投影向量的模为 10. 记等差数列的前项和为，已知，其中为实数，则（ ） A. B. 若单调递增，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知为坐标原点，抛物线，，，点，分别在，上（均异于点），，的焦点分别为，，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. 当时， C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线满足，则______. 13. 已知正项等比数列满足，则其公比______. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与交于A，B两点，且，以AB为直径的圆过点，设的离心率为，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步聚. 15. 已知点 （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）已知圆过点，求圆的方程. 16. 已知点是抛物线上一点，为的焦点，且. （1）求的准线方程； （2）若点位于第一象限，求在点处的切线的方程. 17. 如图，三棱锥的棱上存在一点，使得平面底面，点在棱上，且平面. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的左焦点为，过且斜率不为0的直线交于两点，过点分别作的垂线，交于两点.当的斜率不存在时，四边形的面积为6. （1）求的方程； （2）求的取值范围； （3）证明：. 19. 已知无穷数列中的每一项均为正整数，其前项和为，若数列中任意相异三项不成等差数列，则称该数列为“玫瑰数列”. （1）对于每一项均为正整数的无穷等比数列. （i）若数列的公比为1，判断其是否为“玫瑰数列”； （ii）若数列的公比不为1，证明：该数列为“玫瑰数列”； （2）若是所有玫瑰数列中，对任意正整数，在最小的前提下，恒使最小的玫瑰数列.设为正整数，证明：成等差数列. 广东省部分学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.考查范围：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、淮考证号等填写在答题卡指定位置上． 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无数． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，访将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】1 【13题答案】 【答案】5 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步聚. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）因为平面底面，平面平面，，平面， 所以平面 ，又平面，所以. 又因为平面，平面，所以. 又，平面，所以平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）设，且， 故，且. 由（2）可得，，同理有. 故要证，即证（）. 由题意直线斜率不为，则直线和的斜率存在， 设斜率为，则的方程为， 联立， 得， 即， 当时，由韦达定理得， 故； 当时，由韦达定理得，也适合上式； 故；同理可得. 所以代入（）式化简整理可得， （）左边； （）右边； ①当直线的斜率存在且不为时，的方程为， 故， 则，且， 则（）左边； （）右边； 故． ②当的斜率不存在即时，则， 等式显然成立． 综上所述，得证． 【19题答案】 【答案】（1）（i）不是＂玫瑰数列＂； （ii）证明：由题意可得当时，， 若不是＂玫瑰数列＂，则存在各不相等的正整数，，，使得， 即，整理得， 故只能有，即，矛盾，故是＂玫瑰数列＂． （2） ①首先证明对于任意正整数，有． 若存在正整数使得，取数列 记的前项和为，则也是＂玫瑰数列＂， 于是，与＂对任意正整数，在最小的前提下，恒使最小＂矛盾，故； ②下面证明，由题意知，数列中不存在三项相等，故至多存在两项相等， （）先证明． 若，则取， 由数列是玫瑰数列可知，也是玫瑰数列，且， 与＂对任意正整数，在最小的前提下，恒使最小＂矛盾，所以. 若，则取由数列是玫瑰数列可知，是玫瑰数列，且， 与＂对任意正整数，在最小的前提下，恒使最小＂矛盾，所以. （b）再证明，设时，有，只需证明时，也有， 假设，则取 由数列是玫瑰数列可知，是玫瑰数列，且， 与＂对任意正整数，在最小的前提下，恒使最小＂矛盾，所以. 于是。即成等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $