精品解析：广东省中山市2024-2025学年八年级上学期期末试卷数学试题

中山市2024-2025学年上学期期末水平测试试卷 八年级数学 （测试时间： 120分钟， 满分： 120分） 温馨提示：请将答案写在答题卡上，不要写在本试卷． 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 秦始皇统一六国后创制的汉字书写形式是小篆，下列四个小篆字中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 世界上有一种开花结果植物的果实质量只有克， 将数用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 3. 现有长度分别是和的三根木棒，如果要将木棒首尾顺次相接形成一个三角形木架，那么x的值不能取（ ） A. 15 B. 30 C. 50 D. 75 4. 深中通道是集“桥、岛、隧、水下互通”于一体，是当前世界上综合建设难度最高的跨海集群工程． 其中，桥梁段组成部分的中山大桥全长米，是双塔斜拉式桥． 斜拉式大桥多采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是（ ） A. 三角形两边之和大于第三边 B. 垂线段最短 C. 三角形两边之差小于第三边 D. 三角形的稳定性 5. 下列分式中是最简分式是（ ） A. B. C. D. 6. 若“※”代表一种运算，的结果是，则“※”代表的运算符号可以为（ ） A. × B. C. + D. - 7. 解分式方程 时，去分母正确的是（ ） A B. C. D. 8. 观察图，用等式表示图中图形面积的运算为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平分，于点 C， 点D在上， 若， 则的面积为（ ） A. 3 B. 8 C. 12 D. 24 10. 如图， 在中， 以点A为圆心，的长为半径作弧， 与交于点E，分别以点E和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点 P，作射线交于点D． 若，， 则的度数为（ ） A B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若分式的值为0，则x的值是______． 12. 因式分解：________． 13. 如图，小强用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度． 已知，， 则该容器壁的厚度为_______． 14. 如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结，得到正五边形，则的度数为_______． 15. 如图， 在中，，的垂直平分线交于点 D， 交于点E，点F为的中点，点M为线段上一动点，若周长的最小值为， 则的面积是_______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16 计算：． 17. 先化简代数式 ，再从2，，1，四个数中选择一个数代入求值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）作出与关于y轴对称的图形； （2）已知点使得直线轴， 求点的坐标． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，闸机识别行人身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，行人即可通过． 两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，， 双翼边缘， 点A 与点 D 在同一水平线上，连接，若想设计通过闸机的物体的最大宽度为，则双翼边缘的长度应设计多长． 20. 某初中为提升学生的劳动能力，开辟一块菜地建设为劳动基地，现需要利用护栏将菜地圈起来，学校以招募工人和发放劳动报酬的方式来完成该项工作． 某小组的同学把“劳动基地菜地护栏建设”作为一项综合与实践的活动，完成了实践调查并形成了如下活动报告． 请根据活动报告计算支付给工人的总费用． 课题 劳动基地菜地护栏建设 调查方式 走访调研、实地查看 测量过程及计算 调研内容及图示 相关数据及说明： 护栏安装工作包括安装横杠和安装竖杠两部分， 且要求所有的安装工作在一天内完成， 安装横杠的工人每人当天费用为元， 安装竖杠的工人每人当天费用为元； 共招募7名工人，每名工人在相同的时间内安装横杠2根或竖杠3根，且每名工人只完成一项工作， 要求两项安装任务同时开始， 并在当天同时完成； 整个任务需要安装根横杠和根竖杠． 计算结果 21. 【阅读材料】因式分解： 解：∵ ，∴将看成整体， 令，则原式 将M 还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题： 【数学理解】（1）因式分解： 【拓展探索】（2）证明：无论a，b取何值时， 的值一定是非负数． 五、解答题（三）： 本大题共2小题， 第22题13分， 第23题14分， 共27分． 22. 已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E． （1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC=180°； （2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系； （3）在（2）的条件下，若∠BAC=60°，试说明：EF=ED． 23. 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“友好三角形”． （1）如图1，和互为“友好三角形”， 其中， 连接，求证：； （2）点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），以为边向右构造，使得和互为“友好三角形”，其中，连接， 点F在线段右上方， 且点 E， C， F三点共线． 如图2， 当点 D 在线段的左侧时， 求证：； 如图3，当点D 在线段上时，与的数量关系是否发生改变，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 中山市2024-2025学年上学期期末水平测试试卷 八年级数学 （测试时间： 120分钟， 满分： 120分） 温馨提示：请将答案写在答题卡上，不要写在本试卷． 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 秦始皇统一六国后创制的汉字书写形式是小篆，下列四个小篆字中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：∵A、B、D三个选项中的字都不能沿着一条直线折叠使直线两旁的部分能完全重合， ∴它们都不是轴对称图形，因此都不符合题意； ∵C选项中的字能够沿着一条直线折叠使直线两旁的部分能完全重合， ∴它是轴对称图形，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，解题关键是掌握轴对称图形的定义，即将一个平面图形沿着一条直线折叠能够使直线两旁的部分完全重合，那么这个图形是轴对称图形． 2. 世界上有一种开花结果植物的果实质量只有克， 将数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定和的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数；确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，为正数，当原数绝对值时，为负数． 【详解】解：， 故选：B． 3. 现有长度分别是和的三根木棒，如果要将木棒首尾顺次相接形成一个三角形木架，那么x的值不能取（ ） A. 15 B. 30 C. 50 D. 75 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出x的范围，判断即可． 【详解】解：由题意，得 ，即， ∴么x的值不能取75． 故选D． 4. 深中通道是集“桥、岛、隧、水下互通”于一体，是当前世界上综合建设难度最高的跨海集群工程． 其中，桥梁段组成部分的中山大桥全长米，是双塔斜拉式桥． 斜拉式大桥多采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是（ ） A. 三角形两边之和大于第三边 B. 垂线段最短 C. 三角形两边之差小于第三边 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性进行解答即可． 【详解】解：斜拉式大桥多采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是三角形的稳定性， 故选：D 5. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．根据最简分式的的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是最简分式； B．，故不是最简分式； C．，故不是最简分式； D．，故不是最简分式； 故选A． 6. 若“※”代表一种运算，的结果是，则“※”代表的运算符号可以为（ ） A. × B. C. + D. - 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的除法．根据运算法则计算后即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴“※”代表的运算符号可以为， 故选：B 7. 解分式方程 时，去分母正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，根据去分母的过程进行解答即可． 【详解】解： 去分母得， 故选：D 8. 观察图，用等式表示图中图形面积的运算为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式的几何运用．运用长方形的面积及正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得： 第一个图的面积为：， 第二个图的面积为：， ， 故选：B． 9. 如图，平分，于点 C， 点D在上， 若， 则的面积为（ ） A. 3 B. 8 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵平分，，， ， ∵， ∴的面积为：， 故选：C． 10. 如图， 在中， 以点A为圆心，的长为半径作弧， 与交于点E，分别以点E和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点 P，作射线交于点D． 若，， 则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．由作图可知，求出，推出，再利用三角形的外角的性质求出． 详解】解：由作图可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若分式的值为0，则x的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件：分子为零，分母不为零即可求解． 【详解】依题意可得x-2=0，x+1≠0 ∴x=2 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查分式值为零的条件，解题的关键是熟知分式的值为零的条件． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】此多项式可直接采用平方差公式进行分解． 【详解】解： ＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 13. 如图，小强用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度． 已知，， 则该容器壁的厚度为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题． 只要证明，可得，即可解决问题． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴圆柱形容器的壁厚是， 故答案为：1． 14. 如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结，得到正五边形，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的正多边形的内角，等边对等角、三角形的内角和定理等知识．利用多边形的内角和定理和正多边形的性质得到，，再由等边对等角、三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：由题意可得，五边形是正五边形， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 如图， 在中，，的垂直平分线交于点 D， 交于点E，点F为的中点，点M为线段上一动点，若周长的最小值为， 则的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称求最短距离、等腰三角形的性质、垂直平分线的性质等知识． 由垂直平分线的性质可得A与B关于对称，连接，交于点，连接，则当A、、F三点共线时，周长最小，即当点M与重合时，周长取得最小值，周长最小为的长，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，根据三角形面积公式即可得答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴A与B关于对称， 连接，交于点，连接 ∵， ∴， 当A、、F三点共线时，周长最小，即当点M与重合时，周长取得最小值， ∵周长的最小值为， ∴， ∵F为边的中点，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式与多形式、多项式与单项式的乘法，合并同类项，先根据多项式与多形式、多项式与单项式的乘法法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 17. 先化简代数式 ，再从2，，1，四个数中选择一个数代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】此题考查了整式的化简求值，先计算括号内的加法，再计算除法即可得到化简结果，再根据分式有意义的条件得到，代入化简结果求值即可． 【详解】解： ， ∵，，， ， ， 当时， 原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）作出与关于y轴对称的图形； （2）已知点使得直线轴， 求点坐标． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了坐标系中轴对称的作图和性质． （1）作出与关于y轴对称的对应点，顺次连接即可； （2）根据（1）得到的坐标为．根据轴得到，，得到，即可求出答案． 小问1详解】 解：如图所示，为所作图形． 【小问2详解】 由（1）得的坐标为． ∵轴， ，， ， 的坐标为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，闸机识别行人身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，行人即可通过． 两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，， 双翼边缘， 点A 与点 D 在同一水平线上，连接，若想设计通过闸机的物体的最大宽度为，则双翼边缘的长度应设计多长． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了轴对称的性质、含角直角三角形的性质、平行线的性质等知识．延长交交于点M，延长交于点N．求出．由轴对称得，．，在中，，即可得到． 【详解】解：延长交交于点M，延长交于点N． 由题意得，平行于地面， ． ∵地面， ， ． 由轴对称得，． 在中，， ． 答：双翼边缘的长度应设计为 20. 某初中为提升学生的劳动能力，开辟一块菜地建设为劳动基地，现需要利用护栏将菜地圈起来，学校以招募工人和发放劳动报酬的方式来完成该项工作． 某小组的同学把“劳动基地菜地护栏建设”作为一项综合与实践的活动，完成了实践调查并形成了如下活动报告． 请根据活动报告计算支付给工人的总费用． 课题 劳动基地菜地护栏建设 调查方式 走访调研、实地查看 测量过程及计算 调研内容及图示 相关数据及说明： 护栏安装工作包括安装横杠和安装竖杠两部分， 且要求所有的安装工作在一天内完成， 安装横杠的工人每人当天费用为元， 安装竖杠的工人每人当天费用为元； 共招募7名工人，每名工人在相同的时间内安装横杠2根或竖杠3根，且每名工人只完成一项工作， 要求两项安装任务同时开始， 并在当天同时完成； 整个任务需要安装根横杠和根竖杠． 计算结果 【答案】支付工人的总费用为元． 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，设安排x名工人安装横杠，名工人安装竖杠，要求两项安装任务同时开始， 并在当天同时完成，据此列方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设安排x名工人安装横杠，名工人安装竖杠， 得， 解得：． 检验：当时，． 所以原分式方程的解为． 当时，（名）， 费用：（元）． 答：支付工人的总费用为元． 21. 【阅读材料】因式分解： 解：∵ ，∴将看成整体， 令，则原式 将M 还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题： 【数学理解】（1）因式分解： 【拓展探索】（2）证明：无论a，b取何值时， 的值一定是非负数． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了换元法因式分解和完全平方公式． （1）设，则，即可得到，将M 还原，则原式，即可得到答案； （2）设，则，将M 还原，得到，即可证明结论成立． 【详解】解：（1）将看成整体， ∴可设，则， 所以， 将M 还原，则原式， 即； （2）将看成整体， ∴可设，则 将N还原，得： ， 即无论a，b取何值时， 的值一定是非负数． 五、解答题（三）： 本大题共2小题， 第22题13分， 第23题14分， 共27分． 22. 已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E． （1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC=180°； （2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系； （3）在（2）的条件下，若∠BAC=60°，试说明：EF=ED． 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析. 【解析】 【详解】分析：（1）根据余角的性质得到∠DEC=∠BAC，由于∠DEC+∠BEC=180°，即可得到结论；（2）根据角平分线的性质得到∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，于是得到结论；（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，由∠BAC=60°，得到∠BEC=90°+∠BAC=120°，求得∠FEB=∠DEC=60°，根据角平分线的性质得到∠BEM=60°，推出△FBE≌△EBM，根据全等三角形的性质得到EF=EM，同理DE=EM，即可得到结论． 本题解析： (1)∵BD⊥AC，CF⊥AB， ∴∠DCE+∠DEC=∠DCE+∠FAC=90°， ∴∠DEC=∠BAC,∠DEC+∠BEC=180°， ∴∠BAC+∠BEC=180°； (2)∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB， ∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB,∠BEC=180°−(∠EBC+∠ECB)=180°− (∠ABC+∠ACB)=180∘−(180°−∠BAC)=90°+∠BAC， (3)作∠BEC的平分线EM交BC于M， ∵∠BAC=60°， ∴∠BEC=90°+∠BAC=120°， ∴∠FEB=∠DEC=60°， ∵EM平分∠BEC， ∴∠BEM=60°， △FBE与△EBM中， ∠FBE=∠EBMBE=BE∠FEB=∠MEB， ∴△FBE≌△EBM， ∴EF=EM，同理DE=EM， ∴EF=DE. 点睛：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键. 23. 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“友好三角形”． （1）如图1，和互为“友好三角形”， 其中， 连接，求证：； （2）点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），以为边向右构造，使得和互为“友好三角形”，其中，连接， 点F在线段右上方， 且点 E， C， F三点共线． 如图2， 当点 D 在线段的左侧时， 求证：； 如图3，当点D 在线段上时，与的数量关系是否发生改变，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）① 见解析；②与的数量关系不变，，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的定义、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识． （1）证明即可得到结论； （2）①分别过点A作于点M，于点N，由全等的性质得到，，由等积法求出，由角平分线的判定定理即可证明结论；②仿照①的证明过程解答即可． 【小问1详解】 证明：∵， 在与中， ； 【小问2详解】 ①证明：分别过点A作于点M，于点N， 由（1）得，， ， ， ， 又∵，， ； ②解：与的数量关系不变，，理由如下： ∵， . 在与中， ， ， ，， 分别过点A作于点M，于点N， ， ， 又∵，， ， 即与的数量关系不变. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$