7.3 定义、命题与定理必刷提高题-2024-2025学年七年级数学下必刷题训练（新人教版）

7.3 定义、命题与定理必刷提高题（解析版） 知识点1 命题的概念 1．（2024秋•城阳区期末）下列语句是命题的是（　　） A．你昨天锻炼身体了吗？ B．数学是自然科学的基础 C．第一考场 D．保护视力 【答案】B 【分析】根据命题的概念判断即可． 【解答】解：A、你昨天锻炼身体了吗？，不是命题，不符合题意； B、数学是自然科学的基础，是命题，符合题意； C、第一考场，不是命题，不符合题意； D、保护视力，不是命题，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是命题与定理，判断一件事情的语句，叫做命题． 知识点2 命题的真假判断 2．（2024秋•普宁市期末）下列命题中，是真命题的是（　　） A．若a2＝b2，则a＝b B．同位角相等，两直线平行 C．若a，b是有理数，则|a+b|＝|a|+|b| D．若∠A＝∠B，则∠A与∠B是对顶角 【分析】根据实数的平方、平行线的判定定理、绝对值的性质、对顶角的定义判断即可． 【解答】解：A、若a2＝b2，则a＝±b，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意； C、若a，b是有理数，则|a+b|＝|a|+|b|，是假命题，例如：a＝2，b＝﹣2时，|a+b|＝0，|a|+|b|＝4，故本选项不符合题意； D、若∠A＝∠B，则∠A与∠B不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 3．（2024秋•东阳市期末）对于命题“如果a＜1，那么a2＜1”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a D．a＝0 【分析】满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例． 【解答】解：当a＝﹣2时，满足条件a＜1，但不能得出a2＜1的结论， ∴能说明命题“如果a＜1，那么a2＜1”是假命题的反例是a＝﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法． 4．（2024秋•南岸区期末）以下四个例子中，不能作为反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题的是（　　） A．设这个角是30°，它的余角是60°，但30°＜60° B．设这个角是45°，它的余角是45°，但45°＝45° C．设这个角是60°，它的余角是30°，但30°＜60° D．设这个角是50°，它的余角是40°，但40°＜50° 【分析】反例是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子；由此可判断出正确的选项． 【解答】解：A、所设的角小于它的余角，和原结论相反，故A选项错误，符合题意； B、所设的角与它的余角相等，和原结论相符合，故B选项正确，不符合题意； C、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故C选项正确，不符合题意； D、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故D选项正确，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了反例的含义．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 5．（2024秋•肥东县期末）下列四个命题： ①两直线平行，内错角相等； ②对顶角相等； ③等腰三角形的两个底角相等； ④同角（或等角）的余角相等． 其中逆命题是真命题的是（　　） A．① B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【分析】分别写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【解答】解：①两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是真命题； ②对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题； ③等腰三角形的两个底角相等的逆命题是两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是真命题； ④同角（或等角）的余角相等的逆命题是如果两个的余角相等则这两个角是同角（或等角），逆命题是真命题； 故选：C． 【点评】此题考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 6．（2024秋•宁远县期中）下列命题中，是真命题的有（　　） ①对顶角相等； ②不相交的两条直线一定平行； ③等角的补角相等； ④如果|a|＞|b|，那么a＞b． A．①和② B．①和③ C．②和③ D．③和④ 【分析】根据题意利用对顶角性质，平行线定义，补角性质等逐一分析即可得到本题答案． 【解答】解：∵对顶角相等，故①是真命题，符合题意； ∵在同一平面内不相交的两条直线一定平行，故②不是真命题，不符合题意； ∵如果这两个角相等，那么他们的补角也相等，即等角的补角相等，故③是真命题，符合题意； ∵假设a＝﹣1，b＝0，即|﹣1|＞|0|，但﹣1＜0，故④不是真命题，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查命题的判断，对顶角性质，平行线定义，补角性质，绝对值性质等，熟记有关性质是解题的关键． 7．（2024秋•玄武区期末）下面各语句中，正确的个数是（　　） ①当a≥0时，|a|＝﹣a成立； ②垂直于同一条直线的两条直线平行； ③若a∥b，a∥c，则当b、c不重合时，b∥c； ④相等的角是对顶角； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据绝对值、垂直的定义、平行公理的推论、对顶角、平行公理、平行线的性质判断即可． 【解答】解：①当a≤0时，|a|＝﹣a成立，故本小题说法错误； ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故本小题说法错误； ③若a∥b，a∥c，则当b、c不重合时，b∥c，说法正确； ④相等的角不一定是对顶角，故本小题说法错误； ⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法错误； ⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故本小题说法错误； 则正确的个数是1个， 故选：A． 【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 8．（2024秋•金水区期末）小明认为命题“如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等”不正确，请你帮他举出一个反例　如果两个角的两边分别平行，那么这两个角有可能互补　．（画出图形，并加以解释） 【分析】因此此题可画出图形然后根据平行线的性质可进行求解． 【解答】解：如图所示， 根据平行线性质可知∠DEF＝∠BGD，∠ABC+∠BGD＝180°， ∴∠DEF+∠ABC＝180°， 故如果两个角的两边分别平行，那么这两个角有可能互补； 故答案为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角有可能互补． 【点评】本题主要考查平行线的性质及举反例，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 9．（2024秋•鼓楼区期末）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题： ①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c； ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；　④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c． 其中正确的是　①②④　．（填写序号） 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【解答】解：在同一个平面内，①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c； ③如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c； 　④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c， 故答案为：①②④． 【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 知识点3 命题的改写 10．（2024秋•金凤区校级期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果…，那么…”形式为如果 　两个角是对顶角　，那么 　这两个角相等　． 【分析】改写成“如果……，那么……”的形式时，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是命题的结论． 【解答】答案：两个角是对顶角；这两个角相等． 解：“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等． 【点评】本题命题与定理，解题的关键是理解命题的定义，属于中考常考题型． 11．（2024春•玉环市期末）将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为 　如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行　． 【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论． 【解答】解：命题可以改写为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 【点评】考查了命题与定理的知识，任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意． 知识点4 命题的构造与证明 12．（2023秋•金凤区校级期末）如图，现有以下三个条件：①AB∥CD，②∠B＝∠C，③∠E＝∠F．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题． （1）你构造的是哪几个命题？ （2）你构造的命题有真命题吗？若有真命题，请给予证明． 【分析】（1）根据题意写出命题； （2）根据平行线的判定和性质证明． 【解答】解：（1）命题一：如果AB∥CD，∠B＝∠C，那么∠E＝∠F； 命题二：如果AB∥CD，∠E＝∠F，那么∠B＝∠C； 命题三：如果∠B＝∠C，∠E＝∠F，那么AB∥CD； （2）命题一是真命题， 证明如下：∵AB∥CD， ∴∠B+∠D＝180°， ∵∠B＝∠C， ∴∠C+∠D＝180°， ∴EC∥BF， ∴∠E＝∠F； 命题二是真命题， 证明如下：∵∠E＝∠F， ∴EC∥BF， ∵AB∥CD， ∴四边形ACDB为平行四边形， ∴∠B＝∠C； 命题三是真命题， 证明如下：∵∠E＝∠F， ∴EC∥BF， ∴∠C+∠D＝180°， ∵∠B＝∠C， ∴∠B+∠D＝180°， ∴AB∥CD． 【点评】本题考查的是命题与定理，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 13．（2023秋•赫章县期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O． （1）求证：DO是∠EDF的平分线． （2）若将“DO是∠EDF的平分线”与“AD是∠BAC的平分线”，“DE∥AB”或“DF∥AC”中的任一条件交换，所得命题是真命题吗？若是，请选择一个证明；若不是，请说明理由． 【分析】（1）先根据平行线的性质得∠FAD＝∠EDA，∠EAD＝∠FDA，再由角平分线的性质得出∠EAD＝∠FAD，等量代换得出结论． （2）选择命题：若DO是∠EDF的平分线，DE∥AB，DF∥AC，则AD是∠CAB的平分线．证明方法类似． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴∠FAD＝∠EDA，∠EAD＝∠FDA， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠FAD， ∴∠EDA＝∠FDA， ∴DO是∠EDF的角平分线； （2）解：选择命题：若DO是∠EDF的平分线，DE∥AB，DF∥AC，则AD是∠CAB的平分线，是真命题， 理由：∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠EDA＝∠DAB，∠EAD＝∠ADF， ∵DO是∠EDF的平分线， ∴∠EDA＝∠ADF， ∴∠EAD＝∠DAB， ∴AD是∠CAB的平分线． 【点评】本题考查的是平行线的性质，根据平行线的性质得出角的关系是解答此题的关键． 14．（2024•齐河县校级开学）如图，如果已知∠1＝∠2，那么AB∥CD，这个命题是真命题吗？若不是，请你再添加一个条件，使该命题成为真命题，并证明． 【分析】根据题意可以判定，只有∠1＝∠2，不能推导出AB∥CD，再添加上BE∥DF，可推导出∠MBA＝∠BDC，即可证明AB∥CD． 【解答】解：如果已知∠1＝∠2，那么AB∥CD，不是真命题， 添加条件为：BE∥DF， 证明过程如下： ∵BE∥DF， ∴∠MBE＝∠BDF， ∵∠1＝∠2， ∴∠MBA＝∠BDC， ∴AB∥CD． 【点评】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握屏体的判定及平行线的判定及性质等知识是解答此题的关键． 15．（2024春•鼓楼区校级月考）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 【分析】利用平行线的判定与性质可证明命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题．利用反例可说明命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题． 【解答】解：命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题． 已知：a∥b，b∥c， 求证：a∥c， 证明：作直线m分别于直线a、b、c相交，如图1， ∵a∥b（已知）， ∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）， ∵b∥v（已知）， ∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）， ∴∠1＝∠3（等量代换）， ∴a∥c（同位角相等，两直线平行）； 命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题，如图2，b⊥a，c⊥a，而b∥c． 【点评】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．也考查了平行线的判定与性质． 16．（2024春•西华县校级月考）（1）判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一反例． ①两个锐角的和是锐角； ②0既不是正数，也不是负数． （2）如图，已知钝角∠AOB，点D在射线OB上，画直线DE⊥OB及DF⊥OA，垂足为F． 【分析】（1）①举反例判断两个锐角的和是锐角是假命题即可，②根据0的特点可判断； （2）利用三角板或其他含有直角的工具画图即可． 【解答】解：（1）①假命题， 反例：∠A＝40°，∠B＝60°，但∠A+∠B＝100°＞90°，是钝角， ②真命题． （2）如图，DE，DF即为所求． ． 【点评】本题考查的是真假命题的判断，画已知直线的垂线，掌握判断命题真假的方法与熟练的利用工具画已知直线的垂线是解本题的关键． 17．（2024春•江夏区校级月考）我们知道：“两直线平行，同位角相等”是平行线的一个性质，把这个命题的题设和结论互换，可以得到平行线的判定“同位角相等，两直线平行．” （1）（如图1）我们易证：“已知∠ABC+∠BCD+∠CDE＝360°，求证：AB∥DE”它是一个真命题．请你把这个命题的题设和结论互换，写出一个命题，判断这个命题的真假，并说明理由． （2）结合前面的知识完成如下问题：如图2，已知EF∥BC，∠A＝∠D，∠C＝∠F，求证：AB∥DE． 【分析】（1）过点C作CF∥AB，然后根据平行线的判定和性质进行推理证明； （2）结合（1）中的结论，根据平行线的性质和判定进行推理论证． 【解答】解：（1）解：命题：如果AB∥DE，那么∠ABC+∠BCD+∠CDE＝360°，此命题是真命题，理由如下： 过点C作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴CF∥AB∥DE， ∴∠ABC+∠BCF＝180°，∠FCD+∠CDE＝180°， ∴∠ABC+∠BCD+∠CDE＝360°， （2）证明：∵EF∥BC， ∴∠F+∠A+∠B＝360°，∠E+∠D+∠C＝360°， 又∵∠A＝∠D，∠C＝∠F， ∴∠B＝∠E， ∴∠B+∠D+∠C＝360°， ∴AB∥DE． 【点评】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质，准确添加辅助线是解题关键． 18．（2024春•太和县月考）【阅读理解】 如果把一个命题（记作p）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作q），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题p称为原命题，命题q称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题p：“如果a＝b，那么|a|＝|b|．” （1）写出命题p的题设和结论，及逆命题q； （2）判断命题q是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 【分析】（1）命题的题设为a＝b，“那么”后面为结论，再交换题设和结论得到原命题的逆命题； （2）命题q是假命题，举出一个反例进行说明即可． 【解答】解：（1）∵命题p：“如果a＝b，那么|a|＝|b|． ∴a＝b是题设，|a|＝|b|是结论； 逆命题q是：如果|a|＝|b|，那么a＝b． （2）命题q是假命题， 反例：a＝3，b＝﹣3，|3|＝|﹣3|，但是3不等于﹣3． 【点评】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 19．（2024春•驿城区校级期中）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？ （1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 　互补　；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 　相等　； ②请选择一种情况写出证明过程． ③由①得出如果两个角的两边互相平行，那么这两个角 　相等或互补　． （2）应用③中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的3倍少40°，求这两个角的度数． 【分析】（1）①分别由图1，图2根据平行线的性质推理得出答案；②图1中，根据两直线平行，同位角相等得到∠DEF＝∠1，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠ABC+∠1＝180°，即可得证；图2中，根据两直线平行，内错角相等分别得到∠ABC＝∠BPE，∠BPE＝∠DEF，即可得证；③总结①②得出，如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补； （2）利用（1）的结论，列出方程组求解即可得出答案． 【解答】解：（1）①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为：∠ABC+∠DEF＝180°； 图2中∠ABC与∠DEF数量关系为：∠ABC＝∠DEF， 故答案为：互补；相等； ②证明：图1中， ∵BC∥EF， ∴∠DEF＝∠1， ∵AB∥DE， ∴∠ABC+∠1＝180°， ∴∠ABC+∠DEF＝180°； 图2中， ∵BC∥EF， ∴∠BPE＝∠DEF， ∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠BPE， ∴∠ABC＝∠DEF； ③由①得出：如果两个角两边互相平行，那么这两个角相等或互补， 故答案为：相等或互补； （2）设一个角为x°，另一个角为y°， 当两角相等时， ， 解得：； 当两角互补时， ， 解得：， 综上所述，这两个角的度数分别为20°和20°或55°和125°． 【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质． 20．（2024春•阳东区期中）如图，在三角形ABC中，D，E是AB上的点，F是BC上一点，H，G是AC上的点，FD⊥AB于点D，连接EF，EH，EG．给定三个条件：①EG⊥AB，②∠α＝∠β，③∠C＝∠β+∠EGH． （1）请在上述三个条件中选择其中两个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 　①②　，结论是 　③　（填写序号）； （2）证明上述命题． 【分析】由EG⊥AB，FD⊥AB，得EG∥FD，得∠DFE＝∠GEF，由∠α＝∠β，得∠BFE＝∠HEF，得EH∥BC，即可得∠C＝∠AHE＝∠β+∠EGH． 【解答】（1）选择的条件是 ①②，结论是 ③； 故答案为：①②，③； （2）证明：由EG⊥AB，FD⊥AB， 得EG∥FD， 得∠DFE＝∠GEF， 由∠α＝∠β， 得∠BFE＝∠HEF， 得EH∥BC， 得∠C＝∠AHE＝∠β+∠EGH． 【点评】本题主要考查了命题的证明，解题关键是正确推理． 21．（2023秋•惠民县期末）如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边AB，AC，BC边上的点，有下列三个条件： ①DE∥BC； ②DF∥AC； ③∠1＝∠C． （1）若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成的命题； （2）判断上面所写命题是否是真命题，并对其中的一个真命题进行推理证明． 【分析】（1）可以组成三个命题，（ⅰ）①②为题设，③为结论；（ⅱ）①③为题设，②为结论；（ⅲ）②③为题设，①为结论； （2）上述的三个命题都是真命题，（ⅰ）由DE∥BC得∠C+∠DEC＝180°，再由DF∥AC得∠1+∠DEC＝180°，由此可得出结论；（ⅱ）由DE∥BC得∠C+∠DEC＝180°，再根据∠1＝∠C得∠1+∠DEC＝180°，由此可得出结论；（ⅲ）由DF∥AC这∠1+∠DEC＝180°，再根据∠1＝∠C得∠C+∠DEC＝180°，由此可得出结论． 【解答】解：（1）可以组成三个命题， （ⅰ）如果①DE∥BC，②DF∥AC，那么③∠1＝∠C． （ⅱ）如果①DE∥BC，③∠1＝∠C，那么②DF∥AC． （ⅲ）如果②DF∥AC，③∠1＝∠C，那么①DE∥BC． （2）上述的三个命题都是真命题，证明如下： （ⅰ）∵DE∥BC， ∴∠C+∠DEC＝180°， 又∵DF∥AC， ∴∠1+∠DEC＝180°， ∴∠1＝∠C． （ⅱ）∵DE∥BC， ∴∠C+∠DEC＝180°， ∵∠1＝∠C， ∴∠1+∠DEC＝180°， ∴DF∥AC． （ⅲ）∵DF∥AC， ∴∠1+∠DEC＝180°， ∵∠1＝∠C， ∴∠C+∠DEC＝180°， ∴DE∥BC． 【点评】此题主要考查了命题，平行线的判定和性质，理解命题的定义，准确识图，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键． 22．（2023秋•金凤区校级期末）问题情景：如图1，AB∥CD． （1）观察猜想：若∠AEP＝50°，∠CFP＝40°．则∠P的度数为 　90°　． （2）探究问题：在图1中探究，∠EPF、∠CFP与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由． （3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时∠EPF、∠PFD与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由． 【分析】（1）过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等得到∠QPE＝∠AEP＝50°，∠QPF＝∠CFP＝40°，则∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝90°； （2）同（1）求解即可； （3）过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，根据平行线的性质得到∠QPE＝∠AEP，∠QPF+∠PFD＝180°，再证明∠QPF＝∠EPF+∠AEP，即可得到∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°． 【解答】解：（1）如图所示，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP＝50°，∠QPF＝∠CFP＝40°， ∴∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝90°， 故答案为：90°； （2）∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由如下： 如图所示，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF＝∠CFP， ∴∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝∠AEP+∠CFP； （3）解：∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°，理由如下： 如图所示，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF+∠PFD＝180°， ∵∠QPF＝∠EPF+∠QPE， ∴∠QPF＝∠EPF+∠AEP， ∴∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知两直线平行，内错角相等，两直线平行同旁内角互补是解题的关键． 23．（2023春•苍溪县期中）如图，已知：点G、点D和点F分别在AB、BC和AC上，DE⊥AC于E．给出下面三个条件： ①∠AGF＝∠ABC；②∠1+∠2＝180°；③BF⊥AC． 请你在以上三个条件中选两个作为添加的已知条件，另一个作为结论，写出所有的真命题（如果不止一个，请用小括号标序号），并任选其中一个真命题证明．（解题书写格式：解：真命题：（1）如果DE⊥AC，⊗⊗那么⊗；（2）…．选（x）证明如下：…） 【分析】由题意知，符合条件的真命题有三个：（1）如果DE⊥AC，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°，那么BF⊥AC；（2）如果DE⊥AC，∠AGF＝∠ABC，BF⊥AC，那么∠1+∠2＝180°；（3）如果DE⊥AC，BF⊥AC，∠1+∠2＝180°，那么∠AGF＝∠ABC；证明（1），由∠AGF＝∠ABC，可得GF∥BC，∠1＝∠CBF，由∠1+∠2＝180°，可得∠CBF+∠2＝180°，即BF∥DE，进而可证BF⊥AC． 【解答】解：由题意知，符合条件的真命题有三个： （1）如果DE⊥AC，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°，那么BF⊥AC； （2）如果DE⊥AC，∠AGF＝∠ABC，BF⊥AC，那么∠1+∠2＝180°； （3）如果DE⊥AC，BF⊥AC，∠1+∠2＝180°，那么∠AGF＝∠ABC； 证明（1），过程如下： 证明：∵∠AGF＝∠ABC， ∴GF∥BC， ∴∠1＝∠CBF， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠CBF+∠2＝180°， ∴BF∥DE， ∵DE⊥AC，BF∥DE， ∴BF⊥AC． 【点评】本题考查了真命题，平行线的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 24．（2023春•合江县期中）如图1，已知AB∥CD，AC∥EF． （1）观察猜想：若∠A＝45°，∠E＝65°，则∠CDE的度数为 　110度　； （2）探究问题：请在图1中探究∠A，∠CDE与∠E之间有怎样的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时∠CAB，∠CDE与∠E又有怎样的数量关系呢？请写出结论并说明理由． 【分析】1）延长AB交DE于点G，交EF于点H，根据平行线的性质求出∠EHG＝∠A＝45°，根据三角形外角的性质求出∠DGH＝∠E+∠EHG＝65°+45°＝110°，最后根据平行线的性质求出结果即可； （2）根据解析（1）的方法，求解即可； （3）延长CA交DE于点G，AB与DE交于点H，根据平行线的性质得出∠CGD＝∠E，∠AHG＝∠D，根据三角形外角的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）延长AB交DE于点G，交EF于点H，如图所示： ∵AC∥EF，∠A＝45°， ∴∠EHG＝∠A＝45°， ∵∠E＝65°， ∴∠DGH＝∠E+∠EHG＝65°+45°＝110°， ∵AB∥CD， ∴∠CDE＝∠DGH＝110°． 故答案为：110°． （2）∠CDE＝∠A+∠E；理由如下： 延长AB交DE于点G，交EF于点H，如图所示： ∵AC∥EF， ∴∠EHG＝∠A， ∴∠DGH＝∠E+∠EHG＝∠E+∠A， ∵AB∥CD， ∴∠CDE＝∠DGH＝∠A+∠E． （3）∠CAB＝∠E+∠D，理由如下： 延长CA交DE于点G，AB与DE交于点H，如图所示： ∵AC∥EF， ∴∠CGD＝∠E， ∵AB∥CD， ∴∠AHG＝∠D， ∴∠CAB＝∠CGD+∠AHG＝∠E+∠D． 【点评】本题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3 定义、命题与定理必刷提高题（原卷版） 知识点1 命题的概念 1．（2024秋•城阳区期末）下列语句是命题的是（　　） A．你昨天锻炼身体了吗？ B．数学是自然科学的基础 C．第一考场 D．保护视力 知识点2 命题的真假判断 2．（2024秋•普宁市期末）下列命题中，是真命题的是（　　） A．若a2＝b2，则a＝b B．同位角相等，两直线平行 C．若a，b是有理数，则|a+b|＝|a|+|b| D．若∠A＝∠B，则∠A与∠B是对顶角 3．（2024秋•东阳市期末）对于命题“如果a＜1，那么a2＜1”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a D．a＝0 4．（2024秋•南岸区期末）以下四个例子中，不能作为反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题的是（　　） A．设这个角是30°，它的余角是60°，但30°＜60° B．设这个角是45°，它的余角是45°，但45°＝45° C．设这个角是60°，它的余角是30°，但30°＜60° D．设这个角是50°，它的余角是40°，但40°＜50° 5．（2024秋•肥东县期末）下列四个命题： ①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④同角（或等角）的余角相等．其中逆命题是真命题的是（　　） A．① B．①③ C．①③④ D．①②③④ 6．（2024秋•宁远县期中）下列命题中，是真命题的有（　　） ①对顶角相等；②不相交的两条直线一定平行；③等角的补角相等；④如果|a|＞|b|，那么a＞b． A．①和② B．①和③ C．②和③ D．③和④ 7．（2024秋•玄武区期末）下面各语句中，正确的个数是（　　） ①当a≥0时，|a|＝﹣a成立； ②垂直于同一条直线的两条直线平行； ③若a∥b，a∥c，则当b、c不重合时，b∥c； ④相等的角是对顶角； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2024秋•金水区期末）小明认为命题“如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等”不正确，请你帮他举出一个反例　 　．（画出图形，并加以解释） 9．（2024秋•鼓楼区期末）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题： ①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c； ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；　④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c． 其中正确的是　 　．（填写序号） 知识点3 命题的改写 10．（2024秋•金凤区校级期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果…，那么…”形式为如果 　 　，那么 　 　． 11．（2024春•玉环市期末）将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为 　 　． 知识点4 命题的构造与证明 12．（2023秋•金凤区校级期末）如图，现有以下三个条件：①AB∥CD，②∠B＝∠C，③∠E＝∠F．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题． （1）你构造的是哪几个命题？ （2）你构造的命题有真命题吗？若有真命题，请给予证明． 13．（2023秋•赫章县期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O． （1）求证：DO是∠EDF的平分线． （2）若将“DO是∠EDF的平分线”与“AD是∠BAC的平分线”，“DE∥AB”或“DF∥AC”中的任一条件交换，所得命题是真命题吗？若是，请选择一个证明；若不是，请说明理由． 14．（2024•齐河县校级开学）如图，如果已知∠1＝∠2，那么AB∥CD，这个命题是真命题吗？若不是，请你再添加一个条件，使该命题成为真命题，并证明． 15．（2024春•鼓楼区校级月考）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 16．（2024春•西华县校级月考）（1）判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一反例． ①两个锐角的和是锐角； ②0既不是正数，也不是负数． （2）如图，已知钝角∠AOB，点D在射线OB上，画直线DE⊥OB及DF⊥OA，垂足为F． 17．（2024春•江夏区校级月考）我们知道：“两直线平行，同位角相等”是平行线的一个性质，把这个命题的题设和结论互换，可以得到平行线的判定“同位角相等，两直线平行．” （1）（如图1）我们易证：“已知∠ABC+∠BCD+∠CDE＝360°，求证：AB∥DE”它是一个真命题．请你把这个命题的题设和结论互换，写出一个命题，判断这个命题的真假，并说明理由． （2）结合前面的知识完成如下问题：如图2，已知EF∥BC，∠A＝∠D，∠C＝∠F，求证：AB∥DE． 18．（2024春•太和县月考）【阅读理解】 如果把一个命题（记作p）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作q），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题p称为原命题，命题q称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题p：“如果a＝b，那么|a|＝|b|．” （1）写出命题p的题设和结论，及逆命题q； （2）判断命题q是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 19．（2024春•驿城区校级期中）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？ （1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 　 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 　 　； ②请选择一种情况写出证明过程． ③由①得出如果两个角的两边互相平行，那么这两个角 　． （2）应用③中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的3倍少40°，求这两个角的度数． 20．（2024春•阳东区期中）如图，在三角形ABC中，D，E是AB上的点，F是BC上一点，H，G是AC上的点，FD⊥AB于点D，连接EF，EH，EG．给定三个条件：①EG⊥AB，②∠α＝∠β，③∠C＝∠β+∠EGH． （1）请在上述三个条件中选择其中两个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 　 　，结论是 　 　（填写序号）； （2）证明上述命题． 21．（2023秋•惠民县期末）如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边AB，AC，BC边上的点，有下列三个条件： ①DE∥BC； ②DF∥AC； ③∠1＝∠C． （1）若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成的命题； （2）判断上面所写命题是否是真命题，并对其中的一个真命题进行推理证明． 22．（2023秋•金凤区校级期末）问题情景：如图1，AB∥CD． （1）观察猜想：若∠AEP＝50°，∠CFP＝40°．则∠P的度数为 　 　． （2）探究问题：在图1中探究，∠EPF、∠CFP与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由． （3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时∠EPF、∠PFD与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由． 23．（2023春•苍溪县期中）如图，已知：点G、点D和点F分别在AB、BC和AC上，DE⊥AC于E．给出下面三个条件： ①∠AGF＝∠ABC；②∠1+∠2＝180°；③BF⊥AC． 请你在以上三个条件中选两个作为添加的已知条件，另一个作为结论，写出所有的真命题（如果不止一个，请用小括号标序号），并任选其中一个真命题证明．（解题书写格式：解：真命题：（1）如果DE⊥AC，⊗⊗那么⊗；（2）…．选（x）证明如下：…） 24．（2023春•合江县期中）如图1，已知AB∥CD，AC∥EF． （1）观察猜想：若∠A＝45°，∠E＝65°，则∠CDE的度数为 　 　； （2）探究问题：请在图1中探究∠A，∠CDE与∠E之间有怎样的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时∠CAB，∠CDE与∠E又有怎样的数量关系呢？请写出结论并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$