7.3 定义、命题与定理必刷基础题-2024-2025学年七年级数学下必刷题训练（新人教版）

7.3 命题与定理必刷基础题（解析版） 知识点1 命题的概念 1．（2024秋•观山湖区期末）下列句子中属于命题的是（　　） A．美丽的天空 B．你的作业完成了吗？ C．过直线l外一点作l的垂线 D．两直线平行，同位角相等 【思路引领】根据命题的概念判断即可． 【完整解答】解：A、美丽的天空，不是命题，不符合题意； B、你的作业完成了吗？，不是命题，不符合题意； C、过直线l外一点作l的垂线，不是命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，是命题，符合题意； 故选：D． 【总结提升】本题考查的是命题与定理，判断一件事情的语句，叫做命题． 知识点2 命题的真假判断 2．（2023春•洪泽区期末）下列命题中，属于假命题的是（　　） A．如果三角形三个内角的度数比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形 B．平行于同一直线的两条直线平行 C．内错角不一定相等 D．若a的绝对值等于a，则a一定是正数 【思路引领】根据直角三角形的判定方法、平行线的性质及绝对值的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【完整解答】解：A、如果三角形三个内角的度数比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意； B、平行于同一直线的两条直线平行，正确，是真命题，不符合题意； C、内错角不一定相等，正确，是真命题，不符合题意； D、若a的绝对值等于a，则a一定是正数或零，故原命题错误，是假命题，符合题意， 故选：D． 【总结提升】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解直角三角形的判定方法、平行线的性质及绝对值的定义，难度不大． 3．（2024秋•巴彦县期末）下列命题中真命题的个数是（　　） （1）对顶角相等； （2）平行于同一直线的两条直线平行； （3）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； （4）两直线平行，同旁内角互补． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路引领】根据对顶角相等、平行公理的推论、垂线段最短、平行线的性质判断即可． 【完整解答】解：（1）对顶角相等，是真命题； （2）平行于同一直线的两条直线平行，是真命题； （3）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，是真命题； （4）两直线平行，同旁内角互补，是真命题； 故选：D． 【总结提升】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 4．（2024秋•诸暨市期末）对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”能说明该命题为假命题的反例是（　　） A．a＝0，b＝0 B．a＝1，b＝1 C．a＝﹣1，b＝1 D．a＝1，b＝2 【思路引领】根据绝对值、实数的大小比较解答即可． 【完整解答】解：A、当a＝0，b＝0时，|a|＝|b|，a＝b， 不能说明命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题，不符合题意； B、当a＝1，b＝1时，|a|＝|b|，a＝b， 不能说明命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题，不符合题意； C、当a＝﹣1，b＝1时，|a|＝|b|，而a≠b， 能说明命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题，符合题意； D、当a＝1，b＝2时，|a|≠|b|，a≠b， 不能说明命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题，不符合题意； 故选：C． 【总结提升】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 5．（2024春•东海县期末）下列命题中，属于假命题的是（　　） A．如果三角形三个内角的度数比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形 B．内错角不一定相等 C．平行于同一直线的两条直线平行 D．若数a使得|a|＞﹣a，则a一定小于0 【思路引领】利用三角形内角和对A进行判断；根据内错角的定义对B进行判断；根据平行线的判定方法对C进行判断；根据绝对值的意义对D进行判断． 【完整解答】解：A、如果三角形三个内角的度数比是1：2：3，则三个角的度数分别为30°，60°，90°，所以这个三角形是直角三角形，所以A选项为真命题； B、内错角不一定相等，所以B选项为真命题； C、平行于同一直线的两条直线平行，所以C选项为真命题； D、若数a使得|a|＞﹣a，则a为大于0的实数，所以D选项为假命题． 故选：D． 【总结提升】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 6．（2024秋•嵊州市期末）下列命题中，真命题的是（　　） A．若2x＝﹣1，则x B．任何一个角都比它的补角小 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角 【思路引领】根据一元一次方程的解法、补角的概念、平行线的判定、平角的那个判断即可． 【完整解答】解：A、若2x＝﹣1，则x，是真命题，符合题意； B、一个角与它的补角的大小无法确定， 故任何一个角都比它的补角小是假命题，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故本选项命题的假命题，不符合题意； D、一个锐角与一个钝角的和不一定等于一个平角，例如20°+100°＝120°，120°不是平角，故本选项命题的假命题，不符合题意； 故选：A． 【总结提升】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 7．（2024秋•泉港区期末）“若a＝b，则a2＝b2”为原命题，则下列判定正确的是（　　） A．原命题为真命题，逆命题为假命题 B．原命题与逆命题均为真命题 C．原命题为假命题，逆命题为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题 【思路引领】写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【完整解答】解：原命题“若a＝b，则a2＝b2”正确，为真命题； 其逆命题为若a2＝b2，则a＝b，错误，为假命题， 故选：A． 【总结提升】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平方与开平方的意义，难度不大． 8．（2024秋•浙江期末）下列选项中，可以用来说明命题“若x2＞4，则x＞2”是假命题的反例是（　　） A．x＝3 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣3 【思路引领】根据有理数的乘方、有理数的大小比较法则解答即可． 【完整解答】解：当x＝﹣3时，（﹣3）2＝9＞4，﹣3＜2， 说明命题“若x2＞4，则x＞2”是假命题， 故选：D． 【总结提升】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 知识点3 命题的改写 9．（2024春•韩城市校级月考）请将下列命题改写成“如果……那么……”的形式： （1）等角的补角相等； （2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 【思路引领】根据命题的概念解答即可． 【完整解答】解：（1）如果两个角是相等的角的补角，那么这两个角相等（或如果两个角相等，那么这两个角的补角相等）； （2）如果在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【总结提升】本题主要考查了命题与定理，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论． 10．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． （1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）一个负数与一个正数的和是负数； （3）平角的度数是180°． 【思路引领】（1）把命题写成“如果…那么…”的形式，从而得到命题的题设与结论，然后根据等边三角形的判定方法判断命题的真假； （2）把命题写成“如果…那么…”的形式，从而得到命题的题设与结论，然后利用反例可判断此命题为假命题； （3）把命题写成“如果…那么…”的形式，从而得到命题的题设与结论，然后根据平角的定义可判断此命题的真假． 【完整解答】解：（1）命题的题设为：三角形的三条边都相等；题设为：这个三角形为等边三角形；此命题为真命题； （2）命题的题设为：一个负数和一个正数相加；题设为：这两个数的和为负数；此命题为假命题；如﹣1与2的和为1； （3）命题的题设为：一个角为平角；题设为：这个角的度数为180°；此命题为真命题． 【总结提升】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 知识点4 命题的构造与证明 11．（2024秋•市南区期末）如图，已知∠1+∠ABC＝180°，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，组成一个真命题． ①BE是∠ABC的角平分线；②∠E＝∠2；③DF∥AB． 你选的条件是 　①②　，结论是 　③　．请加以证明． 【思路引领】由角平分线定义得到∠2＝∠CBE，因此∠CBE＝∠E，判定AE∥BC，推出∠A+∠ABC＝180°，由补角的性质推出∠A＝∠1，判定DF∥AB． 【完整解答】解：选的条件是①②，结论是③，理由如下： ∵BE是∠ABC的角平分线， ∴∠2＝∠CBE， ∵∠E＝∠2， ∴∠CBE＝∠E， ∴AE∥BC， ∴∠A+∠ABC＝180°， ∵∠1+∠ABC＝180°， ∴∠A＝∠1， ∴DF∥AB． 故答案为：①②，③． 【总结提升】本题考查命题与定理，平行线的判定，关键是判定AE∥BC，得到∠A+∠ABC＝180°． 12．（2024秋•高州市期末）如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件： ①AB＝DE；②AC＝DF；③AB∥DE；④BE＝CF．请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明． 解：我写的真命题是： 已知：　①②④　； 求证：　③　．（注：不能只填序号） 证明如下： 【思路引领】选①②④为条件，先证明BC＝EF，则可根据“SSS“判断△ABC≌△DEF，所以∠B＝∠DEF，然后根据平行线的判定得到③． 【完整解答】解：我写的真命题是： 已知：①②④； 求证：③ 证明如下： ∵BE＝FC， ∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝FE， 在△ABC和△DEF中 ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴∠B＝∠DEF， ∴AB∥DE． 故答案为①②④；③． 【总结提升】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 13．（2024秋•故城县月考）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． （1）将命题的证明过程补充完整； 已知：如图，直线a⊥c，b⊥c． 求证：a∥b． 证明：∵a⊥c，b⊥c（已知）， ∴∠1＝90°，∠2＝90°（ 　垂直的定义　）， ∴∠1＝　∠2　（等量代换）， ∴a∥b（ 　同位角相等，两直线平行　）； （2）写出该命题的逆命题． 【思路引领】（1）根据垂直的定义、等量代换、平行线的判定定理解答； （2）根据逆命题的概念解答即可． 【完整解答】解：（1）证明：∵a⊥c，b⊥c（已知）， ∴∠1＝90°，∠2＝90°（垂直的定义）， ∴∠1＝∠2（等量代换）， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：垂直的定义；∠2；同位角相等，两直线平行； （2）该命题的逆命题是：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线都垂直于同一条直线． 【总结提升】本题考查的是命题与定理、平行线的判定和性质，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 14．（2024春•黄石港区期末）如图，从①∠1＝∠2②∠C＝∠D③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题． （1）这三个命题中，真命题的个数为 　3　； （2）选择一个真命题，并且证明，（要求写出每一步的依据） 如图，已知 　①∠1＝∠2，②∠C＝∠D　， 求证：　③∠A＝∠F　 证明：　∵∠1＝∠2，∠1＝∠3（已知）， ∴∠3＝∠2（等量代换）， ∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等）， ∵∠C＝∠D（已知）， ∴∠4＝∠C（等量代换）， ∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行）， ∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．　 【思路引领】（1）直接利用平行线的判定与性质得出题设和结论的正确性； （2）根据同位角相等，两直线平行得出DB∥EC，DF∥AC，然后根据平行线的性质得出结论． 【完整解答】解：（1）由 ①②，得 ③；由①③，得②；由②③，得①；均正确， 故答案为3 （2）已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F， 证明：如图所示： ∵∠1＝∠2，∠1＝∠3（已知）， ∴∠3＝∠2（等量代换）， ∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等）， ∵∠C＝∠D（已知）， ∴∠4＝∠C（等量代换）， ∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行）， ∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）． 证明步骤同上． 故答案为：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D；∠A＝∠F； 【总结提升】此题主要考查了平行线的判定和性质，正确掌握平行线的判定与性质是解题关键． 15．（2024春•朝天区期末）如图，已知AB⊥BC，∠1+∠2＝90°．现有3个条件：①∠2＝∠3；②∠2+∠3＝90°；③BE∥DF． （1）请在上述3个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 　①　，结论是 　③　；（填序号） （2）证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 【思路引领】（1）根据题意即可解答； （2）根据垂直的定义与平行线的判定及性质即可解答． 【完整解答】解：（1）选择的条件是①，结论是③； 或：选择的条件是③，结论是①． 故答案为：①，③（或③，①） （2）选择的条件是①，结论是③，则证明如下： 证明：∵AB⊥BC（已知）， ∴∠ABC＝90°（垂直的定义）， ∴∠3+∠4＝90°（余角的定义）． ∵∠1+∠2＝90°，且∠2＝∠3（已知）， ∴∠1+∠3＝90°（等量代换）． ∴∠1＝∠4（等角的余角相等）， ∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）． 选择的条件是③，结论是①，则证明如下： 证明：∵BE∥DF（已知）， ∴∠1＝∠4（两直线平行，同位角相等） ∵AB⊥BC（已知）， ∴∠ABC＝90°（垂直的定义）， ∴∠3+∠4＝90°（余角的定义）． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠2＝∠3（等角的余角性质）． 【总结提升】本题考查平行线的判定及性质，掌握平行线的判定及性质是关键． 16．（2024春•巴林左旗期末）探究：如图①，②，∠ABC与∠EDF，BC与ED交于点H，这两个角的两边分别平行，即AB∥DE，BC∥DF． （1）分别猜想图①，图②中∠ABC与∠EDF的大小关系，并给予证明； （2）一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果…，那么…”的形式． 【思路引领】（1）根据两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补解答； （2）根据（1）中结论总结，得到答案． 【完整解答】解：（1）图①中，∠ABC＝∠EDF， 证明如下：∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠EHC， ∵BC∥DF， ∴∠EDF＝∠EHC， ∴∠ABC＝∠EDF， 图②中，∠ABC+∠EDF＝180°， 证明如下：∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DHC， ∵BC∥DF， ∴∠EDF+∠DHC＝180°， ∴∠ABC+∠EDF＝180°； （2）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 【总结提升】本题考查的是命题与定理、平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3 命题与定理必刷基础题（原卷版） 知识点1 命题的概念 1．（2024秋•观山湖区期末）下列句子中属于命题的是（　　） A．美丽的天空 B．你的作业完成了吗？ C．过直线l外一点作l的垂线 D．两直线平行，同位角相等 知识点2 命题的真假判断 2．（2023春•洪泽区期末）下列命题中，属于假命题的是（　　） A．如果三角形三个内角的度数比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形 B．平行于同一直线的两条直线平行 C．内错角不一定相等 D．若a的绝对值等于a，则a一定是正数 3．（2024秋•巴彦县期末）下列命题中真命题的个数是（　　） （1）对顶角相等；（2）平行于同一直线的两条直线平行；（3）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（4）两直线平行，同旁内角互补． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024秋•诸暨市期末）对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”能说明该命题为假命题的反例是（　　） A．a＝0，b＝0 B．a＝1，b＝1 C．a＝﹣1，b＝1 D．a＝1，b＝2 5．（2024春•东海县期末）下列命题中，属于假命题的是（　　） A．如果三角形三个内角的度数比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形 B．内错角不一定相等 C．平行于同一直线的两条直线平行 D．若数a使得|a|＞﹣a，则a一定小于0 6．（2024秋•嵊州市期末）下列命题中，真命题的是（　　） A．若2x＝﹣1，则x B．任何一个角都比它的补角小 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角 7．（2024秋•泉港区期末）“若a＝b，则a2＝b2”为原命题，则下列判定正确的是（　　） A．原命题为真命题，逆命题为假命题 B．原命题与逆命题均为真命题 C．原命题为假命题，逆命题为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题 8．（2024秋•浙江期末）下列选项中，可以用来说明命题“若x2＞4，则x＞2”是假命题的反例是（　　） A．x＝3 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣3 知识点3 命题的改写 9．（2024春•韩城市校级月考）请将下列命题改写成“如果……那么……”的形式： （1）等角的补角相等； （2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 10．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． （1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）一个负数与一个正数的和是负数； （3）平角的度数是180°． 知识点4 命题的构造与证明 11．（2024秋•市南区期末）如图，已知∠1+∠ABC＝180°，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，组成一个真命题． ①BE是∠ABC的角平分线；②∠E＝∠2；③DF∥AB． 你选的条件是 　 　，结论是 　 　．请加以证明． 12．（2024秋•高州市期末）如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件： ①AB＝DE；②AC＝DF；③AB∥DE；④BE＝CF．请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明． 解：我写的真命题是： 已知：　 　； 求证：　 　．（注：不能只填序号） 证明如下： 13．（2024秋•故城县月考）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． （1）将命题的证明过程补充完整； 已知：如图，直线a⊥c，b⊥c． 求证：a∥b． 证明：∵a⊥c，b⊥c（已知）， ∴∠1＝90°，∠2＝90°（ 　 　）， ∴∠1＝　∠2　（等量代换）， ∴a∥b（ 　 　）； （2）写出该命题的逆命题． 14．（2024春•黄石港区期末）如图，从①∠1＝∠2②∠C＝∠D③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题． （1）这三个命题中，真命题的个数为 　 　； （2）选择一个真命题，并且证明，（要求写出每一步的依据） 如图，已知 　 　， 求证：　 　 证明： 15．（2024春•朝天区期末）如图，已知AB⊥BC，∠1+∠2＝90°．现有3个条件：①∠2＝∠3；②∠2+∠3＝90°；③BE∥DF． （1）请在上述3个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 　 　，结论是 　 　；（填序号） （2）证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 16．（2024春•巴林左旗期末）探究：如图①，②，∠ABC与∠EDF，BC与ED交于点H，这两个角的两边分别平行，即AB∥DE，BC∥DF． （1）分别猜想图①，图②中∠ABC与∠EDF的大小关系，并给予证明； （2）一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果…，那么…”的形式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$