7.2.3 平行线的性质必刷提高题-2024-2025学年七年级数学下必刷题训练（新人教版）

7.2.3 平行线的性质必刷提高题（解析版） 知识点1 平行线的性质 1．（7.2分）（2024秋•沈丘县期末）如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为（　　） A．∠1+∠2﹣∠3 B．∠1+∠3﹣∠2 C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2 D．∠2+∠3﹣∠1﹣180° 【分析】先过点E作EG∥AB，过点F作FH∥CD，利用平行线的性质求得∠GEF和∠EFH，最后根据∠CFH＝∠3﹣∠EFH，求得∠4即可． 【解答】解：过点E作EG∥AB，过点F作FH∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EG∥FH， ∴∠1＝∠AEG， ∴∠GEF＝∠2﹣∠1， ∵EG∥FH， ∴∠EFH＝180°﹣∠GEF＝180°﹣（∠2﹣∠1）＝180°﹣∠2+∠1， ∴∠CFH＝∠3﹣∠EFH＝∠3﹣（180°﹣∠2+∠1）＝∠3+∠2﹣∠1﹣180°， ∵FH∥CD， ∴∠4＝∠3+∠2﹣∠1﹣180°， 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线，构造平行线，利用平行线的性质进行推导． 2．（2024秋•嵩县期末）如图所示，是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当∠EOF＝90°，∠ODC＝29°时，人躺着最舒服，此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数为（　　） A．119° B．29° C．131° D．120° 【分析】先利用平行线的性质可得∠EOF＝∠ODM＝90°，再利用角的和差关系可得：∠CDM＝119°，然后利用平行线的性质可得：∠ANM＝∠CDM＝119°，即可解答． 【解答】解：∵DM∥OE， ∴∠EOF＝∠ODM＝90°， ∵∠ODC＝29°， ∴∠CDM＝∠ODC+∠ODM＝119°， ∵AB∥CD， ∴∠ANM＝∠CDM＝119°， 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 3．（2024秋•白云区期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝58°，∠2的度数为（　　） A．32° B．58° C．68° D．122° 【分析】利用平行线的性质，即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：AB∥CD， ∴∠1＝∠2＝58°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 4．（2024秋•三水区期末）如图，BG∥CE，BC∥GE，点F在GE上，线段BG的延长线与线段CF的延长线相交于点A．如果∠AGE＝70°，∠FCB：∠FCE＝5：6，求∠CFE的度数（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【分析】先利用平行线的性质可得∠CFE＝∠FCB，∠AGE＝∠ABC＝70°，再利用平行线的性质可得∠BCE＝110°，然后根据题目的已知易得：∠FCB∠BCE＝50°，即可解答． 【解答】解：∵BC∥GE， ∴∠CFE＝∠FCB，∠AGE＝∠ABC＝70°， ∵BG∥CE， ∴∠BCE＝180°﹣∠ABC＝110°， ∵∠FCB：∠FCE＝5：6， ∴∠FCB∠BCE＝50°， ∴∠CFE＝∠FCB＝50°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5．（2024秋•于洪区期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA，PB等反射以后沿着与EPF平行的方向射出，若∠CAP＝45°，∠APB＝100°，则∠DBP的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．无法确定 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠APE＝∠CAP＝45°，又因为∠APB＝100°，所以∠BPE＝55°，再根据BD∥EF，即可解得． 【解答】解：∵AC∥EF，∠CAP＝45°， ∴∠APE＝∠CAP＝45°， ∵∠APB＝100°， ∴∠BPE＝55°， ∵BD∥EF， ∴∠DBP＝∠BPE＝55°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 6．（2024秋•即墨区期末）图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面1平行，∠BCD＝68°，∠BAC＝57°，AM与CB平行，则∠MAC为（　　） A．55° B．57° C．68° D．125° 【分析】根据平行得到∠BAC+∠ACD＝180°，进而求出∠ACD的度数，∠ACD﹣∠BCD求出∠ACB的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可得出结果． 【解答】解：∵AB，CD都与地面l平行， ∴AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∴∠ACD＝180°﹣57°＝123°， ∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝123°﹣68°＝55°， ∵AM∥CB， ∴∠MAC＝∠ACB＝55°． 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 7．（2024秋•晋江市期末）如图，AD∥BC，∠BCD的平分线CG交AD于点G． （1）试说明：∠DGC＝∠DCG； （2）如图，线段CG上有一点P，满足∠CDP＝3∠PDG，过点A作AH∥CG交BC于点H． ①若∠BAH＝2∠PDG，试判断AB与AD的位置关系，并说明理由； ②在①的条件下，在射线CG上取一点M，使得∠PDM＝∠BAH，直线DM交直线BC于点Q，求的值． 【分析】（1）由平行线和角平分线推出等角即可； （2）①设∠PDG＝α，根据题干等量关系可得∠CDP＝3α，∠ADC＝4α，∠BAH＝2α，再由AD∥BC和角平分线得到∠DGC＝∠DCG＝90°﹣2α，进而可得∠BAD＝∠DAH+∠BAH＝90°﹣2α+2α＝90°，即可得解； ②分类讨论，当点M在线段CG上或CG延长线上，画出示意图，过M作平行线，利用平行线的性质求解即可． 【解答】解：（1）∵AD∥BC， ∴∠DGC＝∠BCG， ∵CG平分∠BCD， ∴∠BCG＝∠DCG， ∴∠DGC＝∠DCG； （2）①AB⊥AD，理由如下： 设∠PDG＝α， ∵∠CDP＝3∠PDG，∠BAH＝2∠PDG， ∴∠CDP＝3α，∠ADC＝4α，∠BAH＝2α， ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝180°﹣4α， ∵CG平分∠BCD， ∴∠DCGBCD＝90°﹣2α， 由（1）得∠DGC＝∠DCG＝90°﹣2α， ∵AH∥CG， ∴∠DAH＝∠DGC＝90°﹣2α， ∵∠BAH＝2α， ∴∠BAD＝∠DAH+∠BAH＝90°﹣2α+2α＝90°， ∴AB⊥AD； ②由①得∠DGC＝90°﹣2α， ∴∠AGC＝180°﹣∠DGC＝90°+2α， 过点M作MT∥AD，则∠GMT＝∠DGC＝90°﹣2α 当点M在线段CG上时，如图， 由①得，∠PDG＝α，∠PDM＝∠BAH＝2α， ∴∠GDM＝∠PDG+∠PDM＝3α， ∵MT∥AD， ∴∠TMQ＝∠GDM＝3α， ∴∠GMQ＝∠GMT+∠TMQ＝90°+α， ∴； 当点M在线段CG的延长线上时，如图， 同理可得，∠GDM＝α， ∵MT∥AD， ∴∠TMQ＝∠GDM＝α， ∴∠GMQ＝∠GMT﹣∠TMQ＝90°﹣3α， ∴； 综上所述，的值为或． 【点评】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义以及角的和差，熟练掌握相关知识是解题的关键． 8．（2024秋•溧阳市期末）已知：如图，直线a∥b，点A，B分别是a，b上的点，APB是a，b之间的一条折线，且∠APB＜90°，Q是a，b之间且在折线APB左侧的一点． （1）若∠1＝30°，∠P＝84°，则∠2＝ 　54　度； （2）若∠Q的一边与PA平行，另一边与PB平行，请探究∠Q，∠1，∠2间满足的数量关系并说明理由； （3）若∠Q的一边与PA垂直，另一边与PB平行，请直接写出∠Q，∠1，∠2之间满足的数量关系． 【分析】（1）图1，过P作PC∥直线a，根据平行线的性质得到∠1＝∠APC，∠2＝∠BPC，于是得到结论； （2）如图2，由已知条件得到四边形MQNP是平行四边形，根据平行四边形的性质得到∠MQN＝∠P＝∠1+∠2，根据平角的定义即可得到结论； （3）由垂直的定义得到∠QEP＝90°，由平行线的性质得到∠QFE＝∠P，根据平角的定义得到结论． 【解答】解：（1）如图，过P作PC∥直线a， ∴PC∥b， ∴∠1＝∠APC，∠2＝∠BPC， ∴∠2＝∠APB﹣∠1＝54°； 故答案为：54； （2）如图，∵QM∥PB，QN∥PA， ∴∠PMQ+∠P＝180°，∠PMQ+∠MQN＝180°， ∴∠MQN＝∠P＝∠1+∠2， ∴∠EQN＝180°﹣∠MQN＝180°﹣∠1﹣∠2； 即∠Q＝∠1+∠2或∠Q＝180°﹣∠1﹣∠2； （3）∵QE⊥AP， ∴∠QEP＝90°， ∵QF∥PB， ∴∠QFE＝∠P， ∴∠EQF＝90°﹣∠QFE＝90°﹣∠1﹣∠2， ∴∠EQG＝180°﹣∠EQF＝90°+∠1+∠2． 【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义，正确的作出图形是解题的关键． 知识点2 平行线的判定与性质 9．（2024秋•丰泽区期末）泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终为（　　） A．270° B．250° C．230° D．180° 【分析】过点B作BG∥AE，根据铅笔模型进行计算，即可解答． 【解答】解：过点B作BG∥AE， ∴∠BAE+∠ABG＝180°， ∵CD∥AE， ∴CD∥BG， ∴∠DCB+∠CBG＝180°， ∴∠BAE+∠ABG+∠DCB+∠CBG＝360°， 即∠DCB+∠CBA+∠BAE＝360°， ∵BA⊥AE， ∴∠BAE＝90°， ∴∠ABC+∠BCD＝270°， 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 10．（2024秋•北林区期末）如图，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠DEB＝2∠ABC；其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义进行判断即可． 【解答】解：∵AF∥CD， ∴∠ABC＝∠ECB，∠EDB＝∠DBF，∠DEB＝∠EBA， ∵BC平分∠ACD，BD平分∠EBF， ∴∠ECB＝∠BCA，∠EBD＝∠DBF＝∠EDB， ∵BC⊥BD， ∴∠EDB+∠ECB＝90°，∠DBE+∠EBC＝90°， ∵∠EDB＝∠DBE， ∴∠ECB＝∠EBC＝∠ABC＝∠BCA， ∴BC平分∠ABE， 故①正确，符合题意； ∵∠EBC＝∠BCA， ∴AC∥BE， 故②正确，符合题意； ∵∠DEB＝∠EBA，∠EBA＝2∠ABC， ∴∠DEB＝2∠ABC， 故③正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键， 11．（2024秋•仁寿县期末）下列说法中不正确的个数是（　　）个． ①和等于180°的两个角互为邻补角；②内错角相等，两直线平行；③线段AC＝BC，则点C为线段AB的中点；④一个锐角的余角一定小于这个角的补角；⑤若两条直线被第三条直线所截，则同位角相等； ⑥相等的角是对顶角． A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】根据邻补角的概念判断①，根据平行线的判定判断②，根据线段中点的概念判断③，根据余角和补角的定义判断④，根据平行线的性质判断⑤，根据对顶角的性质判断⑥． 【解答】解：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角，故①说法不正确，符合题意； 内错角相等，两直线平行，②说法正确，不符合题意； 线段AC＝BC，且点C在线段AB上，则点C为线段AB的中点，故③说法不正确，符合题意； 一个锐角α（0°＜α＜90°）的余角为90°﹣α＜90°，这个锐角的补角为180°﹣α＞90°，∴一个锐角的余角一定小于这个角的补角，④说法正确，不符合题意； 若两条平行直线被第三条直线所截，则同位角相等，故⑤说法不正确，符合题意； 相等的角不一定是对顶角，故⑥说法不正确，符合题意； 不正确的说法共4个， 故选：B． 【点评】本题主要考查对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握平行线的性质、对顶角的定义和性质、邻补角的定义是解题关键． 12．（2024秋•南明区期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，CE平分∠ACD，∠BAC＝50°，当∠MAC为 　65°　时，AM∥CE． 【分析】先利用平行线的性质可得∠ACD＝130°，再利用角平分线的定义可得∠ACB＝65°，然后利用同位角相等，两直线平行，即可解答． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∵∠BAC＝50°， ∴∠ACD＝180°﹣∠BAC＝130°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACB∠ACD＝65°， ∴当∠MAC＝∠ACB＝65°，AM∥CE， 故答案为：65°． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 13．（2024秋•双流区期末）一副三角板按如图所示放置，已知∠ACB＝∠ABD＝90°，∠CBA＝45°，∠BAD＝30°，过点A的直线EF与过点B的直线MN相互平行，设∠CAE＝α，∠DBN＝β，则α，β满足的等量关系式是 　α﹣β＝45°　． 【分析】过点C作CG∥EF，先利用猪脚模型可得∠EAC+∠CBM＝90°，从而可得∠CBM＝90°﹣α，然后利用平角定义可得∴CBM+∠DBN＝45°，从而可得90°﹣α+β＝45°，进而可得α﹣β＝45°． 【解答】解：过点C作CG∥EF， ∴∠EAC＝∠ACG＝α， ∵EF∥NM， ∴CG∥MN， ∴∠CBM＝∠GCB， ∵∠ACB＝∠ACG+∠BCG＝90°， ∴∠EAC+∠CBM＝90°， ∴∠CBM＝90°﹣∠EAC＝90°﹣α， ∵∠CBA＝45°，∠ABD＝90°， ∴∠CBM+∠DBN＝180°﹣∠CBA﹣∠ABD＝45°， ∴90°﹣α+β＝45°， ∴α﹣β＝45°， 故答案为：α﹣β＝45°． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 14．（2024秋•朝阳区期末）如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD于点M、N，MG平分∠BMF，NG平分∠DNE，MH平分∠AMF，下列四个结论中正确的是 　①②④　．（只填序号） ①∠G＝90°；②∠BMG+∠MNG＝90°；③∠HMN＝∠HNM；④MH∥NG． 【分析】根据平行线的判定与性质及三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BMF+∠DNE＝180°， ∵MG平分∠BMF，NG平分∠DNE， ∴∠BMG＝∠GMN∠BMF，∠MNG∠DNE， ∴∠BMG+∠MNG＝∠GMN+∠MNG（∠BMF+∠DNE）＝90°， ∴∠G＝180°﹣（∠GMN+∠GNM）＝90°， 故①②正确，符合题意； ∵NG平分∠DNE，MH平分∠AMF， ∴∠ENG∠DNE，∠HMN∠AMF， ∵AB∥CD， ∴∠AMF＝∠DNE， ∴∠ENG＝∠HMN， ∴MH∥NG， 故④正确，符合题意； 只有∠HMN＝60°时，∠HMN＝∠HNM， 故③错误，不符合题意； 故答案为：①②④． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 15．（2024春•拱墅区期中）小明把一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，固定三角尺ABC，将另一块三角尺DEF，绕公共顶点B按顺时针方向旋转．旋转的度数不超过180度，若两块三角尺有一边平行，则三角尺DEF旋转的度数可能是 　15°或45°或90°或135°　． 【分析】分四种情况讨论，由平行线的性质和旋转的性质可求解． 【解答】解：设旋转的度数为α， 若DE∥AB，则∠E+∠ABE＝180°， ∴∠E＝∠ABE＝90°， ∴α＝90°﹣30°﹣45°＝15°， 若BE∥AC，则∠ABE＝180°﹣∠A＝120°， ∴α＝120°﹣30°﹣45°＝45°， 若BD∥AC，则∠ACB＝∠CBD＝90°， ∴α＝90°， 当点C，点B，点E共线时， ∵AC∥DE， ∴∠ACB＝∠DEB＝90°， ∴α＝180°﹣45°＝135°， 故答案为：15°或45°或90°或135°． 【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 16．（2024春•万全区期末）已知AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点E，F，FG平分∠EFD与直线AB交于点G． （1）如图1，若∠EGF＝26°，则∠AEF的度数是 　52°　． （2）作EM平分∠GEF，交FG于点M． ①如图2，过点G作GN⊥FG，交直线EF于点N，求证：GN∥EM； ②如图3，点P是ME延长线上的一点，连接FP，若2∠CFP＝3∠PFG，请写出∠FPM与∠DFG存在的数量关系（用含等号的式子表示），并说明理由． 【分析】（1）利用平行线性质得到∠EGF＝∠DFG＝26°，利用角平分线性质得到∠EFG＝∠DFG＝26°，再利用平行线性质即可得到∠AEF＝∠EFD＝∠EFG+∠DFG，即可解题； （2）①利用角平分线性质得到∠FEM＝∠GEM∠FEG，∠EFG＝∠DFG∠EFD，进而得到∠EMF＝90°，结合平行线判定定理，即可证明GN∥EM； ②根据题意得到∠PFG∠CFG，再利用三角形内角和定理得到∠FPM＝90°∠CFG，结合∠CFG＝180°﹣∠DFG进行等量代换，即可解题． 【解答】（1）解：∵AB∥CD，∠EGF＝26°， ∴∠EGF＝∠DFG＝26°， ∵FG平分∠EFD， ∴∠EFG＝∠DFG＝26°， ∴∠AEF＝∠EFD＝∠EFG+∠DFG＝26°+26°＝52°． 故答案为：52°． （2）①证明：∵EM平分∠GEF， ∴∠FEM＝∠GEM∠FEG ∵FG平分∠EFD， ∴∠EFG＝∠DFG∠EFD， ∵AB∥CD， ∴∠FEG+∠EFD＝180°， ∴∠FEM+∠EFG（∠FEG+∠EFD）＝90°， ∴EMF＝90°， ∴GN⊥FG， ∴∠NGF＝90°＝∠EMF， ∴GN∥EM； ②解：∠FPM∠DFG+18°， 理由如下：∵2∠CFP＝3∠PFG， ∴∠PFG∠CFG， ∵∠EMF＝90°， ∴∠FPM＝90°∠CFG， ∵∠CFG＝180°﹣∠DFG， ∴∠FPM＝90°（180°﹣∠DFG）∠DFG+18°， ∴∠FPM∠DFG+18°． 【点评】本题考查了平行线性质和判定，角平分线性质，垂线的定义，结合图形进行分析是解题的关键． 17．（2024春•右玉县期末）【发现问题】 数学学习需要多动手勤动脑，“勤奋小组”在数学学习过程中充分利用三角板这一学习工具，发现这一副三角板中有“大学问”．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图1方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°）．当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，将△ACD固定不动，改变△BCE的位置，但始终保持两个三角板的顶点C重合． 【提出问题】 在这个变化过程中，是否存在其中一个三角形的一条边与另一个三角形的一条边平行呢？若存在，求出∠ACE的度数；若不存在，请说明理由． 【分析问题】 “勤奋小组”展开了激烈地讨论，小明同学说：“可以先从一条线段开始思考，比如线段BE”，他画出了图2，当BE∥AC时，你能求出∠ACE的度数吗？ 【解决问题】 （1）如图2，∠ACE的度数是 　45　度． （2）当BC∥DA时，画图并求出∠ACE的度数． （3）这两块三角板是否还存在一组边互相平行的情况，若存在，请画图求出∠ACE的度数，并说明理由． 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，即可得解； （2）根据要求画图，根据平行线的性质求角的度数即可； （3）分BE∥AD，AD∥CE，BE∥CD分别画出图形，利用平行线的性质求出∠ACE的度数即可． 【解答】解：（1）∵BE∥AC， ∴∠ACE＝∠E＝45°； 故答案为：45°； （2）当BC∥DA时，如图，则∠BCD＝∠D＝30°， ∴∠ECD＝∠ECB﹣∠DCB＝60°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠ECD＝30°； （3）存在； ①当BE∥AD时，如图， 过点C作CF∥AD， ∵BE∥AD，CF∥AD， ∴BE∥AD∥CF， ∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°， ∴∠DCE＝30°+45°＝75°， ∴∠ACE＝90°+75°＝165°． ②当AD∥CE时，如图所示： ∵AD∥CE， ∴∠DCE＝∠D＝30°， ∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝120°； ③当BE∥CD时，如图所示： ∵BE∥CD， ∴∠DCE＝∠E＝45°， ∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝135°； 综上分析可知，∠ACE的度数可能是30°或45°或120°或135°或165°． 【点评】本题考查平行线的判定和性质，与三角板有关的计算，关键是平行线判定定理的应用． 18．（2024秋•靖江市期末）如图1，点F在线段AB上，点E在线段CD上，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠D． （1）试说明：AB∥CD； （2）如图2所示，延长AB到M，在∠MBC，∠BCD内部有一点P，连接BP，CP．若∠CBP＝3∠MBP，∠BCP＝3∠DCP，求∠BPC的度数． 【分析】（1）先利用平角定义可得：∠2+∠3＝180°，从而利用同角的余角相等可得∠1＝∠3，然后利用同位角相等，两直线平行可得AE∥DF，从而利用平行线的性质可得∠A＝∠BFD，再利用等量代换可得：∠D＝∠BFD，最后利用内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，即可解答； （2）先利用平行线的性质可得∠MBC+∠DCB＝180°，再利用已知易得：∠CBP∠MBC，∠BCP∠DCB，从而可得∠CBP+∠BCP＝135°，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【解答】解：（1）如图： ∵∠2+∠3＝180°，∠1+∠2＝180°， ∴∠1＝∠3， ∴AE∥DF， ∴∠A＝∠BFD， ∵∠A＝∠D， ∴∠D＝∠BFD， ∴AB∥CD； （2）∵AM∥CD， ∴∠MBC+∠DCB＝180°， ∵∠CBP＝3∠MBP，∠BCP＝3∠DCP， ∴∠CBP∠MBC，∠BCP∠DCB， ∴∠CBP+∠BCP∠MBC∠DCB＝135°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝45°． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 19．（2024秋•鄠邑区期末）如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，AE交BC的延长线于点E． （1）求证：AD∥BE； （2）若∠1＝∠2＝60°，∠BAC＝2∠EAC，求∠B的度数． 【分析】（1）根据平行线的性质定理和判定定理即可得到结论； （2）根据AB∥CD，∠2＝60°，得到∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，进而得出∠CAE+∠BAC＝60°，又根据∠BAC＝2∠EAC，得到∠BAC＝∠ACD＝40°，最后根据平角的定义可求出∠DCE的度数，从而可求得∠B的度数． 【解答】解：（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠DCE， ∵∠B＝∠D， ∴∠DCE＝∠D， ∴AD∥BE； （2）∵AB∥CD，∠2＝60°， ∴∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，∠B＝∠DCE， ∴∠EAC+∠BAC＝60°， ∵∠BAC＝2∠EAC， ∴∠EAC＝20°， ∴∠BAC＝∠ACD＝40°， ∵∠1+∠ACD+∠DCE＝180°， ∴∠DCE＝180°﹣∠1﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°＝80°， ∴∠B＝∠DCE＝80°． 【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练运用定理进行推理是解答此题的关键． 20．（2024秋•南安市期末）玩转三角板．在一副三角板ABC与DEF中，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝60°，∠ACB＝30°，∠EDF＝∠EFD＝45°．将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线PQ，MN之间（点C落在直线PQ上，边DF与直线MN重合，点C，E，A，D在同一条直线上，固定三角板DEF）． （1）如图1，∠BCP的度数为　15°　； （2）如图2，将三角板ABC绕点C逆时针方向旋转，边AC与三角板DEF的边EF相交于点O，试问：∠COF﹣∠ACP的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； （3）在图1的基础上，将三角板ABC绕点C逆时针方向旋转，至边AC与直线PQ首次重合时停止运动．设∠ACD的度数为α°，试探究：在旋转的过程中，当α为何值时，三角板ABC的边AB与三角板DEF的一条边平行？求出符合条件的α的值． 【分析】（1）根据三角板和平行线的性质得出∠BCP的度数； （2）过点O作OG∥PQ，根据平行线的性质得出∠COF﹣∠ACP＝45°； （3）分三种情况进行讨论即可． 【解答】解：（1）∵△ABCD和△DEF为一副三角板， ∴∠EDF＝45°，∠ACB＝30°， ∵PQ∥MN， ∴∠DCP＝∠EDF＝45°， ∴∠BCP＝∠DCP﹣∠ACB＝15°， 故答案为：15°； （2）∠COF﹣∠ACP为定值，∠COF﹣∠ACP＝45°． 理由如下： 过点O作OG∥PQ， ∵PQ∥MN， ∴OG∥PQ∥MN， ∴∠ACP＝∠COG，∠GOF＝∠EFD， ∴∠COF﹣∠ACP＝（∠COG+∠GOF）﹣∠ACP ＝（∠ACP+∠EFD）﹣∠ACP＝∠EFD＝45°， ∴∠COF﹣∠ACP为定值，定值是45°； （3）①当AB∥EF时， 点C，B，E，D在同一条直线上， ∴∠ACD＝∠ACB＝30°， ∴α＝30； ②当AB∥DF时， ∵AB∥DF即AB∥MN， 又∵PQ∥MN， ∴AB∥PQ∥MN， ∴∠DCQ＝180°﹣∠CDF＝180°﹣45°＝135°， ∠ACQ＝∠BAC＝60°， ∴∠ACD＝∠DCQ﹣∠ACQ＝135°﹣60°＝75°， ∴α＝75； ③当AB∥DE时， ∴∠BCD＝∠ABC＝90°， ∴∠ACD＝∠BCD+∠ACB＝90°+30°＝120°， ∴α＝120； 综上，在旋转的过程中，当α＝30或75或120时，三角板ABC的边AB与三角板DEF的一条边平行． 【点评】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 21．（2024秋•新城区期末）如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点G在AB和CD之间． 【习题回顾】 （1）如图1，若∠BEF＝60°，FG是∠EFC的平分线，求∠GFC的度数； 【变式思考】 （2）如图2，连接EG，GF．求证：∠BEG+∠EGF+∠GFD＝360°； 【深入探究】 （3）如图3，连接EG，GF，若∠AEG＝60°，∠GFC＝40°，∠AEG和∠GFC的平分线交于点P，求∠P的度数． 【分析】（1）由AB∥CD，得到∠EFC＝∠BEF，结合已知的角度，得到结果； （2）通过作辅助线，得到AB∥CD∥GH，利用两直线平行，同旁内角互补，得到∠BEG+∠EGH＝180°，∠HGF+∠GFD＝180°，即可得到结果； （3）通过作平行线，得到∠EPM＝∠AEP，∠MPF＝∠PFC，结合角平分线，得到结果． 【解答】（1）解：图1，AB∥CD，∠BEF＝60°， ∴∠EFC＝∠BEF＝60°， ∵FG是∠EFC的平分线， ∴∠GFC∠EFC＝30°； （2）证明：图2，过点G作GF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥GH， ∴∠BEG+∠EGH＝180°，∠HGF+∠GFD＝180°， ∴∠BEG+∠EGH+∠HGF+∠GFD＝360° ∴∠BEG+∠EGF+∠GFD＝360°； （3）解：图3，过点P作PM∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PM， ∴∠EPM＝∠AEP，∠MPF＝∠PFC， ∵PE平分∠AEG，PF平分∠GFC，∠AEG＝60°，∠GFC＝40°， ∴∠AEP∠AEG＝30°，∠PFC∠GFC＝20°， ∴∠EPM＝30°，∠MPF＝20°， ∴∠EPF＝50°． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 22．（2024秋•徐州期末）已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，点P是直线l3上一动点． （1）猜想论证：如图1，当点P在线段CD上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系？并说明理由． 请把下列过程补充完整： 猜想：∠APB＝∠PAC+∠PBD． 证明：过点P作PM∥l1． ∵l1∥l2， ∴　PM∥l2　（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又∵PM∥l1，PM∥l2， ∴∠APM＝∠PAC，　∠BPM　＝∠PBD（　两直线平行，内错角相等　）． ∵∠APB＝∠APM+∠BPM， ∴∠APB＝∠PAC+∠PBD（　等量代换　）． （2）类比探究： ①如图2，当点P在线段CD的延长线上运动时，上述（1）中的结论是否成立？若不成立，请写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P在线段DC的延长线上运动时，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，不必写理由． 【分析】（1）过点P作PM∥l1，根据平行线的性质可得∠APM＝∠PAC，∠BPM＝∠PBD，利用等量代换可得：∠APB＝∠PAC+∠PBD； （2）仿照（1）的证明过程添加辅助线，然后利用平行线的性质证明即可． 【解答】解：（1）∵l1∥l2， ∴PM∥l2（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， 又∵PM∥l1∥l2， ∴∠APM＝∠PAC，∠BPM＝∠PBD（两直线平行内错角相等）， ∵∠APB＝∠APM+∠BPM， ∴∠APB＝∠PAC+∠PBD（等量代换）， 故答案为：PM∥l2，∠BPM，两直线平行，内错角相等，等量代换； （2）①（1）中的结论不成立，∠APB＝∠PAC﹣∠PBD， 理由如下： 如图，过点P作PE∥l1， 由条件可知PE∥l2， 又∵PE∥l1∥l2， ∴∠APE＝∠PAC，∠BPE＝∠PBD， ∴∠APB＝∠PAC﹣∠PBD； ②∠APB＝∠PBD﹣∠PAC， 如下图所示， 过点P作PE∥l1， 由条件可知PE∥l2∥l1， ∴∠APE＝∠PAC，∠BPE＝∠PBD， ∴∠APB＝∠BPE﹣∠APE＝∠PBD﹣∠PAC． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是添加辅助线，利用平行线的性质把两个角转化到同一个顶点的位置． 23．（2024秋•北碚区期末）如图，直线MN∥PQ，点A，C在直线MN上，点B，D在直线PQ上． （1）如图1，若AE⊥AB，且∠EAM+∠CDQ＝90°，求证：AB∥CD；（请写出必要的推理依据） （2）如图2，若AB∥CD，AE⊥AB，AG平分∠EAM，DF平分∠CDB，∠EAG＝20°，求∠CFD的度数． 【分析】（1）由题意，得到∠EAM+∠MAB＝90°，结合两直线平行线，得到∠MAB＝∠ABQ，从而得∠EAM+∠ABQ＝90°，证得结果； （2）由角平分线，得到∠EAM度数，由MN∥PQ，得到∠ABQ的度数，由AB∥CD，得到∠CDB度数，结合角平分线，得到结果． 【解答】（1）证明：∵AE⊥AB（已知）， ∴∠EAB＝90°（垂直的定义）， ∴∠EAM+∠MAB＝90°， ∵MN∥PQ（已知）， ∴∠MAB＝∠ABQ（两直线平行，内错角相等）， ∴∠EAM+∠ABQ＝90°（等量代换）， ∵∠EAM+∠CDQ＝90°（已知）， ∴∠ABQ＝∠CDQ（同角的余角相等）， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）； （2）解：AG平分∠EAM，∠EAG＝20°， ∴∠EAM＝2∠EAG＝40°， ∵AE⊥AB， ∴∠EAB＝90°， ∴∠MAB＝∠EAB﹣∠EAM＝50°， ∵MN∥PQ， ∴∠ABQ＝∠MAB＝50°， ∵AB∥CD， ∴∠ABQ+∠CDB＝180°， ∴∠CDB＝180°﹣50°＝130°， ∵DF平分∠CDB， ∴∠FDB∠CDB＝65°， ∵MN∥PQ， ∴∠CFD＝∠FDB＝65°． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线的应用，熟练平行线的性质是解题的关键． 24．（2024春•青羊区期中）如图1，一副直角三角板如图放置（∠PFE＝∠GHQ＝90°，∠HGQ＝30°，∠PEF＝45°），且直角边GH和EF所在的直线AB、CD互相平行，点G、P、Q在同一直线上． （1）∠GPF的度数是 　120°　； （2）如图2，将三角板PFE以每秒40°的速度绕点P按逆时针方向旋转，当PF垂直AB时，立刻按原速返回；同时三角板GHQ以每秒15°的速度绕点G按逆时针方向旋转，设运动时间为t秒（0＜t＜9）．当GQ⊥PF时，求t的值． 【分析】（1）由HQ∥PF得∠QPE＝∠Q＝60°，故∠GPF＝180°﹣∠Q＝120°． （2）①如图，设GQ旋转后为GQ'，PF旋转后为PF'．则∠QGQ'＝15t，∠FPF'＝40t，∠GPF'＝90°，利用铅笔型∠PRN＝∠AGQ'＝∠AGQ+∠QGQ'＝30+15t，由利用三角形外角计算即可． ②如图，设GQ旋转后为GQ'，PF旋转后为PF'，且PF旋转大于180°到PF'处．得∴∠F'PF＝40t﹣180°，∠AGQ'＝30°+15t，再利用三角形外角计算即可． 【解答】解：（1）∵HQ∥PF， ∴∠QPE＝∠Q＝60°， ∴∠GPF＝180°﹣∠Q＝120°． （2）①如图，设GQ旋转后为GQ'，PF逆时针旋转（小于180°）后为PF'时．GQ′⊥PF′． 则∠QGQ'＝15t，∠FPF'＝40t，∠GPF'＝90°， ∵PF⊥CD， ∴∠PNM＝90﹣40t， ∵AB∥CD， ∴∠PRN＝∠AGQ'＝∠AGQ+∠QGQ'＝30+15t， 由三角形外角∠GPF'＝∠PRN+∠PNM得： 90°＝30+15t+90﹣40t， ∴t＝1.2（秒） ②如图，设GQ旋转后为GQ'，PF 逆时针旋转180°到PK后，立刻按原速返回到到PF'时．GQ′⊥PF′．延长MP交AB于K． ∴∠F'PF＝40t﹣180°，∠AGQ'＝30°+15t， ∵GQ'⊥PF'， ∴∠GPF′＝90°， ∴∠GF′P＝∠AGP﹣∠GPF′＝30°+15t﹣90°＝15t﹣60°， ∵∠MPF′＝∠PKF′+∠GF′P， ∴40t﹣180°＝90°+15t﹣60°， ∵t＝8.4（秒）， 答：t的值为1.2秒或8.4秒． 【点评】本题考查了平行线的知识，掌握平行线的性质是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2.3 平行线的性质必刷提高题（原卷版） 知识点1 平行线的性质 1．（2024秋•沈丘县期末）如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为（　　） A．∠1+∠2﹣∠3 B．∠1+∠3﹣∠2 C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2 D．∠2+∠3﹣∠1﹣180° 2．（2024秋•嵩县期末）如图所示，是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当∠EOF＝90°，∠ODC＝29°时，人躺着最舒服，此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数为（　　） A．119° B．29° C．131° D．120° 3．（2024秋•白云区期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝58°，∠2的度数为（　　） A．32° B．58° C．68° D．122° 4．（2024秋•三水区期末）如图，BG∥CE，BC∥GE，点F在GE上，线段BG的延长线与线段CF的延长线相交于点A．如果∠AGE＝70°，∠FCB：∠FCE＝5：6，求∠CFE的度数（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 6．（2024秋•于洪区期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA，PB等反射以后沿着与EPF平行的方向射出，若∠CAP＝45°，∠APB＝100°，则∠DBP的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．无法确定 7．（2024秋•即墨区期末）图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面1平行，∠BCD＝68°，∠BAC＝57°，AM与CB平行，则∠MAC为（　　） A．55° B．57° C．68° D．125° 8．（2024秋•晋江市期末）如图，AD∥BC，∠BCD的平分线CG交AD于点G． （1）试说明：∠DGC＝∠DCG； （2）如图，线段CG上有一点P，满足∠CDP＝3∠PDG，过点A作AH∥CG交BC于点H． ①若∠BAH＝2∠PDG，试判断AB与AD的位置关系，并说明理由； ②在①的条件下，在射线CG上取一点M，使得∠PDM＝∠BAH，直线DM交直线BC于点Q，求的值． 9．（2024秋•溧阳市期末）已知：如图，直线a∥b，点A，B分别是a，b上的点，APB是a，b之间的一条折线，且∠APB＜90°，Q是a，b之间且在折线APB左侧的一点． （1）若∠1＝30°，∠P＝84°，则∠2＝ 　 　度； （2）若∠Q的一边与PA平行，另一边与PB平行，请探究∠Q，∠1，∠2间满足的数量关系并说明理由； （3）若∠Q的一边与PA垂直，另一边与PB平行，请直接写出∠Q，∠1，∠2之间满足的数量关系． 知识点2 平行线的判定与性质 10．（2024秋•丰泽区期末）泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终为（　　） A．270° B．250° C．230° D．180° 11．（2024秋•北林区期末）如图，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠DEB＝2∠ABC；其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12．（2024秋•仁寿县期末）下列说法中不正确的个数是（　　）个． ①和等于180°的两个角互为邻补角；②内错角相等，两直线平行；③线段AC＝BC，则点C为线段AB的中点；④一个锐角的余角一定小于这个角的补角；⑤若两条直线被第三条直线所截，则同位角相等； ⑥相等的角是对顶角． A．5 B．4 C．3 D．2 13．（2024秋•南明区期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，CE平分∠ACD，∠BAC＝50°，当∠MAC为 　 　时，AM∥CE． 14．（2024秋•双流区期末）一副三角板按如图所示放置，已知∠ACB＝∠ABD＝90°，∠CBA＝45°，∠BAD＝30°，过点A的直线EF与过点B的直线MN相互平行，设∠CAE＝α，∠DBN＝β，则α，β满足的等量关系式是 　 　． 15．（2024秋•朝阳区期末）如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD于点M、N，MG平分∠BMF，NG平分∠DNE，MH平分∠AMF，下列四个结论中正确的是 　 　．（只填序号） ①∠G＝90°；②∠BMG+∠MNG＝90°；③∠HMN＝∠HNM；④MH∥NG． 16．（2024春•拱墅区期中）小明把一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，固定三角尺ABC，将另一块三角尺DEF，绕公共顶点B按顺时针方向旋转．旋转的度数不超过180度，若两块三角尺有一边平行，则三角尺DEF旋转的度数可能是 　 　． 17．（2024春•万全区期末）已知AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点E，F，FG平分∠EFD与直线AB交于点G． （1）如图1，若∠EGF＝26°，则∠AEF的度数是 　 　． （2）作EM平分∠GEF，交FG于点M． ①如图2，过点G作GN⊥FG，交直线EF于点N，求证：GN∥EM； ②如图3，点P是ME延长线上的一点，连接FP，若2∠CFP＝3∠PFG，请写出∠FPM与∠DFG存在的数量关系（用含等号的式子表示），并说明理由． 18．（2024春•右玉县期末）【发现问题】 数学学习需要多动手勤动脑，“勤奋小组”在数学学习过程中充分利用三角板这一学习工具，发现这一副三角板中有“大学问”．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图1方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°）．当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，将△ACD固定不动，改变△BCE的位置，但始终保持两个三角板的顶点C重合． 【提出问题】 在这个变化过程中，是否存在其中一个三角形的一条边与另一个三角形的一条边平行呢？若存在，求出∠ACE的度数；若不存在，请说明理由． 【分析问题】 “勤奋小组”展开了激烈地讨论，小明同学说：“可以先从一条线段开始思考，比如线段BE”，他画出了图2，当BE∥AC时，你能求出∠ACE的度数吗？ 【解决问题】 （1）如图2，∠ACE的度数是 　 　度． （2）当BC∥DA时，画图并求出∠ACE的度数． （3）这两块三角板是否还存在一组边互相平行的情况，若存在，请画图求出∠ACE的度数，并说明理由． 19．（2024秋•靖江市期末）如图1，点F在线段AB上，点E在线段CD上，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠D． （1）试说明：AB∥CD； （2）如图2所示，延长AB到M，在∠MBC，∠BCD内部有一点P，连接BP，CP．若∠CBP＝3∠MBP，∠BCP＝3∠DCP，求∠BPC的度数． 20．（2024秋•鄠邑区期末）如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，AE交BC的延长线于点E． （1）求证：AD∥BE； （2）若∠1＝∠2＝60°，∠BAC＝2∠EAC，求∠B的度数． 21．（2024秋•南安市期末）玩转三角板．在一副三角板ABC与DEF中，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝60°，∠ACB＝30°，∠EDF＝∠EFD＝45°．将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线PQ，MN之间（点C落在直线PQ上，边DF与直线MN重合，点C，E，A，D在同一条直线上，固定三角板DEF）． （1）如图1，∠BCP的度数为　 　； （2）如图2，将三角板ABC绕点C逆时针方向旋转，边AC与三角板DEF的边EF相交于点O，试问：∠COF﹣∠ACP的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； （3）在图1的基础上，将三角板ABC绕点C逆时针方向旋转，至边AC与直线PQ首次重合时停止运动．设∠ACD的度数为α°，试探究：在旋转的过程中，当α为何值时，三角板ABC的边AB与三角板DEF的一条边平行？求出符合条件的α的值． 22．（2024秋•新城区期末）如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点G在AB和CD之间． 【习题回顾】 （1）如图1，若∠BEF＝60°，FG是∠EFC的平分线，求∠GFC的度数； 【变式思考】 （2）如图2，连接EG，GF．求证：∠BEG+∠EGF+∠GFD＝360°； 【深入探究】 （3）如图3，连接EG，GF，若∠AEG＝60°，∠GFC＝40°，∠AEG和∠GFC的平分线交于点P，求∠P的度数． 23．（2024秋•徐州期末）已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，点P是直线l3上一动点． （1）猜想论证：如图1，当点P在线段CD上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系？并说明理由． 请把下列过程补充完整： 猜想：∠APB＝∠PAC+∠PBD． 证明：过点P作PM∥l1． ∵l1∥l2， ∴　 　（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又∵PM∥l1，PM∥l2， ∴∠APM＝∠PAC，　 　＝∠PBD（　 　）． ∵∠APB＝∠APM+∠BPM， ∴∠APB＝∠PAC+∠PBD（　 　）． （2）类比探究： ①如图2，当点P在线段CD的延长线上运动时，上述（1）中的结论是否成立？若不成立，请写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P在线段DC的延长线上运动时，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，不必写理由． 24．（2024秋•北碚区期末）如图，直线MN∥PQ，点A，C在直线MN上，点B，D在直线PQ上． （1）如图1，若AE⊥AB，且∠EAM+∠CDQ＝90°，求证：AB∥CD；（请写出必要的推理依据） （2）如图2，若AB∥CD，AE⊥AB，AG平分∠EAM，DF平分∠CDB，∠EAG＝20°，求∠CFD的度数． 25．（2024春•青羊区期中）如图1，一副直角三角板如图放置（∠PFE＝∠GHQ＝90°，∠HGQ＝30°，∠PEF＝45°），且直角边GH和EF所在的直线AB、CD互相平行，点G、P、Q在同一直线上． （1）∠GPF的度数是 　 　； （2）如图2，将三角板PFE以每秒40°的速度绕点P按逆时针方向旋转，当PF垂直AB时，立刻按原速返回；同时三角板GHQ以每秒15°的速度绕点G按逆时针方向旋转，设运动时间为t秒（0＜t＜9）．当GQ⊥PF时，求t的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$