7.2.1-7.2.2平行线的概念及及平行线的判定-2024-2025学年七年级数学下必刷基础题及提高题（新人教版）

7.2.1-7.2.2平行线的概念及及平行线的判定必刷基础题（原卷版） 知识点1 平行线 1．（2024春•招远市期末）同一平面内不重合的两条直线的位置关系有（　　） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行 2．（2024春•武威月考）下列四边形中，AB不平行于CD的是（　　） A． B． C． D． 3．（原创题）如图所示，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图是在书写字母“M”： （1）请从正面，上面，右侧三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； （2）EF与A′B′有何位置关系，CC′与DH有何位置关系？ 4．（2023春•宝山区期末）（1）补全的图形，使之成为长方体ABCD﹣A1B1C1D1的直观图，并标出顶点的字母； （2）联结AC、A1C1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与平面AA1C1C平行的棱为 　 　． 知识点2 平行公理及推论 5．（2024春•端州区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．a、b、c是直线，若a⊥b，b∥c，则a∥c B．a、b、c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．a、b、c是直线，若a∥b，b⊥c，则a∥c D．a、b、c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c 6．（2024春•东阳市月考）在同一平面内有a，b，c三条直线，若a∥b，且a与c相交，那么b与c的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定 7．（2023春•武威期末）下列说法中错误的个数是（　　） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交，平行两种；（4）不相交的两条直线叫做平行线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．设a、b、c为平面上三条不同直线， （1）若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是 　 　； （2）若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是 　 　． 9．（2024•常州）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是（　　） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 10．（2023春•安达市校级期中）如图，AB∥CD，过点E画EF∥AB，则EF与CD的位置关系是　 　，理由是　 ． 11．（2023秋•郏县期末）如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是　 ． 12．（2022春•环江县期中）如图，AB∥CD，CD∥EF，BC∥ED，∠B＝70°，求∠C，∠D和∠E的度数． 13．（2023春•东莞市校级月考）如图1，已知AC∥BD，点P是直线AC，BD间的一点，连接AB，AP，BP，过点P作直线MN∥AC． （1）MN与BD的位置关系是什么，请说明理由； （2）试说明∠APB＝∠PBD+∠PAC； （3）如图2，当点P在直线AC上方时，（2）中的三个角的数量关系是否仍然成立？如果成立，试说明理由；如果不成立，试探索它们存在的关系，并说明理由． 知识点3 平行线的判定 14．（2024秋•鼓楼区校级期末）下列说法正确的是（　　） A．过同一平面内三点中任意两点，最多画3条直线 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平角是一条直线 15．（2024春•东港市期末）如图，下列条件：①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠4＝∠5，④∠2+∠4＝180°中，能判断直线l1∥l2的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（2024秋•金凤区校级期末）如图，下列选项提供的条件中，不能判断AB∥CD的是（　　） A．∠DCA＝∠CAF B．∠C＝∠EDB C．∠BAC+∠C＝180° D．∠GDE+∠B＝180° 17．（2024秋•南山区期末）如图，将生活中的竹篱笆局部抽象成几何图形，下列条件中能判断直线a∥b的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠4 D．∠4＝∠5 18．（2024秋•康平县期末）如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件： ①∠1＝∠3；②∠2+∠5＝180°； ③∠4＝∠B；④∠D+∠BCD＝180°． 其中能判断AD∥BC的是（　　） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 19．（2023春•平城区校级月考）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝100°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为（　　）时，CD与AB平行．（　　） A．4秒 B．10秒 C．40秒 D．4或40秒 20．（2024春•江陵县期末）将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠2＝2∠1；②∠1+∠2＝90°；③∠1＝25°，∠2＝55°；④∠ABC＝∠2﹣∠1；⑤∠ACB＝∠1+∠3；能判断直线m∥n的有 　 　．（填序号） 21．（2024秋•北京校级期末）已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．试说明：AB∥DC．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由） 解：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知）， ∴∠1∠ABC，∠2∠ADC （ 　 ）， ∵∠ABC＝∠ADC （ 　）， ∴∠　 　＝∠　 　（等量代换）． ∵∠1＝∠3 （ 　 　）， ∴∠2＝∠　3　（ 　 　）． ∴　 　∥　 　（ 　 　）． 22．（2024秋•昆都仑区期末）如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，并且∠1＝∠2．说出图中哪些直线互相平行，并说明理由， 22．（2024秋•苏家屯区校级期末）如图，直线AB、CD交于点O，OE，OF分别平分∠AOD和∠BOD，已知∠1+∠2＝90°，且∠1：∠3＝1：8．（注：∠1＝∠AOE，∠2＝∠OFE，∠3＝∠AOC） （1）求∠AOF的度数； （2）求证：AB∥EF． 23．（2024秋•中牟县期末）综合与实践 学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，李凯和张芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中∠A＝∠B＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°． （1）操作判断 若∠DCB＝55°，则∠ACE＝ 　 　；若∠ACE＝158°，则∠DCB＝ 　 　； （2）性质探究 由（1）猜想∠ACE与∠DCB的数量关系，并证明你的猜想； （3）拓展应用 当∠BCE＜180°且点B在直线CE的上方时，这两个三角尺存在一组边互相平行，请直接写出∠BCE所有可能的度数（不必说明理由）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2.1-7.2.2平行线的概念及及平行线的判定必刷基础题（解析版） 知识点1 平行线 1．（2024春•招远市期末）同一平面内不重合的两条直线的位置关系有（　　） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行 【思路引领】根据同一平面内的直线有相交与平行两种位置关系即可解答． 【完整解答】解：同一平面内的两直线只有相交与平行两种位置关系． 故选：B． 【总结提升】本题考查了直线的位置关系，垂直是相交的特殊情况，这也是同学们容易出错的地方． 2．（2024春•武威月考）下列四边形中，AB不平行于CD的是（　　） A． B． C． D． 【思路引领】A是平行四边形，B是梯形，C是正方形．D是一般的四边形，AB不平行于CD． 【完整解答】解：因为A、B、C都是特殊的四边形，正确； 故选：D． 【总结提升】本题考查常见的几种特殊四边形的边的关系． 3．（原创题）如图所示，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图是在书写字母“M”： （1）请从正面，上面，右侧三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； （2）EF与A′B′有何位置关系，CC′与DH有何位置关系？ 【思路引领】（1）正面AE、MF、NG、DH是平行的，MP、QB平行，PN、CQ平行；上面AA′、BB′、CC′、DD′相互平行，AB、A′B′、CD、C′D′平行；右侧HR、DD′平行，HD、RD′平行； （2）EF与A′B′都与AB平行，所以平行；CC′与DD′平行，DD′与DH垂直，因为它们不在同一平面内，所以是异面垂直． 【完整解答】解：（1）正面：AB∥EF；上面：A′B′∥AB；右侧：DD′∥HR； （2）EF∥A′B′，CC′⊥DH． 【总结提升】本题主要考查同一平面内两直线平行及垂直关系．能从复杂的图形中找出同向线段，就要求同学们练就一双慧眼，这与平时的努力是密不可分的． 4．（2023春•宝山区期末）（1）补全的图形，使之成为长方体ABCD﹣A1B1C1D1的直观图，并标出顶点的字母； （2）联结AC、A1C1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与平面AA1C1C平行的棱为 　DD1、BB1　． 【思路引领】（1）根据长方体图形的画法即可补全图形； （2）根据（1）所画图形，可得答案． 【完整解答】解：（1）如图即为补全的图形； （2）连结AC、A1C1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与平面AA1C1C平行的棱有DD1、BB1． 故答案为：DD1、BB1． 【总结提升】本题考查了平行线、认识立体图形，解决本题的关键是掌握平行线． 知识点2 平行公理及推论 5．（2024春•端州区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．a、b、c是直线，若a⊥b，b∥c，则a∥c B．a、b、c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．a、b、c是直线，若a∥b，b⊥c，则a∥c D．a、b、c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c 【思路引领】根据平行线的性质和判定逐个判断即可． 【完整解答】解：A、∵a⊥b，b∥c， ∴a⊥c，故本选项错误； B、在同一平面内，当a⊥b，b⊥c时，a∥c，故本选项错误； C、当a∥b，b⊥c时，a⊥c，故本选项错误； D、当a∥b，b∥c时，a∥c，故选项正确； 故选：D． 【总结提升】本题考查了平行公理和推论，平行线的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行判断是解此题的关键，此题比较好，但是比较容易出错． 6．（2024春•东阳市月考）在同一平面内有a，b，c三条直线，若a∥b，且a与c相交，那么b与c的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定 【思路引领】根据平行于同一条直线的两条直线平行，进行判断即可． 【完整解答】解：若a∥b，且a与c相交， ∴b与c相交， 故选：B． 【总结提升】本题考查平行公理，解题的关键是正确推理． 7．（2023春•武威期末）下列说法中错误的个数是（　　） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交，平行两种；（4）不相交的两条直线叫做平行线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路引领】分别利用平行线的性质、垂线的性质、两直线的位置关系、平行线的定义判断后即可确定正确的选项． 【完整解答】解：（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，原来的说法错误； （2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原来的说法错误； （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交，平行两种，原来的说法正确； （4）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，原来的说法错误． 故说法中错误的个数是3个． 故选：C． 【总结提升】本题考查了平行公理及推论，垂线，平行线的知识，解题的关键是了解平行线的性质、垂线的性质、两直线的位置关系、平行线的定义，难度不大． 8．设a、b、c为平面上三条不同直线， （1）若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是 　a∥c　； （2）若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是 　a∥c　． 【思路引领】（1）根据平行公理，平行于同一直线的两直线互相平行解答； （2）根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行解答． 【完整解答】解：（1）∵a∥b，b∥c， ∴a∥c； （2）∵a、b、c为平面上三条不同直线，a⊥b，b⊥c， ∴a∥c． 故答案为：a∥c，a∥c． 【总结提升】本题考查了平行公理的推论及平行线的判定，注意：只有在同一平面内，垂直于同一直线的两直线才互相平行． 9．（2024•常州）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是（　　） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【思路引领】根据垂线段最短判断即可． 【完整解答】解：F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是垂线段最短． 故选：A． 【总结提升】本题主要考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短的性质是解答本题的关键． 10．（2023春•安达市校级期中）如图，AB∥CD，过点E画EF∥AB，则EF与CD的位置关系是　EF∥CD　，理由是　平行于同一直线的两直线互相平行　． 【思路引领】根据平行公理解答． 【完整解答】解：EF与CD的位置关系是EF∥CD， 理由是：平行于同一直线的两直线互相平行． 故答案为：EF∥CD；平行于同一直线的两直线互相平行． 【总结提升】本题考查了平行公理，是基础题，熟记公理是解题的关键． 11．（2023秋•郏县期末）如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是　经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行　． 【思路引领】直接利用平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，得出即可． 【完整解答】解：∵MC∥AB，NC∥AB，∴点M，C，N在同一条直线上， 理由是：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【总结提升】此题主要考查了平行公理，熟练掌握平行公理是解题关键． 12．（2022春•环江县期中）如图，AB∥CD，CD∥EF，BC∥ED，∠B＝70°，求∠C，∠D和∠E的度数． 【思路引领】由平行线的性质可判断∠E＝∠D，∠D与∠C互补，∠C＝∠B，则可求得结果． 【完整解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠C＝∠B＝70°，∠E＝∠D， 又∵BC∥DE， ∴∠C+∠D＝180°， ∴∠B+∠E＝180°， ∴∠E＝110°． 答：∠C，∠D和∠E的度数分别是70°、110°、110°． 【总结提升】本题考查平行公理的推论，平行线的性质．解题的关键是掌握平行公理的推论和平行线的性质，平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补、内错角相等． 13．（2023春•东莞市校级月考）如图1，已知AC∥BD，点P是直线AC，BD间的一点，连接AB，AP，BP，过点P作直线MN∥AC． （1）MN与BD的位置关系是什么，请说明理由； （2）试说明∠APB＝∠PBD+∠PAC； （3）如图2，当点P在直线AC上方时，（2）中的三个角的数量关系是否仍然成立？如果成立，试说明理由；如果不成立，试探索它们存在的关系，并说明理由． 【思路引领】（1）根据平行于同一条直线的两直线平行可得MN∥BD； （2）首先根据平行线的性质可得∠PBD＝∠1，∠PAC＝∠2，进而得到∠APB＝∠1+∠2＝∠PBD+∠PAC； （3）不成立．过点P作PQ∥AC，根据平行线的性质可得∠PAC＝∠APQ，∠PBD＝∠BPQ，进而得到∠APB＝∠BPQ﹣∠APQ＝∠PBD﹣∠PAC． 【完整解答】解：（1）平行； 理由如下： ∵AC∥BD，MN∥AC， ∴MN∥BD； （2）∵AC∥BD，MN∥BD， ∴∠PBD＝∠1，∠PAC＝∠2， ∴∠APB＝∠1+∠2＝∠PBD+∠PAC． （3）答：不成立． 它们的关系是∠APB＝∠PBD﹣∠PAC． 理由是：如图2，过点P作PQ∥AC， ∵AC∥BD， ∴PQ∥AC∥BD， ∴∠PAC＝∠APQ，∠PBD＝∠BPQ， ∴∠APB＝∠BPQ﹣∠APQ＝∠PBD﹣∠PAC． 【总结提升】此题主要考查了平行线的判定与性质．解题的关键是掌握两直线平行内错角相等，理清图中角之间的和差关系． 知识点3 平行线的判定 14．（2024秋•鼓楼区校级期末）下列说法正确的是（　　） A．过同一平面内三点中任意两点，最多画3条直线 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平角是一条直线 【思路引领】由平行线的判定，直线的性质，平行公理及推论，平角定义，即可判断． 【完整解答】解：A、说法正确，故A符合题意； B、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故B不符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故C不符合题意； D、平角的两条边构成一条直线，不能说平角是一条直线，故D不符合题意． 故选：A． 【总结提升】本题考查平行线的判定，直线的性质，平行线，平行公理及推论，关键是掌握以上知识点． 15．（2024春•东港市期末）如图，下列条件：①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠4＝∠5，④∠2+∠4＝180°中，能判断直线l1∥l2的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路引领】利用平行线的判定方法判断即可得到结果． 【完整解答】解：∵∠1＝∠3， ∴l1∥l2； ∵∠4＝∠5， ∴l1∥l2； ∵∠2+∠4＝180°， ∴l1∥l2， 则能判断直线l1∥l2的有3个． 故选：C． 【总结提升】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 16．（2024秋•金凤区校级期末）如图，下列选项提供的条件中，不能判断AB∥CD的是（　　） A．∠DCA＝∠CAF B．∠C＝∠EDB C．∠BAC+∠C＝180° D．∠GDE+∠B＝180° 【思路引领】根据平行线的判定定理求解即可． 【完整解答】解：∵∠DCA＝∠CAF， ∴AB∥CD， 故A不符合题意； ∵∠C＝∠EDB， ∴AC∥BD， 故B符合题意； ∵∠BAC+∠C＝180°， ∴AB∥CD， 故C不符合题意； ∵∠GDE+∠B＝180°，∠GDE+∠BDE＝180°， ∴∠B＝∠BDE， ∴AB∥CD， 故D不符合题意； 故选：B． 【总结提升】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 17．（2024秋•南山区期末）如图，将生活中的竹篱笆局部抽象成几何图形，下列条件中能判断直线a∥b的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠4 D．∠4＝∠5 【思路引领】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【完整解答】解：由∠1＝∠2，不能判定a∥b， 故A不符合题意； ∵∠2＝∠3， ∴a∥b， 故B符合题意； 由∠3＝∠4，不能判定a∥b， 故C不符合题意； 由∠4＝∠5，不能判定a∥b， 故D不符合题意； 故选：B． 【总结提升】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 18．（2024秋•康平县期末）如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件： ①∠1＝∠3；②∠2+∠5＝180°； ③∠4＝∠B；④∠D+∠BCD＝180°． 其中能判断AD∥BC的是（　　） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 【思路引领】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可． 【完整解答】解：①∵∠1＝∠3，∴AD∥BC； ②∵∠2+∠5＝180°，∵∠5＝∠AGC，∴∠2+∠AGC＝180°，∴AB∥DC； ③∵∠4＝∠B，∴AB∥DC； ④∵∠D+∠BCD＝180°，∴AD∥BC． 故选：B． 【总结提升】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 19．（2023春•平城区校级月考）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝100°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为（　　）时，CD与AB平行．（　　） A．4秒 B．10秒 C．40秒 D．4或40秒 【思路引领】分情况讨论：①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【完整解答】解：如图①，AB与CD在EF的两侧时， ∵∠BAF＝100°，∠DCF＝60°， ∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝100°﹣t°， 要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAC， 即120°﹣（6t）°＝100°﹣t°， 解得：t＝4； 此时（180°﹣60°）÷6＝20， ∴0＜t＜20； ②CD旋转到与AB都在EF的右侧时， ∵∠DCF＝360°﹣6t°﹣60°＝300°﹣6t°，∠BAC＝100°﹣t°， 要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC， 即300°﹣（6t）°＝100°﹣t°， 解得：t＝40， 此时（360°﹣60°）÷6＝50， ∴20＜t＜50； ③CD旋转到与AB都在EF的左侧时， ∴∠DCF＝6t°﹣（180°﹣60°+180°）＝6t°﹣300°，∠BAC＝t°﹣100°， 要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC， 即（6t）°﹣300°＝t°﹣100°， 解得：t＝40， 此时t＞50， 而40＜50， ∴此情况不存在． 综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，CD与AB平行． 故选：D． 【总结提升】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论． 20．（2024春•江陵县期末）将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠2＝2∠1；②∠1+∠2＝90°；③∠1＝25°，∠2＝55°；④∠ABC＝∠2﹣∠1；⑤∠ACB＝∠1+∠3；能判断直线m∥n的有 　③④⑤　．（填序号） 【思路引领】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题． 【完整解答】解：∵∠2＝2∠1，∠ABC＝30°， ∴∠1+∠ABC不一定等于∠2， ∴m和n不一定平行，故①不符合题意； ∵∠1+∠2＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠1+∠ABC不一定等于∠2， ∴m和n不一定平行，故②不符合题意； ∵∠1＝25°，∠2＝55°，∠ABC＝30°， ∴∠ABC+∠1＝55°＝55°＝∠2， ∴m∥n，故③符合题意； ∵∠ABC＝∠2﹣∠1， ∴∠2＝∠ABC+∠1， ∴m∥n，故④符合题意； 过点C作CE∥m， ∴∠3＝∠4， ∵∠ACB＝∠1+∠3，∠ACB＝∠4+∠5， ∴∠1＝∠5， ∴EC∥n， ∴m∥n，故⑤符合题意； 故答案为：③④⑤． 【总结提升】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21．（2024秋•北京校级期末）已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．试说明：AB∥DC．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由） 解：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知）， ∴∠1∠ABC，∠2∠ADC （ 　角平分线的定义　）， ∵∠ABC＝∠ADC （ 　已知　）， ∴∠　1　＝∠　2　（等量代换）． ∵∠1＝∠3 （ 　已知　）， ∴∠2＝∠　3　（ 　等量代换　）． ∴　AB　∥　DC　（ 　内错角相等，两直线平行　）． 【思路引领】首先根据角平分线定义可得∠1∠ABC，∠2∠ADC，根据等式的性质可得∠1＝∠2，再由条件∠1＝∠3可得∠2＝∠3，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD． 【完整解答】证明：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，（已知） ∴∠1∠ABC，∠2∠ADC （角平分线定义） 又∵∠ABC＝∠ADC（已知） ∴∠1＝∠2（等量代换）， 又∵∠1＝∠3（已知）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴AB∥DC （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；AB，DC，内错角相等，两直线平行． 【总结提升】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握内错角相等，两直线平行． 22．（2024秋•昆都仑区期末）如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，并且∠1＝∠2．说出图中哪些直线互相平行，并说明理由， 【思路引领】依据PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，即可得到∠GPQ＝∠1∠BPQ，∠HQP＝∠2∠CQP，依据∠1＝∠2，可得∠GPQ＝∠HQP，∠BPQ＝∠CQP，进而得出QH∥PG，AB∥CD． 【完整解答】解：AB∥CD，QH∥PG． 理由：∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP， ∴∠GPQ＝∠1∠BPQ，∠HQP＝∠2∠CQP， ∵∠1＝∠2， ∴∠GPQ＝∠HQP，∠BPQ＝∠CQP， ∴QH∥PG，AB∥CD． 【总结提升】本题考查的是平行线的判定定理，解决问题的关键是运用：内错角相等，两直线平行． 23．（2024秋•苏家屯区校级期末）如图，直线AB、CD交于点O，OE，OF分别平分∠AOD和∠BOD，已知∠1+∠2＝90°，且∠1：∠3＝1：8．（注：∠1＝∠AOE，∠2＝∠OFE，∠3＝∠AOC） （1）求∠AOF的度数； （2）求证：AB∥EF． 【思路引领】（1）根据角平分线定义得到∠1＝∠OEDAOD，∠FODBOD，设∠1＝α，∠3＝8α，根据平角的定义得到α＝18°，求得∠1＝18°，于是得到结论； （2）根据余角的性质和平行线的判定定理即可得到结论． 【完整解答】（1）解：∵OE，OF分别平分∠AOD和∠BOD， ∴∠1＝∠EODAOD，∠FODBOD， ∵∠AOB＝180°， ∴∠EOD+∠FODAOB＝90°， ∵∠1：∠3＝1：8， ∴设∠1＝α，∠3＝8α， ∴α+α+8α＝180°， ∴α＝18°， ∴∠1＝18°， ∴∠AOF＝18°+90°＝108°； （2）证明：∵∠EOF＝90°， ∴∠2+∠E＝90°， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠1＝∠E， ∴AB∥EF． 【总结提升】本题考查了平行线的判定，角平分线定义，正确的识别图形是解题的关键． 24．（2024秋•中牟县期末）综合与实践 学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，李凯和张芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中∠A＝∠B＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°． （1）操作判断 若∠DCB＝55°，则∠ACE＝ 　125°　；若∠ACE＝158°，则∠DCB＝ 　22°　； （2）性质探究 由（1）猜想∠ACE与∠DCB的数量关系，并证明你的猜想； （3）拓展应用 当∠BCE＜180°且点B在直线CE的上方时，这两个三角尺存在一组边互相平行，请直接写出∠BCE所有可能的度数（不必说明理由）． 【思路引领】（1）根据∠DCB和∠ACD的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠ACE和∠ACD求得∠DCB的度数； （2）根据∠ACD＝90°﹣∠DCB，以及∠BCE＝90°﹣∠DCB，进行计算即可得出结论； （3）分五种情况进行讨论：当CB∥DE时，当AC∥DE时，当AB∥DE时，当AB∥CD时，当AB∥CE时，分别求得∠BCE的度数． 【完整解答】解：（1）∵∠DCB＝55°，∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝35°， ∵∠DCE＝90°， ∴∠ACE＝90°+35°＝125°； ∵∠ACD＝∠ACE﹣90°＝158°﹣90°＝68°， ∠DCB＝90°﹣68°＝22°． 故答案为：125°，22°． （2）猜想：∠ACE+∠DCB＝180°． 理由如下：∵∠ACD＝90°﹣∠DCB， 又∵∠BCE＝90°﹣∠DCB， ∴∠ACE＝∠ACD+∠BCE+∠DCB ＝90°﹣∠DCB+90°﹣∠DCB+∠DCB ＝180°﹣∠DCB， 即∠ACE+∠DCB＝180°． （3）存在，30°、45°、120°、135°、165°． 理由：当CB∥DE时，∠BCE＝120°； 当AC∥DE时，∠BCE＝30°； 当AB∥DE时，∠BCE＝165°； 当AB∥CD时，∠BCE＝135°； 当AB∥CE时，∠BCE＝45°． 【总结提升】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的定理和角之间的数量关系是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$