精品解析：安徽省亳州市普通高中2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题

亳州市普通高中2024-2025学年度第一学期高二期末质量检测 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线的一条渐近线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. 20 D. 60 3. 若向量，，共面，则（ ） A. 6 B. C. 30 D. 4. 已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为5，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 已知直线与平行，则（ ） A. 或3 B. 0或3 C. 0或 D. 或0或3 6. 某学校门口有3辆A公司的共享单车，4辆B公司的共享单车，5名同学从这7辆车中各选1辆骑行，同品牌的车因编号不同也视作不同的车，若没有被选到的两辆车是同一公司的，则这5名同学选择共享单车的方法种数为（ ） A. 180 B. 360 C. 720 D. 1080 7. 已知点，到直线的距离分别为和，若这样的直线恰有两条，则的取值范围是（ ） A. （5，9） B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上且位于第一象限，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则（ ） A. B. 的最大值为4 C. 的最大值为3 D. 的最小值为 10. 已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，底面，，，点满足，其中，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若点到点，，，的距离相等，则 B. 若，则长度的最小值为 C. 若，则长度的最大值为2 D. 若，则点的轨迹的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为__________. 12. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点（在轴上方），且，则直线的斜率为__________. 13. 若满足能被5整除的的最小值为，设，，则方程表示的不同直线的条数为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知椭圆经过点，且离心率为. （1）求的方程； （2）若直线与交于点，，求. 15. 已知直线和圆. （1）若直线与垂直，且经过圆的圆心，求的方程； （2）若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求的最小值. 16. 如图，在四棱锥中，，，两两垂直，，，. （1）若，求直线与平面所成角的正弦值； （2）若平面平面，求. 17. 设. （1）求； （2）若是，，，，中唯一的最大值，求的所有可能取值； （3）若，求. 18. 如图，过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与交于，两点，线段是的虚轴，四边形是面积为的矩形. （1）求的方程； （2）设是上任意一点，直线与交于点，直线与交于点，证明：； （3）过的左焦点的直线与交于，两点，以为直径的圆被直线截得的劣弧为，若直线变化时，劣弧所对的圆心角大小为定值，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 亳州市普通高中2024-2025学年度第一学期高二期末质量检测 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线的一条渐近线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程可知，，且焦点在x轴上，即可得渐近线方程. 【详解】在双曲线方程中，，，且焦点在x轴上， 所以其一条渐近线的方程为，即. 故选：A. 2. 的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. 20 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理直接列式求出常数项. 【详解】的展开式中的常数项为. 故选：D 3. 若向量，，共面，则（ ） A. 6 B. C. 30 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理，列式求出，进而求出向量的模. 【详解】由，，共面，得存在实数，，使得，则，解得， 所以. 故选：B 4. 已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为5，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等即可得到结果. 【详解】由题意知C的准线为，因为P到直线的距离为5，所以P到直线的距离为3，即. 故选：A 5. 已知直线与平行，则（ ） A. 或3 B. 0或3 C. 0或 D. 或0或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据两条直线平行的条件，列式计算并验证得解. 【详解】由直线与平行，得， 解得或或，当时，两直线重合，不符合题意； 或符合题意，所以或. 故选：B 6. 某学校门口有3辆A公司的共享单车，4辆B公司的共享单车，5名同学从这7辆车中各选1辆骑行，同品牌的车因编号不同也视作不同的车，若没有被选到的两辆车是同一公司的，则这5名同学选择共享单车的方法种数为（ ） A. 180 B. 360 C. 720 D. 1080 【答案】D 【解析】 【分析】分类和分步计数原理即可求得结果. 【详解】若没有被选到的两辆车是同一公司的，则A公司的选1辆或全选，所以这5名同学选择共享单车的方法种数为. 故选：D 7. 已知点，到直线的距离分别为和，若这样的直线恰有两条，则的取值范围是（ ） A. （5，9） B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，查得以A为圆心，为半径的圆与以B为圆心，为半径的圆的两圆相交，再借助两点间距离公式列式求解. 【详解】恰好存在两条直线，使得点A，B到的距离分别为和， 以A为圆心，为半径的圆，以B为圆心，为半径的圆，这两圆有两条公切线， 因此这两个圆相交，即，而， 则，解得或， 所以的取值范围是. 故选：C 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上且位于第一象限，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点，联立直线与的方程求出，同理求出，代入并借助基本不等式求出最大值. 【详解】椭圆的焦点，设， 直线的方程为：，由消去， 得，则，同理， 因此. ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则（ ） A. B. 的最大值为4 C. 的最大值为3 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程求出长短半轴长及半焦距，再结合椭圆定义及余弦定理逐项判断. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，C正确； 对于D， ，当且仅当时取等号，D错误. 故选：BC 10. 已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，底面，，，点满足，其中，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若点到点，，，的距离相等，则 B. 若，则长度的最小值为 C. 若，则长度的最大值为2 D. 若，则点的轨迹的长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：若点P到点B，，D，的距离相等，则点P在经过对角面的中心，且垂直于平面的直线上，计算即可.选项B:长度的最小值为点到平面的距离,计算即可，选项C：若，则点P在上及其内部，长度的最大值为，选项D:若，则点在平面内，且在以为圆心，半径为1的圆弧上，这段圆弧的长度为，故D正确. 【详解】对于A，若点P到点B，，D，的距离相等， 则点P在经过对角面的中心，且垂直于平面的直线上， 分别取，的中点，， 连接，如图（1），则点P在线段上，则，， 所以，故A正确； 对于B，若，则点在上及其内部， 如图（2）， 则长度的最小值为点到平面的距离， 设为与的交点，则所求距离转化为点到直线的距离， 易知为等腰直角三角形，所以，故B正确； 对于C，若，则点P在上及其内部， 如图（3）， 则长度的最大值为，，中的一个，计算可得，， 所以长度的最大值为，故C错误； 对于D，若，则， 所以， 所以，所以， 则点在平面内，且在以为圆心，半径为1的圆弧上，这段圆弧的长度为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用向量的几何意义，得到具体的几何关系进行求解是关键，方法点睛：几何与代数的结合求解是关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的点的性质分析求解. 【详解】因为，所以点A到y轴的距离为. 故答案为：. 12. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点（在轴上方），且，则直线的斜率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，作出几何图形，借助图形并结合抛物线的定义求解即得. 【详解】过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为D，E， 过A作直线的垂线，垂足为， 依题意，，， 由，得，， 因此，即， 所以的斜率为. 故答案为： 13. 若满足能被5整除的的最小值为，设，，则方程表示的不同直线的条数为__________. 【答案】13 【解析】 【分析】利用二项式定理求出，再分类讨论并结合排列计数问题列式计算得解. 【详解】依题意，， 当时，都不能被5整除，能被5整除， 则n的最小值为4，， 当，时，方程表示直线； 当，时，方程表示直线； 当且时，方程表示直线； 当且时，方程表示的直线条数为 （方程与表示同一条直线，方程与表示同一条直线）， 所以方程表示的不同直线的条数为13. 故答案为：13 【点睛】易错点睛：利用分类讨论求解问题注意不重不漏的原则，本题对应项成比例的两组直线易漏. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知椭圆经过点，且离心率为. （1）求的方程； （2）若直线与交于点，，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的点及离心率，列出方程组并求解即可. （2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求得答案. 【小问1详解】 由椭圆经过点，且离心率为，得，解得，， 所以C的方程为. 【小问2详解】 设，，由消去得， 则，， 所以. 15. 已知直线和圆. （1）若直线与垂直，且经过圆的圆心，求的方程； （2）若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由垂直关系设出直线的方程，再由其过圆的圆心求得答案. （2）设点，利用切线长定理列出函数关系求出最小值. 【小问1详解】 由直线与m：垂直，设直线：， 圆C的方程可化为，圆心为， 由直线经过圆心，得，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 设，由（1）知圆C的半径， 则， ，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 16. 如图，在四棱锥中，，，两两垂直，，，. （1）若，求直线与平面所成角的正弦值； （2）若平面平面，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据向量夹角即可求得结果. （2）求出两个平面的法向量，两个法向量的数量积等于0即可求得结果. 【小问1详解】 以A为原点，直线，，分别为x轴、y轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得 ，，，，， 则 ，，， 设平面的法向量为， 则即故可取. 设直线与平面所成的角为， 则. 【小问2详解】 设，则，所以 ，. 设的法向量为， 则即故可取. 由（1）知平面的一个法向量为， 因为平面平面，所以， 解得，即. 17. 设. （1）求； （2）若是，，，，中唯一的最大值，求的所有可能取值； （3）若，求. 【答案】（1） （2）20，21，22 （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，令，，即可得结果； （2）根据二项式定理可得，根据题意列式求解即可； （3）整理可得，结合二项式系数的性质运算求解. 【小问1详解】 由， 令，可得； 令，可得； 所以. 【小问2详解】 由题意知的展开式的通项为，， 所以，. 因为是中唯一的最大值， 可得，即，解得， 所以的所有可能取值为20，21，22. 【小问3详解】 由题意可得：， 所以，， 则. 因为， 所以. 18. 如图，过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与交于，两点，线段是的虚轴，四边形是面积为的矩形. （1）求的方程； （2）设是上任意一点，直线与交于点，直线与交于点，证明：； （3）过的左焦点的直线与交于，两点，以为直径的圆被直线截得的劣弧为，若直线变化时，劣弧所对的圆心角大小为定值，求的值. 【答案】（1） （2） 设，由（1）知，，，. 直线：， 令，得，所以. 直线：， 令，得，所以. 由点P在E上，可得， 所以， 又，所以. （3） 【解析】 【分析】（1）根据方程可得，，结合题意列式求得，即可得方程； （2）根据题意求点的坐标，结合双曲线方程分析证明； （3）直线的方程为，联立方程结合韦达定理可得，结合定值分析求解，注意讨论直线的斜率是否存在. 【小问1详解】 设，由题意知，. 将代入E的方程，得，则，. 因为四边形是面积为的矩形， 则，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知E的左焦点的坐标为. 当直线的斜率存在时，设其方程为， 联立方程，可得， 由且，得. 设，，则，. 以为直径的圆的圆心到直线的距离. 半径. 若劣弧所对的圆心角为定值，则为定值， 只需令，即，可得，为定值. 当直线的斜率不存在时，其方程为， 以为直径的圆的圆心到直线的距离， 半径，此时同样有. 综上，. 【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 1.由特例得出一个值，此值一般就是定值； 2.证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值； 3.得出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $