精品解析：江西省南昌市2024-2025学年高一上学期1月选课走班调研检测（期末）数学试题

江西省南昌市2024-2025学年高一上学期1月选课走班调研检测（期末）数学试题 一.单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定形式为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行： 0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202 9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214 1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336 若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（ ） A. 37 B. 32 C. 14 D. 16 4. 下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若有三个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 元宵节灯展后，悬挂的2串（5盏）不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，第一串最下面的花灯标记为，第二串最下面的花灯标记为，若5盏等都需要取下，则花灯与花灯被相邻取下的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的零点为，函数的零点为，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 二.多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的是（ ） A. 乙比赛成绩优秀的概率为 B. 甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C. 甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D. 为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 10. 已知符号函数下列说法正确的是（ ） A. 函数为奇函数 B. C. D. 函数在上单调递减 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 函数定义域为 B. C. 在为减函数 D. 不等式的解集为 三.填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，则______. 13. 某车间10名工人生产某产品的数量（单位：件）分别为32，35，38，39，40，42，44，44，45，x，若所给数据的第50百分位数与第25百分位数的差为2，且，则______. 14. 电除尘器是火力发电厂必备的配套设备，它的功能是将燃煤或燃油锅炉排放烟气中的颗粒烟尘加以清除，从而大幅度降低排入大气层中的烟尘量，这是改善环境污染，提高空气质量的重要环保设备.其除尘效率与驱进速度之间的函数关系为，其中为烟气量，总除尘面积，若在烟气量与总除尘面积一定的情况下，除尘效率时，驱进速度为；除尘效率时，驱进速度为，则______.（结果保留两位有效数字） 参考数据：. 四.简答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：； （2）已知，求的值. 16. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）记函数的值域为，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 17. 某学校高一年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解高一年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表： 男生样本的频率分布直方图 女生样本的频率分布表 组别 频数 频率 4 0.10 8 n m p 12 0.30 2 0.05 （1）求和的值； （2）计算男生样本的平均数和方差； （3）根据上述数据，估计高一年级全体学生身高的平均数和方差 18. 已知. （1）当时，求证：在上为减函数； （2）若方程有且仅有一个实数根，求的最小值； （3）若存在使得在上恒成立，求证：. 19. “曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式.在平面直角坐标系中，其定义为：A，B的坐标分别为，那么称为两点间的曼哈顿距离. （1）已知点. （i）若点的横坐标为，且点在函数图象上，求； （ii）若点在函数上运动，求的最小值； （2）已知点在函数上运动，点，若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省南昌市2024-2025学年高一上学期1月选课走班调研检测（期末）数学试题 一.单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题进行求解即可. 【详解】因为全称量词命题否定是存在量词命题， 所以的否定是. 故选：B 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解绝对值不等式化简集合，解一元二次不等式化简集合，再利用并集的定义求得答案. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：C 3. 某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行： 0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202 9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214 1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336 若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（ ） A. 37 B. 32 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机数表法的应用，按照已知的要求选出五个三个数字组成编号即可． 【详解】依题意从第2行第7列开始的数为67（舍去），62（舍去），42（舍去），81（舍去），14， 57（舍去），20，42（舍去），53（舍去），32，37，32（舍去），14（舍去），16， 则满足条件的5个样本编号为14，20，32，37，16，则第5个编号为16． 故选：D 4. 下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】定义域和对应关系均相同才是同一函数，从而对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】对于A，，对应关系不同，与函数不是同一函数； 对于B，的定义域为，函数的定义域为， 定义域不同，所以与函数不是同一函数； 对于C，的定义域为，函数的定义域为， 定义域不同，所以与函数不是同一函数； 对于D，，与函数的定义域和对应关系都相同，所以它们是同一函数. 故选：D 5. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性比大小，即可求解. 【详解】由于单调递减，故，即， 由于函数为上的单调递增函数，故，故， 因此， 故选：A 6. 已知，若有三个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，把问题转化为方程在上有两个不等根求解. 【详解】当时，由，得，而函数在上单调递增， 又有三个零点，因此方程在上有两个不等根， 于是，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 7. 元宵节灯展后，悬挂的2串（5盏）不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，第一串最下面的花灯标记为，第二串最下面的花灯标记为，若5盏等都需要取下，则花灯与花灯被相邻取下的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先列举出所有取花灯的排列情况，再求出花灯与花灯相邻取下的排列情况数，最后用古典概型概率公式求解即可. 【详解】记第一串从下往上的花灯标记为，第二串从下往上的花灯标记为， 则有， 共有10种， 花灯与花灯被相邻取下的排列情况为共6种， 所以花灯与花灯被相邻取下的概率为. 故选：C. 8. 已知函数的零点为，函数的零点为，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于AB，根据零点的存在性定理即可判断；对于C，令，从而可得，再结合单调性即可判断；对于D，根据的单调性可得，从而可判断. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增. 又， 且在上是连续函数， 又当时，， 所以在上存在唯一零点，即，A正确； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增. 又， 且在上是连续函数， 又当时，， 所以在上存在唯一零点，即，B正确； 对于C，，令， 则，， 又，所以，即， 又在上单调递增，所以，C错误； 对于D，因为在上单调递增，且， 所以，D正确. 故选：C. 二.多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的是（ ） A. 乙比赛成绩优秀的概率为 B. 甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C. 甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D. 为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 【答案】AC 【解析】 【分析】由表格数据，计算乙比赛成绩优秀的概率判断A，应用平均数、方差公式求甲乙的平均数、方差，比较它们的大小即可判断BCD. 【详解】比赛成绩在以下（含）为优秀，由表中的数据，乙比赛成绩优秀的概率为， 故A正确. 为了好计算甲乙的平均数和方差，只需要根据秒数计算即可， 甲的平均数， 乙的平均数， 所以甲比赛成绩的平均数小于乙比赛成绩的平均数，故B错误. 甲的方差 . 乙的方差 ，则，C正确. 由于甲的比赛成绩的平均值比乙比赛成绩平均值低（用时约少说明跑的快）， 并且甲的方差小，数据稳定，故选派甲去参加比赛比较合适，D错误. 故选：AC 10. 已知符号函数下列说法正确的是（ ） A. 函数为奇函数 B. C. D. 函数在上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，运用奇偶性定义判断即可；对于B，利用指数函数的值域结合新定义判断即可；对于C，利用对数函数的值域结合新定义判断即可；对于D，求出时的函数解析式，根据二次函数单调性判断即可. 【详解】对于A，，当时，， 则， 当时，，则， 当时，， 所以为偶函数，错误. 对于B，因为，所以，正确. 对于C，当时，，所以， 所以，正确. 对于D，当时，，则，开口向下， 对称轴为，所以函数在上单调递减，正确. 故选：BCD 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 函数定义域为 B. C. 在为减函数 D. 不等式的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，求得函数定义域为即可判断；对于B，分两种情况结合基本不等式即可判断；对于C，根据复合函数的单调性即可判断；对于D，求解不等式即可判断. 【详解】对于A，因为且，所以函数定义域为，A错误； 对于B，因为， 当时，，则， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，B正确； 对于C，令，则在上单调递增，且， 又在上单调递减，所以在上为减函数； 因为在上单调递增，且， 又在上单调递减，所以在上为减函数； 所以在上为减函数，C正确； 对于D，，令， 当时，解得或，所以或， 当时，，所以无实数解， 所以不等式的解集为，D错误. 故选：BC. 三.填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，然后分和两种情况，得到方程，求解即可. 【详解】由得，所以， 所以或，解得. 故答案为： 13. 某车间10名工人生产某产品的数量（单位：件）分别为32，35，38，39，40，42，44，44，45，x，若所给数据的第50百分位数与第25百分位数的差为2，且，则______. 【答案】40 【解析】 【分析】分类讨论确定第50百分位数与第25百分位数，列式求解即可. 【详解】已知数据有10个，所以第50百分位数为第5项和第6项数据的平均值，第25百分位数为第3项数据， 若，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为和35， 则，不合题意； 若，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为和x， 则，解得，不合题意； 若，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为和38， 则，不合题意； 若，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为和38， 则，解得，不合题意； 若，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为和38， 则，解得； 若，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为41和38，它们的差为3，不符合条件. 故答案为：40 14. 电除尘器是火力发电厂必备的配套设备，它的功能是将燃煤或燃油锅炉排放烟气中的颗粒烟尘加以清除，从而大幅度降低排入大气层中的烟尘量，这是改善环境污染，提高空气质量的重要环保设备.其除尘效率与驱进速度之间的函数关系为，其中为烟气量，总除尘面积，若在烟气量与总除尘面积一定的情况下，除尘效率时，驱进速度为；除尘效率时，驱进速度为，则______.（结果保留两位有效数字） 参考数据：. 【答案】1.7 【解析】 【分析】根据题意可得，结合指、对数运算求解即可. 【详解】由题意可得：，整理可得， 两式相比可得. 故答案为：1.7. 四.简答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】（1）利用对数的概念、对数运算性质及换底公式，指数幂的运算性质化简计算； （2）结合指对互化，利用对数运算性质及换底公式求解即可. 【详解】（1）原式 ； （2）因为，所以 ， 所以， 则. 16. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）记函数的值域为，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1）函数为奇函数，其理由如下： 因为的定义域为R，且， 所以，则函数为奇函数. （2） 【解析】 【分析】（1）结合指数运算，利用奇函数定义证明即可； （2）先根据指数函数的值域求出函数的值域，然后利用充分不必要条件的概念列不等式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以，则， 所以，所以，所以集合， “”是“”的充分不必要条件， 所以，则. 17. 某学校高一年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解高一年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表： 男生样本的频率分布直方图 女生样本的频率分布表 组别 频数 频率 4 0.10 8 n m p 12 0.30 2 0.05 （1）求和的值； （2）计算男生样本的平均数和方差； （3）根据上述数据，估计高一年级全体学生身高的平均数和方差 【答案】（1），； （2）平均数为169，方差为89 （3）平均数为166，方差为100.8. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求，由频率公式求的值； （2）根据平均数、方差公式求解； （3）根据分层抽样的平均数、方差公式求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为的频数为4，频率为0.1，所以样本容量为40， 则，所以； 【小问2详解】 由男生样本的频率分布直方图知， 平均数为， 方差为 ； 【小问3详解】 由女生样本的频率分布表可知 平均数为， 方差为 所以平均数为， 方差为. 所以估计高一年级全体学生身高的平均数为166，方差为100.8. 18. 已知. （1）当时，求证：在上为减函数； （2）若方程有且仅有一个实数根，求的最小值； （3）若存在使得在上恒成立，求证：. 【答案】（1）当时，， 设，且. 则， 因为，所以，所以. 所以， 所以在为减函数； （2）4 （3）因为当时，，当且仅当时等号成立， 由题意知，， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）根据单调性的定义，按照步骤证明即可； （2）先利用定义法判函数的单调性，然后利用基本不等式求出的最小值，由题意，将化为，利用基本不等式求最小值即可； （3）结合（2）利用基本不等式得求出的最小值，，根据消去a即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 任取，，且， 则， 因为，，且，所以，， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 因为，当且仅当时等号成立， 因为方程有且仅有一个实数根， 所以，即， 则，当且仅当即时取等， 所以的最小值为4； 【小问3详解】 略 19. “曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式.在平面直角坐标系中，其定义为：A，B的坐标分别为，那么称为两点间的曼哈顿距离. （1）已知点. （i）若点的横坐标为，且点在函数图象上，求； （ii）若点在函数上运动，求的最小值； （2）已知点在函数上运动，点，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）求出点坐标，代入曼哈顿距离公式求解即可； （ii）由已知，求出曼哈顿距离，结合一次函数单调性求出分段函数的最小值； （2）利用曼哈顿距离公式得，从与和的大小关系出发分类讨论，利用单调性求出最值列式求解. 【小问1详解】 （i）因为点的横坐标为， 且点在函数图象上，所以， 则； （ii）因为点在函数上运动，所以， 则， 当时，；当时，； 当时，；所以当时，； 【小问2详解】 因为点在函数上运动，所以， 则， 因为的对称轴为的对称轴为， 所以现在从与和的大小关系出发分类讨论： ①当时，单调递减，最小值为； 在上单调递减，在单调递增， 此时， 由题意知，则； ②当时，在上单调递减，在单调递增， 此时； 又单调递增，则， 由题意知，则； ③当时，在单调递减， 在单调递增，此时（合题意）， 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $