子数列问题学案-2025届高三数学二轮复习

23 子数列问题（新编） 【复习目标】 1、考点归纳 （1）在选择填空题中考查等差数列、等比数列，直接根据通项公式求解 （2）在解答题中构造新数列，利用新数列的特征（等差、等比或其他数列特征）求解原数列 2、易错易混点归纳 （1）对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，注意分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k （2）解决两数列并项问题注意正确理解A∪B中的元素特征并准确找出两个数列的公共项. 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 1．数列的奇偶项问题 数列中的奇偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列的通项公式或前n项和，主要从奇偶项角度分析通项和求和． 2．数列的公共项问题 两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数．　 3.子数列解题思路 （1）明确子数列的定义和性质（2）利用通项公式（3）分析项与项之间的关系 （4）借助原数列的性质（5）运用数学归纳法 考点一 数列中的奇偶项问题 学法指导：1.数列中的奇、偶项问题的常见题型 （1）数列中连续两项和或积的问题（an＋an＋1＝f（n）或an·an＋1＝f（n））； （2）含有（－1）n的问题；（3）含有{a2n}，{a2n－1}的问题；（4）已知条件明确的奇偶项问题. 2.对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k. 【例1】(2023·新课标Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16. (1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n>5时，Tn>Sn. 【答案】(1)设等差数列{an}的公差为d，而bn＝k∈N*，则b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6，所以解得an＝a1＋(n－1)d＝2n＋3，所以数列{an}的通项公式是an＝2n＋3. (2)证明：证法一：由(1)知Sn＝＝n2＋4n，bn＝k∈N*，当n为偶数时，bn－1＋bn＝2(n－1)－3＋4n＋6＝6n＋1，Tn＝·＝n2＋n，当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝n(n－1)>0，因此Tn>Sn.当n为奇数时，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝(n＋1)2＋(n＋1)－[4(n＋1)＋6]＝n2＋n－5，当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)>0，因此Tn>Sn.综上，当n>5时，Tn>Sn. 证法二：由(1)知Sn＝＝n2＋4n，bn＝k∈N*，当n为偶数时，Tn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝·＋·＝n2＋n，当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝n(n－1)>0，因此Tn>Sn.当n为奇数时，若n≥3，则Tn＝(b1＋b3＋…＋bn)＋(b2＋b4＋…＋bn－1)＝·＋·＝n2＋n－5，显然T1＝b1＝－1满足上式，因此当n为奇数时，Tn＝n2＋n－5，当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)>0，因此Tn>Sn.综上，当n>5时，Tn>Sn. 考点二 两数列的公共项与并项问题 学法指导：1.两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数；等差数列与等比数列的公共项是等比数列. 2.解决两数列并项问题的关键是正确理解A∪B中的元素特征并准确找出两个数列的公共项. 【例2】（1）若数列{4n－3}和{3n}的所有项分别构成集合A，B，将A∪B的元素按从小到大的顺序依次排列构成一个新数列{cn}，则c1＋c2＋c3＋…＋c20＝ ； （2）（2024·四川名校联考）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，将数列{an}与数列{2n－1}的公共项从小到大依次排列得到数列{bn}，Tn为数列{an·bn}的前n项和，则Tn＝ . 【答案】（1）设an＝4n－3，bn＝3n，a20＝77，令bn＜77，则n＝1，2，3，所以b1＝3，b2＝9，b3＝27.在新数列{cn}的前20项中，因为a3＝9与b2＝9为公共项，所以前20项为数列{an}中的18项以及b1，b3.故T20＝a1＋a2＋a3＋…＋a18＋b1＋b3＝18×1＋×4＋3＋27＝660. （2）由题意知，数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，当n＝1时，a1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[（n－1）2＋n－1]＝2n.a1＝2也满足an＝2n，所以an＝2n，n∈N*，所以数列{an}的各项为2，4，6，8，10，…，又数列{2n－1}的各项为1，2，4，8，16，…，数列{an}与数列{2n－1}的公共项从小到大依次排列得到数列{bn}，所以bn＝2n，所以an·bn＝n·2n＋1，所以Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1　①，2Tn＝1×23＋2×24＋…＋（n－1）×2n＋1＋n×2n＋2　②，则①－②得，－Tn＝（22＋23＋24＋…＋2n＋1）－n×2n＋2＝－n×2n＋2＝（1－n）×2n＋2－4，则Tn＝（n－1）·2n＋2＋4. 考点三　数列中的增、减项问题 学法指导： 解决此类问题的关键是通过阅读理解题意，要弄清楚增加了（减少了）多少项，增加（减少）的项有什么特征，在求新数列的和时，一般采用分组求和法，即把原数列部分和增加（减少）部分分别求和，再相加（相减）即可. 【例3】（2024·滨州二模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝7，S5＝25. （1）求{an}的通项公式； （2）保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1（k＝1，2，…）之间插入2k－1个3， 使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，求{bn}的前150项和T150. 【答案】（1）因为{an}为等差数列，则S5＝5a3＝25，即a3＝5， 可得d＝a4－a3＝2，a1＝a3－2d＝1， 所以an＝1＋2（n－1）＝2n－1. （2）因为在ak与ak＋1（k＝1，2，…）之间插入2k－1个3， 可知ak（k≥2）在数列{bn}中对应的项数为n＝k＋20＋21＋…＋2k－2＝k＋＝2k－1＋k－1， 当k＝8时，则n＝27＋7＝135，即a8＝b135； 当k＝9时，则n＝28＋8＝264，即a9＝b264； 由题意可知：b136＝b137＝…＝b150＝3， 所以T150＝S8＋3（150－8）＝＋426＝490. 【训练检测】 1.已知数列{an}满足a1＋a3＝2a2，an＋1＝数列{cn}满足cn＝a2n－1. （1）求数列{cn}和{an}的通项公式； （2）求数列{an}的前n项和Sn. 【答案】（1）由an＋1＝得a2＝3a1，a3＝a2＋2＝3a1＋2， 因为a1＋a3＝2a2，即a1＋3a1＋2＝6a1， 解得a1＝1， 由cn＝a2n－1，得c1＝a1＝1，cn＋1＝a2n＋1， 又a2k＝3a2k－1，a2k＋1＝a2k＋2，k∈N*， 故a2k＋1＝3a2k－1＋2，所以ck＋1＝3ck＋2，即cn＋1＝3cn＋2， 所以cn＋1＋1＝3（cn＋1）， 又c1＋1＝2，所以数列{cn＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以cn＋1＝2·3n－1，所以cn＝2·3n－1－1， 则a2n－1＝2·3n－1－1，故a2n＝3a2n－1＝2·3n－3， 所以an＝ （2）当n为偶数时，Sn＝（a1＋a3＋…＋an－1）＋（a2＋a4＋…＋an）＝4（a1＋a3＋…＋an－1）＝4（c1＋c2＋…＋）＝4×［－］＝4·－2n－4； 当n为奇数时，Sn＝Sn＋1－an＋1＝4·－2（n＋1）－4－（2·－3）＝2·－2n－3， 综上所述，Sn＝ 2.已知数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，在等比数列{an}中，a1＝b1，a4＝b8. （1）求{bn}与{an}的通项公式； （2）若{bn}中去掉{an}的项后余下的项按原顺序组成数列{cn}，求{cn}的前20项和. 【答案】（1）∵Sn＝n2＋n，∴当n≥2且n∈N*时，bn＝Sn－Sn－1＝2n. 又b1＝S1＝2也符合上式，∴bn＝2n. ∵a1＝b1＝2，a4＝b8＝16， ∴等比数列{an}的公比为2， ∴an＝2n. （2）∵a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，a5＝32，b25＝50， ∴c1＋c2＋…＋c20＝（b1＋b2＋…＋b25）－（a1＋a2＋…＋a5）＝S25－（21＋22＋…＋25）＝252＋25－＝650－62＝588. 【预习要求】 1.认真阅读学案，熟悉本节课的“复习目标”、“重点”、“难点”； 2.能和本说出子数列易错易混点； 3.能合本说出数列求通项、数列求和知识体系思维导图. 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 23 子数列问题（新编） 【复习目标】 1、考点归纳 （1）在选择填空题中考查等差数列、等比数列，直接根据通项公式求解 （2）在解答题中构造新数列，利用新数列的特征（等差、等比或其他数列特征）求解原数列 2、易错易混点归纳 （1）对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，注意分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k （2）解决两数列并项问题注意正确理解A∪B中的元素特征并准确找出两个数列的公共项. 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 1．数列的奇偶项问题 数列中的奇偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列的通项公式或前n项和，主要从奇偶项角度分析通项和求和． 2．数列的公共项问题 两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数．　 3.子数列解题思路 （1）明确子数列的定义和性质（2）利用通项公式（3）分析项与项之间的关系 （4）借助原数列的性质（5）运用数学归纳法 考点一 数列中的奇偶项问题 学法指导：1.数列中的奇、偶项问题的常见题型 （1）数列中连续两项和或积的问题（an＋an＋1＝f（n）或an·an＋1＝f（n））； （2）含有（－1）n的问题；（3）含有{a2n}，{a2n－1}的问题；（4）已知条件明确的奇偶项问题. 2.对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k. 【例1】(2023·新课标Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16. (1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n>5时，Tn>Sn. 考点二 两数列的公共项与并项问题 学法指导：1.两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数；等差数列与等比数列的公共项是等比数列. 2.解决两数列并项问题的关键是正确理解A∪B中的元素特征并准确找出两个数列的公共项. 【例2】（1）若数列{4n－3}和{3n}的所有项分别构成集合A，B，将A∪B的元素按从小到大的顺序依次排列构成一个新数列{cn}，则c1＋c2＋c3＋…＋c20＝ ； （2）（2024·四川名校联考）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，将数列{an}与数列{2n－1}的公共项从小到大依次排列得到数列{bn}，Tn为数列{an·bn}的前n项和，则Tn＝ . 考点三　数列中的增、减项问题 学法指导： 解决此类问题的关键是通过阅读理解题意，要弄清楚增加了（减少了）多少项，增加（减少）的项有什么特征，在求新数列的和时，一般采用分组求和法，即把原数列部分和增加（减少）部分分别求和，再相加（相减）即可. 【例3】（2024·滨州二模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝7，S5＝25. （1）求{an}的通项公式； （2）保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1（k＝1，2，…）之间插入2k－1个3， 使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，求{bn}的前150项和T150. 【训练检测】 1.已知数列{an}满足a1＋a3＝2a2，an＋1＝数列{cn}满足cn＝a2n－1. （1）求数列{cn}和{an}的通项公式； （2）求数列{an}的前n项和Sn. 2.已知数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，在等比数列{an}中，a1＝b1，a4＝b8. （1）求{bn}与{an}的通项公式； （2）若{bn}中去掉{an}的项后余下的项按原顺序组成数列{cn}，求{cn}的前20项和. 【预习要求】 1.认真阅读学案，熟悉本节课的“复习目标”、“重点”、“难点”； 2.能和本说出子数列易错易混点； 3.能合本说出数列求通项、数列求和知识体系思维导图. 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$