数列中的基本问题学案-2025届高三数学二轮复习

20 数列中的基本问题（新编） 【复习目标】 1、考点归纳 （1）在选择、填空题中考查等差数列、等比数列基本量的计算,注意整体思想及方程思想的运用。 （2）在解答题中通常考查等差、等比数列的判定与证明,数列求和及数列与不等式的综合应用 2、易错易混点归纳 (1)易忽视公式an＝Sn－Sn－1的适用条件为n≥2而导致错误.利用此公式求得an后， 一定要验证n＝1时是否满足所求出的an，若不满足，则要用分段形式来表示； （2）在用等比数列的前n项和公式时，一定要分公比q＝1和q≠1两种情况进行讨论. 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 1.等差数列、等比数列的基本公式（n∈N*） （1）等差数列的通项公式：an＝a1＋（n－1）d； （2）等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1； （3）等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋； （4）等比数列的前n项和公式：Sn＝ 2.等差数列、等比数列的性质 （1）通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k（m，n，p，q，k∈N*），则对于等差数列， 有am＋an＝ap＋aq＝2ak；对于等比数列有aman＝apaq＝； （2） 前n项和性质：对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列； （3） 对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列（q＝－1且m为偶数情况除外）. 3.常用结论 （1）若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的； （2）在等差数列中，若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝（2n－1）an；S奇－S偶＝an；＝； （3）{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列. 【典例探究】 考点一　等差（比）数列基本量的计算 学法指导：等差（比）数列基本量计算的解题策略 （1）抓住基本量，首项a1，公差d或公比q； （2）在进行等差（比）数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则可转化成关于a1和d（q）的方程（组）求解，但要注意使用消元法及整体计算，以减少计算量. 【例1】（1）（2024·河南质量检测）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn， 若a2a5＝2a3，且a4与a6的等差中项为，则S5＝（　　） A.29 B.31 C.33 D.36 （2） （多选）已知{an}是等差数列，公差d＞0，其前n项和为Sn，若a2，a5＋2， a17＋2成等比数列，Sn＝，则（　　） A.d＝1 B.a10＝20 C.Sn＝n2＋n D.当n≥2时，Sn≥an 考点二　等差（比）数列的性质 学法指导：等差、等比数列各有许多项的性质及前n项和的性质，因此在求解时要抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解可大大减少运算量. 【例2】（1）已知数列{an}为各项均为正数的等比数列，a1＝4，S3＝84，则log2（a1·a2·a3·…·a8）＝（　　） A.70 B.72 C.74 D.76 （2）（2024·佛山模拟）设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有＝，则＋＝（　　） A.　　　　B. C.　　　　D. 考点三　数列的函数性质 学法指导：求数列的最大项与最小项的常用方法 （1）将数列视为函数f（x），当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f（x）的最值，进而求出数列的最大（小）项； （2）通过通项公式an研究数列的单调性，利用（n≥2）确定最大项，利用（n≥2）确定最小项. 【例3】（1）（2024·长郡中学模拟改编）已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2 024＝（　　） A.2 B.－2 C.－1 D. （2）（多选）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，a4＋a11＞0，a7·a8＜0，则（ 　） A.数列{an}是递增数列 B.S6＞S9 C.当n＝7时，Sn最大 D.当Sn＞0时，n的最大值为14 【训练检测】 1.（2024·贵阳适应性考试）设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且－a3，a2，a4成等差数列，则S2 024与a2 024的关系是（　　） A.S2 024＝2a2 024－1 B.S2 024＝2a2 024＋1 C.S2 024＝4a2 024－3 D.S2 024＝4a2 024＋1 2.（2024·新高考Ⅱ卷12题）（等差数列基本量的计算）记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝ . 3.（多选）（2024·临汾模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，则下列说法正确的是（　　） A.若Tn＝4n＋1＋m，则m＝－1 B.S7，S14－S7，S21－S14成等差数列 C.T7，T14－T7，T21－T14成等比数列 D.若S15＞0，S16＜0，则Sn取得最大值的正整数n的值为8 4.已知等比数列{an}的前n项积为Tn，a1＝16，公比q＝，则Tn取最大值时n的值为（　　） A.3 B.6 C.4或5 D.6或7 5.（多选）{an}是各项均为正数的等差数列，其公差d＞0，{bn}是等比数列，若a1＝b1，a2 024＝b2 024，则（　　） A.a100＞b100 B.a100＜b100 C.a2 025＞b2 025 D.a2 025＜b2 025 【预习要求】 1.认真阅读学案、选修2 P11-29，熟悉本节课的“复习目标”、“重点”、“难点”； 2.能和本说出等差、等比数列的通项、求和公式； 3.能合本说出等差数列、等比数列知识体系思维导图. 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 20 数列中的基本问题（新编） 【复习目标】 1、考点归纳 （1）在选择、填空题中考查等差数列、等比数列基本量的计算,注意整体思想及方程思想的运用。 （2）在解答题中通常考查等差、等比数列的判定与证明,数列求和及数列与不等式的综合应用 2、易错易混点归纳 (1)易忽视公式an＝Sn－Sn－1的适用条件为n≥2而导致错误.利用此公式求得an后， 一定要验证n＝1时是否满足所求出的an，若不满足，则要用分段形式来表示； （2）在用等比数列的前n项和公式时，一定要分公比q＝1和q≠1两种情况进行讨论. 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 1.等差数列、等比数列的基本公式（n∈N*） （1）等差数列的通项公式：an＝a1＋（n－1）d； （2）等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1； （3）等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋； （4）等比数列的前n项和公式：Sn＝ 2.等差数列、等比数列的性质 （1）通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k（m，n，p，q，k∈N*），则对于等差数列， 有am＋an＝ap＋aq＝2ak；对于等比数列有aman＝apaq＝； （2） 前n项和性质：对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列； （3） 对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列（q＝－1且m为偶数情况除外）. 3.常用结论 （1）若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的； （2）在等差数列中，若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝（2n－1）an；S奇－S偶＝an；＝； （3）{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列. 【典例探究】 考点一　等差（比）数列基本量的计算 学法指导：等差（比）数列基本量计算的解题策略 （1）抓住基本量，首项a1，公差d或公比q； （2）在进行等差（比）数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则可转化成关于a1和d（q）的方程（组）求解，但要注意使用消元法及整体计算，以减少计算量. 【例1】（1）（2024·河南质量检测）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn， 若a2a5＝2a3，且a4与a6的等差中项为，则S5＝（　　） A.29 B.31 C.33 D.36 （2） （多选）已知{an}是等差数列，公差d＞0，其前n项和为Sn，若a2，a5＋2， a17＋2成等比数列，Sn＝，则（　　） A.d＝1 B.a10＝20 C.Sn＝n2＋n D.当n≥2时，Sn≥an 【答案】（1）不妨设等比数列{an}的公比为q，由a2a5＝2a3可得：q5＝2a1q2，因an＞0，q＞0，则a1q3＝2　①，又由a4与a6的等差中项为可得：a4＋a6＝，即a1q3（1＋q2）＝　②，将①代入②可得：q＝，回代入①，解得a1＝16，于是S5＝＝＝31.故选B. （2）∵Sn＝，∴当n＝2时，可得2（a1＋a2）＝3a2，整理得2a1＝a2，即a1＝d.∵a2，a5＋2，a17＋2成等比数列，∴（5d＋2）2＝2d（17d＋2），即9d2－16d－4＝0，又公差d＞0，解得d＝－（舍去）或d＝2，A错；∴an＝2n，a10＝20，B对；Sn＝n2＋n，C对；当n≥2时，Sn－an＝n2＋n－3n＝n2－2n＝n（n－2）≥0，即Sn≥an，D对.故选B、C、D. 考点二　等差（比）数列的性质 学法指导：等差、等比数列各有许多项的性质及前n项和的性质，因此在求解时要抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解可大大减少运算量. 【例2】（1）已知数列{an}为各项均为正数的等比数列，a1＝4，S3＝84，则log2（a1·a2·a3·…·a8）＝（　　） A.70 B.72 C.74 D.76 （2）（2024·佛山模拟）设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有＝，则＋＝（　　） A.　　　　B. C.　　　　D. 【答案】（1）设等比数列{an}的公比为q，因为数列{an}的各项均为正数，所以q＞0.因为a1＝4，S3＝84，所以a1＋a2＋a3＝4＋4q＋4q2＝84，即q2＋q－20＝0，因为q＞0，所以q＝4，则an＝4n.所以a1·a2·a3·…·a8＝（a1a8）4＝（4×48）4＝（49）4＝436＝（22）36＝272，所以log2（a1·a2·a3·…·a8）＝log2272＝72，选B. （2）由等差数列性质得，＋＝＋＝＝＝＝＝＝.选C. 考点三　数列的函数性质 学法指导：求数列的最大项与最小项的常用方法 （1）将数列视为函数f（x），当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f（x）的最值，进而求出数列的最大（小）项； （2）通过通项公式an研究数列的单调性，利用（n≥2）确定最大项，利用（n≥2）确定最小项. 【例3】（1）（2024·长郡中学模拟改编）已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2 024＝（　　） A.2 B.－2 C.－1 D. （2）（多选）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，a4＋a11＞0，a7·a8＜0，则（ 　） A.数列{an}是递增数列 B.S6＞S9 C.当n＝7时，Sn最大 D.当Sn＞0时，n的最大值为14 【答案】（1）∵an＋1＝，a1＝，∴a2＝＝＝2，a3＝＝＝－1，a4＝＝＝，∴数列{an}的周期为3.∴a2 024＝a3×674＋2＝a2＝2.故选A. （2）∵在等差数列{an}中，a1＞0，a4＋a11＝a7＋a8＞0，a7·a8＜0，∴a7＞0，a8＜0，∴公差d＜0，数列{an}是递减数列，A错误；∵S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8＜0，∴S6＞S9，B正确；∵a7＞0，a8＜0，数列{an}是递减数列，∴当n＝7时，Sn最大，C正确；∵a4＋a11＞0，a7＞0，a8＜0，∴S14＝＝＞0，S15＝＝＜0，∴当Sn＞0时，n的最大值为14，D正确.故选B、C、D. 【训练检测】 1.（2024·贵阳适应性考试）设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且－a3，a2，a4成等差数列，则S2 024与a2 024的关系是（　　） A.S2 024＝2a2 024－1 B.S2 024＝2a2 024＋1 C.S2 024＝4a2 024－3 D.S2 024＝4a2 024＋1 【答案】A　设正项等比数列{an}的公比为q（q＞0），由题意知，2a2＝－a3＋a4，所以q2－q－2＝0，所以q＝2或q＝－1（舍去），则S2 024＝＝22 024－1，a2 024＝22 023，所以S2 024＝2a2 024－1，故选A. 2.（2024·新高考Ⅱ卷12题）（等差数列基本量的计算）记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝ . 【答案】法一（基本量法）　因为数列{an}为等差数列， 则由题意得解得 则S10＝10a1＋d＝10×（－4）＋45×3＝95. 法二（下标和性质法）　设{an}的公差为d，由a3＋a4＝a2＋a5＝7，3a2＋a5＝5，得a2＝－1，a5＝8，故d＝＝3，a6＝11，则S10＝×10＝5（a5＋a6）＝5×19＝95. 3.（多选）（2024·临汾模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，则下列说法正确的是（　　） A.若Tn＝4n＋1＋m，则m＝－1 B.S7，S14－S7，S21－S14成等差数列 C.T7，T14－T7，T21－T14成等比数列 D.若S15＞0，S16＜0，则Sn取得最大值的正整数n的值为8 【答案】BCD　依题意，设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，对于A，因为Tn＝4n＋1＋m，当n＝1时，b1＝T1＝42＋m＝16＋m，当n≥2时，Tn－1＝4n＋m，则bn＝4n＋1－4n＝3×4n，满足＝4，所以b1＝16＋m＝3×4，解得m＝－4，故A错误；对于B，因为S7＝a1＋a2＋…＋a7，S14－S7＝a8＋a9＋…＋a14＝a1＋7d＋a2＋7d＋…＋a7＋7d＝a1＋a2＋…＋a7＋49d，S21－S14＝a15＋a16＋…＋a21＝a1＋14d＋a2＋14d＋…＋a7＋14d＝a1＋a2＋…＋a7＋98d，所以2（S14－S7）＝S7＋S21－S14，即S7，S14－S7，S21－S14成等差数列，故B正确；对于C，当q＝1时，T7＝7b1，T14－T7＝7b1，T21－T14＝7b1，显然T7，T14－T7，T21－T14成等比数列；当q≠1时，T7＝b1＋b2＋…＋b7＝≠0，T14－T7＝b8＋b9＋…＋b14＝（b1＋b2＋…＋b7）q7，T21－T14＝b15＋b16＋…＋b21＝（b1＋b2＋…＋b7）q14，所以（T14－T7）2＝T7（T21－T14），即T7，T14－T7，T21－T14成等比数列，故C正确；对于D，因为S15＞0，S16＜0，所以S15＝＝15a8＞0，即a8＞0，S16＝＝＜0，即a8＋a9＜0，故a9＜0，所以S8是Sn的最大项，即使得Sn取得最大值的正整数n的值为8，故D正确.故选B、C、D 4.已知等比数列{an}的前n项积为Tn，a1＝16，公比q＝，则Tn取最大值时n的值为（　　） A.3 B.6 C.4或5 D.6或7 【答案】C　因为等比数列{an}的首项a1＝16，公比q＝，所以a4＝16×（）3＝2＞1，a5＝16×（）4＝1，a6＝16×（）5＝＜1，所以当n＝4或n＝5时，Tn取得最大值.故选C. 5.（多选）{an}是各项均为正数的等差数列，其公差d＞0，{bn}是等比数列，若a1＝b1，a2 024＝b2 024，则（　　） A.a100＞b100 B.a100＜b100 C.a2 025＞b2 025 D.a2 025＜b2 025 【答案】AD　等差数列{an}的通项公式an＝dn＋a1－d，因为d＞0，所以a2 024＞a1，y＝dx＋a1－d是关于x的增函数.等比数列{bn}满足b1＝a1＞0，b2 024＝a2 024＞0，设{bn}的公比为q，则bn＝b1qn－1，所以q2 023＝＞1，所以q＞1，所以y＝b1qx－1是关于x的增函数.作出直线y＝dx＋a1－d及y＝b1qx－1的大致图象，如图，则数列{an}中的各项是直线y＝dx＋a1－d上离散的点对应的纵坐标，数列{bn}中的各项是曲线y＝b1qx－1上离散的点对应的纵坐标.由图可知，a100＞b100，a2 025＜b2 025，故选A、D. 【预习要求】 1.认真阅读学案、选修2 P11-29，熟悉本节课的“复习目标”、“重点”、“难点”； 2.能和本说出等差、等比数列的通项、求和公式； 3.能合本说出等差数列、等比数列知识体系思维导图. 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$