数列新定义、数列与其他知识交汇问题学案-2025届高三数学二轮复习

24 数列新定义、数列与其他知识交汇问题（新编） 【复习目标】 1、考点归纳 （1）在解答题中考查数列新定义问题 （2）在解答题中考查通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列前n项的和．在考查数列运算的同时，常将数列与不等式、函数交汇． 2、易错易混点归纳 （1） 函数性质的不完全适用：数列图象是离散的点，函数的一些性质如连续性、可导性等在数列中不一定适用。比如不能直接对数列求导来判断单调性，需通过a_{n + 1}-a_{n}的正负来判断。 （2）放缩过度或不足：在证明数列不等式时，放缩法是常用的方法，但放缩的尺度难以把握，放缩过度会导致范围过大，放缩不足则无法达到证明目的。 （3） 等号成立条件：在利用均值不等式等求数列的最值或证明不等式时，容易忽略等号成立的条件是否满足数列的实际情况。）解决两数列并项问题注意正确理解A∪B中的元素特征并准确找出两个数列的公共项. 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 1．数列与函数、不等式的综合问题 解决此类问题，一是把数列看成特殊的函数，利用函数的图象、性质求解；二是将新数列问题转化为等差或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质，结合不等式的相关知识求解． 2．数列的新情境问题 解决此类问题的关键是分清条件与结论，理清数量关系，掌握数列的通项及求和公式． 考点一 数列与函数（导数）的交汇问题 学法指导：数列与函数（导数）的综合问题涉及两类题型 （1）以数列为背景研究数列的函数性质，如研究数列的单调性、周期性、最值，不等式恒成立下的参数范围问题等.解决这类问题的关键是以构成数列的函数为载体，结合数列是一类特殊函数（定义域是正整数集或它的有限子集），利用函数思想方法求解，体现由特殊到一般的思想转化； （2）以函数为背景知识研究数列问题，如已知函数的性质，求对应数列的通项公式，前n项和或比较最大项（最小项）等问题，解决该类问题的关键是构建符合函数特征的数列，体现由一般到特殊的转化思想. 【例1】在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a3，a13成等比数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝2bn－2. （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）设cn＝bn－an，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式Tn＋n2－n＞log2（1－a）对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），∵a1＝1，且a1，a3，a13成等比数列， ∴＝a1a13，即（1＋2d）2＝1＋12d，得d＝2，∴an＝1＋2（n－1）＝2n－1. ∵数列{bn}的前n项和Sn＝2bn－2，当n＝1时， b1＝2b1－2，∴b1＝2， 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝2bn－2bn－1，∴bn＝2bn－1， 故数列{bn}是首项为2、公比为2的等比数列，∴bn＝2n. （2）由（1）可得cn＝bn－an＝2n－（2n－1），∴Tn＝－＝2n＋1－2－n2， ∴Tn＋n2－n＝2n＋1－n－2. 令f（x）＝2x＋1－x－2（x≥1），f'（x）＝2x＋1ln 2－1， ∵x≥1，∴f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）min＝f（1）＝1. ∴log2（1－a）＜1，∴0＜1－a＜2，∴－1＜a＜1.故实数a的取值范围为（－1，1）. 考点二 数列与不等式的交汇问题 学法指导：数列与不等式的综合问题的常见题型及求解策略 （1）判断数列问题的一些不等关系，可以利用基本不等式进行求解； （2）与数列有关的不等式的证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，其大致可分为两类： ①先求和再放缩：对于含有数列和的不等式，若数列的和易于求出，则一般采用先求和再放缩的策略证明不等式；②先放缩再求和：若不易求和，可根据项的特征先放缩再求和，常见的放缩技巧如下：（ⅰ）对的放缩（下列n∈N*）：＜＝－（n≥2）； ＜＝（－）（n≥2）；＝＜＝2（－）（n≥1）. （ⅱ）对的放缩：＞＝－（n≥1）；＜＝－（n≥1）. （ⅲ）对的放缩（下列n∈N*）：＜（n≥2）；＜＝－（n≥3）. 【例2】（2024·甘肃二诊）设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝n2＋n（n∈N*）. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn＝，求T99； （3）证明：＋＋＋…＋＞9. 【答案】（1）因为2Sn＝n2＋n，所以Sn＝， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n， 因为a1＝1也满足上式，故an＝n（n∈N*）. （2）因为bn＝，且an＝n（n∈N*）， 所以bn＝＝ ＝－， 所以T99＝（－）＋（－）＋（－）＋…＋（－）＝－1＝9. 即T99＝9. （3）证明：由于＝＝＞＝－， 故＋＋＋…＋＞－1＋－＋…＋－＝－1＝9. 所以原不等式成立. 考点三　定义“新数列”（新概念、新性质、新运算） 学法指导：数列与其他知识交汇的新定义问题一般涉及到数列与概率统计、集合、函数、导数的交汇等，解决此类新定义问题应抓住两知识点交汇时的共同关键特征（如数列变量的离散性），将其他知识情境下的新定义、新运算、新性质转化为数列运算和推理论证. 【例3】定义：对于数列{cn}，若从第二项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于同一个常数d1，且小于或等于另一个常数d2，则{cn}叫做类等差数列（若d1＝d2＝d，则{cn}是等差数列）. （1）若类等差数列{cn}满足d1≤cn－cn－1≤d2，n≥2，n∈N，c1，d1，d2均为已知数，请类比等差数列的通项公式，求出数列{cn}的通项不等式（即第n项cn与首项c1及d1，d2的不等式关系，写出推导过程）； （2）数列{an}中，a1＝，an＋1＝an－2.数列{}是否为类等差数列，若是，证明；若不是，说明理由. 【答案】（1）依题意有：d1≤c2－c1≤d2，d1≤c3－c2≤d2，…，d1≤cn－cn－1≤d2. 将这（n－1）个不等式相加，得（n－1）d1≤cn－c1≤（n－1）d2， 从而c1＋（n－1）d1≤cn≤c1＋（n－1）d2，n≥2，n∈N. （2）数列{}是类等差数列，证明如下： 法一　因为an＋1＝an－2， 所以＝＝＝2（＋）＝＋，即－＝. 因为2＝an－an＋1＞0，所以an＋1＜an，所以{an}是递减数列，最大项为a1＝. 所以1－2an≥1－2a1＝＞0，an＋1＝an（1－2an）＝an－1（1－2an－1）（1－2an）＝…＝a1（1－2a1）（1－2a2）（1－2a3）…（1－2an）＞0， 所以0＜an≤，所以－＝＜0， 所以是递减数列，故其最大项为＝6，且＞＝2， 所以2＜－≤6，所以数列{}是类等差数列. 法二　－＝－＝＝＝， 又2＝an－an＋1＞0，所以an＋1＜an，则{an}是递减数列，最大项为a1＝. 由于数列{an}为递减数列，则{1－2an}为递增数列，且1－2an＞0， 所以{}是递减数列，故其最大项为＝6，所以－≤6， 又由法一知an＞0，所以＞2，所以2＜－≤6，所以数列{}是类等差数列 【训练检测】 1、(2022·新课标Ⅰ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. （1）证明：a1＝b1； （2）求集合{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数. 【答案】（1）证明：设等差数列{an}的公差为d. 由a2－b2＝a3－b3，知a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，所以d＝2b1. 由a2－b2＝b4－a4，知a1＋d－2b1＝8b1－（a1＋3d）， 所以a1＋d－2b1＝4d－（a1＋3d），整理得a1＝b1. （2）由（1）知d＝2b1＝2a1，由bk＝am＋a1知，b1·2k－1＝a1＋（m－1）·d＋a1， 即b1·2k－1＝b1＋（m－1）·2b1＋b1，即2k－1＝2m， 因为1≤m≤500，所以2≤2k－1≤1 000，所以k＝2，3，4，…，10. 故集合{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数为9. 【预习要求】 1.认真阅读学案，熟悉本节课的“复习目标”、“重点”、“难点”； 2.能和本说出数列新定义易错易混点； 3.能合本说出数列求通项、数列求和知识体系思维导图. 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24 数列新定义、数列与其他知识交汇问题（新编） 【复习目标】 1、考点归纳 （1）在解答题中考查数列新定义问题 （2）在解答题中考查通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列前n项的和．在考查数列运算的同时，常将数列与不等式、函数交汇． 2、易错易混点归纳 （1） 函数性质的不完全适用：数列图象是离散的点，函数的一些性质如连续性、可导性等在数列中不一定适用。比如不能直接对数列求导来判断单调性，需通过a_{n + 1}-a_{n}的正负来判断。 （2）放缩过度或不足：在证明数列不等式时，放缩法是常用的方法，但放缩的尺度难以把握，放缩过度会导致范围过大，放缩不足则无法达到证明目的。 （3） 等号成立条件：在利用均值不等式等求数列的最值或证明不等式时，容易忽略等号成立的条件是否满足数列的实际情况。）解决两数列并项问题注意正确理解A∪B中的元素特征并准确找出两个数列的公共项. 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 1．数列与函数、不等式的综合问题 解决此类问题，一是把数列看成特殊的函数，利用函数的图象、性质求解；二是将新数列问题转化为等差或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质，结合不等式的相关知识求解． 2．数列的新情境问题 解决此类问题的关键是分清条件与结论，理清数量关系，掌握数列的通项及求和公式． 考点一 数列与函数（导数）的交汇问题 学法指导：数列与函数（导数）的综合问题涉及两类题型 （1）以数列为背景研究数列的函数性质，如研究数列的单调性、周期性、最值，不等式恒成立下的参数范围问题等.解决这类问题的关键是以构成数列的函数为载体，结合数列是一类特殊函数（定义域是正整数集或它的有限子集），利用函数思想方法求解，体现由特殊到一般的思想转化； （2）以函数为背景知识研究数列问题，如已知函数的性质，求对应数列的通项公式，前n项和或比较最大项（最小项）等问题，解决该类问题的关键是构建符合函数特征的数列，体现由一般到特殊的转化思想. 【例1】在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a3，a13成等比数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝2bn－2. （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）设cn＝bn－an，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式Tn＋n2－n＞log2（1－a）对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围. 考点二 数列与不等式的交汇问题 学法指导：数列与不等式的综合问题的常见题型及求解策略 （1）判断数列问题的一些不等关系，可以利用基本不等式进行求解； （2）与数列有关的不等式的证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，其大致可分为两类： ①先求和再放缩：对于含有数列和的不等式，若数列的和易于求出，则一般采用先求和再放缩的策略证明不等式；②先放缩再求和：若不易求和，可根据项的特征先放缩再求和，常见的放缩技巧如下：（ⅰ）对的放缩（下列n∈N*）：＜＝－（n≥2）； ＜＝（－）（n≥2）；＝＜＝2（－）（n≥1）. （ⅱ）对的放缩：＞＝－（n≥1）；＜＝－（n≥1）. （ⅲ）对的放缩（下列n∈N*）：＜（n≥2）；＜＝－（n≥3）. 【例2】（2024·甘肃二诊）设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝n2＋n（n∈N*）. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn＝，求T99； （3）证明：＋＋＋…＋＞9. 考点三　定义“新数列”（新概念、新性质、新运算） 学法指导：数列与其他知识交汇的新定义问题一般涉及到数列与概率统计、集合、函数、导数的交汇等，解决此类新定义问题应抓住两知识点交汇时的共同关键特征（如数列变量的离散性），将其他知识情境下的新定义、新运算、新性质转化为数列运算和推理论证. 【例3】定义：对于数列{cn}，若从第二项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于同一个常数d1，且小于或等于另一个常数d2，则{cn}叫做类等差数列（若d1＝d2＝d，则{cn}是等差数列）. （1）若类等差数列{cn}满足d1≤cn－cn－1≤d2，n≥2，n∈N，c1，d1，d2均为已知数，请类比等差数列的通项公式，求出数列{cn}的通项不等式（即第n项cn与首项c1及d1，d2的不等式关系，写出推导过程）； （2）数列{an}中，a1＝，an＋1＝an－2.数列{}是否为类等差数列，若是，证明；若不是，说明理由. 【训练检测】 1、(2022·新课标Ⅰ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. （1）证明：a1＝b1； （2）求集合{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数. 【预习要求】 1.认真阅读学案，熟悉本节课的“复习目标”、“重点”、“难点”； 2.能和本说出数列新定义易错易混点； 3.能合本说出数列求通项、数列求和知识体系思维导图. 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$