数列递推关系学案-2025届高三数学二轮复习

22 数列的递推关系（新编） 【复习目标】 1、考点归纳 （1）在选择填空题中考查等差数列、等比数列通项公式求解 （2）在解答题中考查通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现化归思想在数列中的应用. 2、易错易混点归纳 （1）在对递推公式进行变形转化时，可能会出现运算错误或忽略变形的条件。有些递推关系需要通过特定的方法，如取倒数、取对数等进行转化，若不注意条件，可能会导致错误。 （2）在利用递推公式求数列通项时，容易忽略初始条件。递推公式通常是从第二项或更后面的项开始描述数列的规律，而第一项的值需要单独确定。 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 1.对于任意数列{an}，an与其前n项和Sn的关系：an＝ 2．对于递推公式形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式． 3．对于递推公式形如＝f(n)的数列，常令n分别为1，2，3，…，n－1，代入＝f(n)， 再把所得的(n－1)个等式相乘，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．　 考点一 利用an与Sn的关系 学法指导：涉及Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的方向转化. （1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解； （2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解. 【例1】（1）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝4an－3，则Sn＝（　 ） A.4［（）n－1］ B.4［（）n－1］ C.3［（）n－1］ D.4（3n－1） （2）（多选）已知数列{an}满足a1＋3a2＋…＋（2n－1）an＝2n（n∈N*），Sn为数列{an}的前n项和.则下列四个结论中正确的是（　　） A.a1＝2 B.数列{an}的通项公式为an＝ C.S3＝ D.数列{an}为递减数列 【答案】（1）当n＝1时，S1＝4a1－3，得a1＝S1＝1，当n≥2时，Sn＝4（Sn－Sn－1）－3，化简得Sn＝Sn－1＋1，即Sn＋3＝（Sn－1＋3）（n≥2），又S1＋3＝4，所以{Sn＋3}是首项为4，公比为的等比数列，所以Sn＋3＝4×（）n－1，所以Sn＝4×（）n－1－3＝3［（）n－1］，故选C. （2）对于A，令n＝1，则a1＝2×1＝2，所以A正确；对于B，当n≥2时，由a1＋3a2＋…＋（2n－1）an＝2n，得a1＋3a2＋…＋（2n－3）an－1＝2n－2，两式相减得（2n－1）an＝2，所以an＝，a1＝2满足此式，所以an＝，所以B错误；对于C，因为an＝，所以S3＝a1＋a2＋a3＝2＋＋＝，所以C正确；对于D，因为an＋1－an＝－＝2（－）＝＜0（n∈N*），所以an＋1＜an，所以数列{an}为递减数列，所以D正确. 考点二　构造辅助数列 学法指导： 1.求形如an＋1＝pan＋q（p≠1）的递推公式的通项，可采用以下两种方法： （1）待定系数法：设an－λ＝p（an－1－λ），用待定系数法可求出λ＝，进而构造新的等比数列{an－λ}，求出通项.其中λ为方程λ＝pλ＋q的解； （2）由an＋1＝pan＋q及an＝pan－1＋q，两式相减得an＋1－an＝p（an－an－1），所以{an＋1－an}是首项为a2－a1，公比为p的等比数列，先求an＋1－an，再求an. 2.形如an＋1＝pan＋q（n）（p≠1）的递归式，等号两边同除以pn＋1，得＝＋，令bn＝，得bn＋1＝bn＋，先求bn，再求an. 3.形如an＋1＝p（p＞0，an＞0）的递归式，等号两边取对数有lg an＋1＝qlg an＋lg p，令bn＝lg an，则bn＋1＝qbn＋lg p，同上得bn，再求an. 【例2】（1）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则a7＝ ； （2）已知数列{an}满足a1＝1，＝10an（an＞0），则an＝ . 【答案】（1）易知an≠0，由an＋1＝，得＝＋，所以是首项为1，公差为的等差数列，所以＝＋（n－1）×＝，an＝，所以a7＝. （2）等式两边取以10为底的对数可得2lg an＋1＝lg an＋1，即lg an＋1－1＝（lg an－1），所以数列{lg an－1}是以lg a1－1＝－1为首项，为公比的等比数列，所以lg an－1＝（－1）×（）n－1＝－（）n－1，即lg an＝1－（）n－1，即an＝10×（. 考点三　累加、累乘法 学法指导： 1.an－an－1＝f（n）型，可用“累加法”求an，即an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1. 2.＝f（n）型，可用“累乘法”求an，即an＝··…···a1. 【例3】（1）（2022·北京卷）已知数列{an}满足nan＋1－（n＋1）an＝2，a1＝1，则数列{an}的通项公式an＝（　　） A.2n－3 B.3n－2 C.－2n＋3 D.3n＋2 （2）（2024·太原高三年级模拟考试）已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且满足S1＝2，3Sn＝（n＋2）an，则Sn＝ . 【答案】（1）nan＋1－（n＋1）an＝2，两边同除n（n＋1）得－＝＝2（－），所以－a1＝2（1－＋－＋…＋－），即－a1＝2（1－），化简得an＝（2＋a1）n－2，因为a1＝1，所以an＝3n－2. （2）因为3Sn＝（n＋2）an，则当n≥2时，3Sn＝（n＋2）（Sn－Sn－1），化简得（n－1）Sn＝（n＋2）Sn－1，即＝，所以当n≥2时，······…·＝××××××…×，即＝.因为S1＝2，所以Sn＝，当n＝1时也成立. 【训练检测】 1.数列{an}前n项和Sn满足Sn＝λn2＋2n＋1（λ∈R），若{an}是递增数列，则λ的取值范围为（　　） A.（0，＋∞） B.（，＋∞） C.（1，＋∞） D.（－，＋∞） 【答案】B　∵数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝λn2＋2n＋1（λ∈R），∴a1＝λ＋3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝λn2＋2n＋1－[λ（n－1）2＋2（n－1）＋1]＝2λn－λ＋2，∴a2＝3λ＋2.显然，从第二项开始，{an}是以2λ为公差的等差数列.又{an}是递增数列，∴2λ＞0，且a2－a1＝2λ－1＞0，得λ＞，故选B. 2.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且5an＋1＋Sn＋16＝0.则an＝ . 【答案】当n＝1时，5a2＋a1＋16＝0，∴a2＝－，由5an＋1＋Sn＋16＝0　①，得5an＋Sn－1＋16＝0（n≥2）　②，①－②得5an＋1＝4an（n≥2），∵a2＝－≠0，∴an≠0，∴＝（n≥2），又＝，∴{an}是首项为－，公比为的等比数列，∴an＝－·（）n－1＝－4·（）n. 3.数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋1－2Sn＝1－n，且S1＝3，则数列{an}的通项公式是 . 【答案】∵Sn＋1－2Sn＝1－n，∴Sn＋1－（n＋1）＝2（Sn－n），且S1－1＝2≠0，∴＝2，∴{Sn－n}是以2为首项，2为公比的等比数列.∴Sn－n＝2·2n－1＝2n，Sn＝n＋2n.∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n＋2n－（n－1＋2n－1）＝2n－1＋1，又a1＝3不满足上式，∴an＝ 4.数列{an}满足an＝an＋1－，且a1＝，若an＜，则n的最小值为 . 【答案】数列{an}满足an＝an＋1－，即an＋1－an＝，两边同时除以可得－＝1，又a1＝，所以数列是等差数列，其首项为1，公差为1，所以＝1＋（n－1）×1＝n，所以an＝n·.令an＜，即n·＜，当n＝1，2，3时，an＞；当n＝4时，4×＝＜；n≥5时，n·（）n＜，所以使an＜的n的最小值为4. 5.设数列{an}是首项为1正项数列，且（n＋1）－n＋an＋1·an＝0，则它的通项公式an＝（　　） A. B. C.n D.n2 【答案】由（n＋1）－n＋an＋1·an＝0，则[（n＋1）an＋1－nan]（an＋1＋an）＝0，又数列{an}为正项数列，即an＞0，且a1＝1，所以（n＋1）an＋1－nan＝0，即＝，所以an＝··…··a1＝××…××1＝. 【预习要求】 1.认真阅读学案、选修2 P11-29，熟悉本节课的“复习目标”、“重点”、“难点”； 2.能和本说出数列由递推关系求通项方法及使用条件； 3.能合本说出数列由递推关系求通项方法知识体系思维导图. 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22 数列的递推关系（新编） 【复习目标】 1、考点归纳 （1）在选择填空题中考查等差数列、等比数列通项公式求解 （2）在解答题中考查通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现化归思想在数列中的应用. 2、易错易混点归纳 （1）在对递推公式进行变形转化时，可能会出现运算错误或忽略变形的条件。有些递推关系需要通过特定的方法，如取倒数、取对数等进行转化，若不注意条件，可能会导致错误。 （2）在利用递推公式求数列通项时，容易忽略初始条件。递推公式通常是从第二项或更后面的项开始描述数列的规律，而第一项的值需要单独确定。 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 1.对于任意数列{an}，an与其前n项和Sn的关系：an＝ 2．对于递推公式形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式． 3．对于递推公式形如＝f(n)的数列，常令n分别为1，2，3，…，n－1，代入＝f(n)， 再把所得的(n－1)个等式相乘，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．　 考点一 利用an与Sn的关系 学法指导：涉及Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的方向转化. （1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解； （2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解. 【例1】（1）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝4an－3，则Sn＝（　 ） A.4［（）n－1］ B.4［（）n－1］ C.3［（）n－1］ D.4（3n－1） （2）（多选）已知数列{an}满足a1＋3a2＋…＋（2n－1）an＝2n（n∈N*），Sn为数列{an}的前n项和.则下列四个结论中正确的是（　　） A.a1＝2 B.数列{an}的通项公式为an＝ C.S3＝ D.数列{an}为递减数列 考点二　构造辅助数列 学法指导： 1.求形如an＋1＝pan＋q（p≠1）的递推公式的通项，可采用以下两种方法： （1）待定系数法：设an－λ＝p（an－1－λ），用待定系数法可求出λ＝，进而构造新的等比数列{an－λ}，求出通项.其中λ为方程λ＝pλ＋q的解； （2）由an＋1＝pan＋q及an＝pan－1＋q，两式相减得an＋1－an＝p（an－an－1），所以{an＋1－an}是首项为a2－a1，公比为p的等比数列，先求an＋1－an，再求an. 2.形如an＋1＝pan＋q（n）（p≠1）的递归式，等号两边同除以pn＋1，得＝＋，令bn＝，得bn＋1＝bn＋，先求bn，再求an. 3.形如an＋1＝p（p＞0，an＞0）的递归式，等号两边取对数有lg an＋1＝qlg an＋lg p，令bn＝lg an，则bn＋1＝qbn＋lg p，同上得bn，再求an. 【例2】（1）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则a7＝ ； （2）已知数列{an}满足a1＝1，＝10an（an＞0），则an＝ . 考点三　累加、累乘法 学法指导： 1.an－an－1＝f（n）型，可用“累加法”求an，即an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1. 2.＝f（n）型，可用“累乘法”求an，即an＝··…···a1. 【例3】（1）（2022·北京卷）已知数列{an}满足nan＋1－（n＋1）an＝2，a1＝1，则数列{an}的通项公式an＝（　　） A.2n－3 B.3n－2 C.－2n＋3 D.3n＋2 （2）（2024·太原高三年级模拟考试）已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且满足S1＝2，3Sn＝（n＋2）an，则Sn＝ . 【训练检测】 1.数列{an}前n项和Sn满足Sn＝λn2＋2n＋1（λ∈R），若{an}是递增数列，则λ的取值范围为（　　） A.（0，＋∞） B.（，＋∞） C.（1，＋∞） D.（－，＋∞） 2.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且5an＋1＋Sn＋16＝0.则an＝ . 3.数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋1－2Sn＝1－n，且S1＝3，则数列{an}的通项公式是 . 4.数列{an}满足an＝an＋1－，且a1＝，若an＜，则n的最小值为 . 5.设数列{an}是首项为1正项数列，且（n＋1）－n＋an＋1·an＝0，则它的通项公式an＝（　　） A. B. C.n D.n2 【预习要求】 1.认真阅读学案、选修2 P11-29，熟悉本节课的“复习目标”、“重点”、“难点”； 2.能和本说出数列由递推关系求通项方法及使用条件； 3.能合本说出数列由递推关系求通项方法知识体系思维导图. 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$