精品解析：江苏省常州市2024-2025学年八年级上学期期末试卷数学试题

常州市2024－2025学年第一学期八年级期末质量调研 数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为90分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应的位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填涂好答题卡上的考生信息． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 剪纸是我国悠久的民间艺术，春节期间人们用祥和的图案表达对吉祥、幸福的向往．下列剪纸作品中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点位于第三象限，则的值可能是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 3. 下列各数中，无理数是（　　） A B. C. 0 D. 4. 如图，已知两个三角形全等，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标的位置分别记为，则目标的位置记为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，根据尺规作图痕迹，点在数轴上表示的数是（ ） A. B. C. D. 5 8. 定义：是平面内某一点，是图形上任意一点，将两点间距离最小值称为点与图形的“点图距”．如图，在等边中，点的坐标为，点、在轴上．记动点与等边的“点图距”为，则随变化的图像是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 36的算术平方根是___． 10. 的整数部分是________． 11. “2024年潮州半程马拉松”赛道全长21.0975km．将21.0975精确到十分位近似值是______． 12. 若一次函数的图像经过点，则______． 13. 如图，是的角平分线．若，则的面积是______． 14. 当分别取、0、1、2时，一次函数对应的函数值如下表：则关于的不等式的解集是______． … 0 1 2 … … 1 3 5 … 15. 翻折，常常能为问题解决提供思路和方法．如图，在中，，，垂足为，则，，之间的等量关系是______． 16. “勾股容方”问题起源于《九章算术》，该问题可以描述为：如图1，已知“勾股形”的勾为，股为，求“容方”的边长（“勾股形”即直角三角形，“容方”指与此直角三角形有公共直角的内接正方形，即图1中阴影部分）．魏晋时期数学家刘徽利用“出入相补”原理，将图2中的直角三角形及正方形进行重新组合，得到图3中的长方形，从而算出“容方”的边长为__________（用含、的代数式表示）． 三、解答题（本大题共9小题，共68分．第17、18题每题5分，第19、22题每题6分，第20、21题每题8分，第23、24、25题每题10分） 17. 计算： 18. 已知，求的值． 19. 已知：如图，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分别为S，N，Q，且MS＝PS．求证：△MNS≌△SQP． 20. 如图，是射线上一点（不与端点重合），垂直平分线段是射线上一点（不与端点重合），连接的平分线与的延长线相交于点． （1）若，求的大小； （2）若，求的大小． 21. 《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？ 22. 如图，的顶点均在小正方形的顶点上，小正方形的边长为1． （1）按要求画图： ①找一格点，使点到某两个顶点的距离相等（画出符合条件的一个格点即可）； ②仅用无刻度直尺，找一点，使点到三个顶点的距离都相等． （2）在（1）的条件下，的面积是______． 23. 甲、乙两家汽车出租公司收取的租车费（元）、（元）都是行车里程（千米）的函数，它们的图像如图所示． （1）根据图像回答：当__________时，甲、乙两家公司的租车费相等； （2）求与之间的函数表达式； （3）若丙汽车出租公司收取的租车费为每千米元，另收取一次性管理费1200元．在这三家公司中，你认为在哪家公司租车较好？ 24. 如图，杠秤是我国传统的称重工具，它利用秤砣到秤纽的水平距离，得出秤钩上所挂物体的重量． 2 4 6 8 10 1 1.5 2 2.5 3 （1）当提小秤纽称重时，秤钩上所挂物体的重量是秤砣到小秤纽的水平距离的一次函数，所记录的若干次称重数据如表所示： 与之间的函数表达式为__________； 若秤砣到小秤纽的最大水平距离为，求提小秤纽可称的最大物重． （2）在（1）的条件下，若物重大于提小秤纽可称的最大物重，则提大秤纽称重，此时秤钩上所挂物体的重量是秤砣到大秤纽的水平距离的一次函数．已知大、小秤纽的水平距离为，提大秤纽称物重的秤砣位置分别与提小秤纽称物重的秤砣位置重合，求提大秤细可称的最大物重． 25. 如图，已知点的坐标为（24，0），直线经过原点，与轴正半轴的夹角为为直线上一动点，为平面内一点．若为等边三角形（点逆时针排列），则称为点的“伴随点”． （1）若，则点的“伴随点”的坐标为_____； （2）若，求点的“伴随点”的坐标； （3）连接，延长交轴于点．若为直角三角形，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 常州市2024－2025学年第一学期八年级期末质量调研 数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为90分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应的位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填涂好答题卡上的考生信息． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 剪纸是我国悠久的民间艺术，春节期间人们用祥和的图案表达对吉祥、幸福的向往．下列剪纸作品中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、是轴对称图形，故该选项符合题意； D、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C ． 2. 在平面直角坐标系中，点位于第三象限，则的值可能是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据平面直角坐标系中第三象限点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点位于第三象限， ∴， ∴a的值可能是， 故选：A． 3. 下列各数中，无理数（　　） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、是无理数，故本选项符合题意； C、0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D、，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握有理数和无理数的定义． 4. 如图，已知两个三角形全等，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 由全等三角形的对应角相等即可得到答案． 【详解】解：两个三角形全等， ， 故选：A． 5. 的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．由，根据勾股定理可知是直角三角形，即可判断选项A；结合，可设，易得，根据勾股定理可知是直角三角形，即可判断选项B；由，可得，结合三角形内角和定理可解得，可知是直角三角形，即可判断选项C；结合，可设，结合三角形内角和定理可解得，易得，可知不是直角三角形，即可判断选项D． 【详解】解：A.因为的三条边分别为，结合，可知是直角三角形，本选项不符合题意； B.因为，可设，则，可知是直角三角形，本选项不符合题意； C.因为，可得，结合可得，解得，即是直角三角形，本选项不符合题意； D. 因为，可设，结合，可得，解得，所以，所以不是直角三角形，本选项符合题意． 故选：D． 6. 如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标的位置分别记为，则目标的位置记为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据A，B的位置得到第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数，进而表示出点D的位置即可． 【详解】∵目标的位置分别记为 ∴目标的位置记为 故选：B 7. 如图，根据尺规作图痕迹，点在数轴上表示的数是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、数轴上两点之间的距离、勾股定理、数轴与实数等知识，理解并掌握勾股定理的应用是解题关键．根据题意，可知，，，，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图， 根据题意，可知，，， ∴， ∴，即点在数轴上表示的数是． 故选：B． 8. 定义：是平面内某一点，是图形上任意一点，将两点间距离的最小值称为点与图形的“点图距”．如图，在等边中，点的坐标为，点、在轴上．记动点与等边的“点图距”为，则随变化的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质和勾股定理求出，，然后根据题意分4种情况讨论，然后分别求解即可． 【详解】解：∵点，点、在轴上 ∴当时，点与等边的“点图距”为的长度， ∴； 当时， ∵是等边三角形，，点的坐标为， ∴， ∴， ∴ ∴， 如图所示，过点P作于点D 当时， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴此时动点与等边的“点图距” ∴当时， ∴动点与等边的“点图距”为的长度， ∴； 当时， ∴动点与等边的“点图距”为的长度， ∴ ∴； 当时，动点与等边的“点图距”为的长度 ∴ 综上所述，． 故选：B． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理，一次函数动点问题等知识，解题的关键是正确分类讨论． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 36的算术平方根是___． 【答案】6 【解析】 【分析】根据算术平方根可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴36的算术平方根是6； 故答案为6． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个数的算术平方根是解题的关键． 10. 的整数部分是________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵9＜13＜16， ∴3＜＜4， ∴的整数部分是3． 故答案为3． 11. “2024年潮州半程马拉松”赛道全长21.0975km．将21.0975精确到十分位的近似值是______． 【答案】21.1 【解析】 【分析】本题考查近似数，按要求将百分位上的数四舍五入即可解答． 【详解】解：21.0975精确到十分位的近似值是21.1． 故答案为：21.1 12. 若一次函数的图像经过点，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握一次函数图像上点的坐标特征是解题的关键．将点代入一次函数，求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图像经过点， ∴， 解得． 故答案为：． 13. 如图，是的角平分线．若，则的面积是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的面积的计算．作辅助线是解本题的关键．过点D作于H，由角平分线的性质推出，由三角形面积公式即可求出的面积． 详解】解：过点D作于H， ， ， 是的角平分线， ， ， 的面积， 故答案为：7． 14. 当分别取、0、1、2时，一次函数对应的函数值如下表：则关于的不等式的解集是______． … 0 1 2 … … 1 3 5 … 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，正确确定增减性以及交点坐标是关键． 根据表确定函数的增减性以及交点，然后根据增减性判断． 【详解】解：由表中知中随的增大而增大， 当时，， 关于的不等式的解集是， 故答案为：． 15. 翻折，常常能为问题解决提供思路和方法．如图，在中，，，垂足为，则，，之间的等量关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．首先在上截取，连接，可证，根据全等三角形对应边相等可得、，根据可证，根据等角对等边可知，所以可证． 【详解】解：如下图所示，在上截取，连接， ， ， 在和中， ， ，， 又， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 16. “勾股容方”问题起源于《九章算术》，该问题可以描述为：如图1，已知“勾股形”的勾为，股为，求“容方”的边长（“勾股形”即直角三角形，“容方”指与此直角三角形有公共直角的内接正方形，即图1中阴影部分）．魏晋时期数学家刘徽利用“出入相补”原理，将图2中的直角三角形及正方形进行重新组合，得到图3中的长方形，从而算出“容方”的边长为__________（用含、的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列代数式，掌握长方形的面积计算公式是解题的关键．将图2和图3对比得到图3中大长方形的长，根据图2与图3的面积相等及长方形面积公式，求出图3中大长方形的宽即可． 【详解】解：将图2和图3对比得到如图所示的长度关系． ∵图2与图3的面积相等，均为， ∴“容方”的边长为 故答案为： 三、解答题（本大题共9小题，共68分．第17、18题每题5分，第19、22题每题6分，第20、21题每题8分，第23、24、25题每题10分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平方根与立方根．根据平方根与立方根可直接进行求解． 【详解】解： ． 18. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查立方根，将等式移项后，再除以2，方程两边除以2后，再开立方即可． 【详解】解： ∴． 19. 已知：如图，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分别为S，N，Q，且MS＝PS．求证：△MNS≌△SQP． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据同角的余角相等可得∠M＝∠PSQ，再结合已知条件，利用AAS即可证明△MNS≌△SQP． 【详解】∵MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN ∴∠MSP＝∠N＝∠SQP＝90° ∴∠M＋∠MSN＝∠MSN＋∠PSQ ∴∠M＝∠PSQ 在△MNS和△SQP中 ∴△MNS≌△SQP(AAS) 【点睛】本题考查了全等三角形判定，熟练掌握全等三角形的几个判定方法是关键． 20. 如图，是射线上一点（不与端点重合），垂直平分线段是射线上一点（不与端点重合），连接的平分线与的延长线相交于点． （1）若，求的大小； （2）若，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，正确理解题意是解题关键： （1）先根据垂直平分线的性质得出，得出，进而根据角平分线的定义得出答案； （2）设，得出，再根据等腰三角形的性质得出，进而根据三角形内角和定理得出，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：垂直平分线段，点在上， ， ． ， 平分， ． 【小问2详解】 设， ． ， ． ． ． ． 的大小为． 21. 《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？ 【答案】绳索长为尺 【解析】 【分析】根据题意得，绳索，木桩形成直角三角形，根据勾股定理，即可求出绳索长． 【详解】设绳索长为x尺 ∴根据题意得： 解得． ∴绳索长为尺． 【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是理解题意，运用勾股定理解决实际问题． 22. 如图，的顶点均在小正方形的顶点上，小正方形的边长为1． （1）按要求画图： ①找一格点，使点到某两个顶点的距离相等（画出符合条件的一个格点即可）； ②仅用无刻度直尺，找一点，使点到三个顶点的距离都相等． （2）在（1）的条件下，的面积是______． 【答案】（1）①见解析，②见解析 （2）7 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用知识解决问题． （1）①取的中点P即可； ②取的中点K，格点J，作直线交的垂直平分线于点Q，点Q即为所求； （2）判断出点Q到的距离可得结论． 【小问1详解】 解：①如图，点P即为所求； ②如图，点Q即为所求； 【小问2详解】 解：如图，取格点L，W，连接． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：7． 23. 甲、乙两家汽车出租公司收取的租车费（元）、（元）都是行车里程（千米）的函数，它们的图像如图所示． （1）根据图像回答：当__________时，甲、乙两家公司的租车费相等； （2）求与之间的函数表达式； （3）若丙汽车出租公司收取的租车费为每千米元，另收取一次性管理费1200元．在这三家公司中，你认为在哪家公司租车较好？ 【答案】（1）2000 （2） （3）当时，选择甲公司；当时，选择甲或丙公司；当时，选择丙公司 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及其图像的作法是解题的关键． （1）观察图像直接填空即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）利用待定系数法求出与x之间的函数表达式，根据题意写出丙汽车出租公司收取的租车费与行车里程之间的函数表达式并作出其图像，根据各函数图像即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据图像可知，当时，甲、乙两家公司的租车费相等； 故答案为：2000； 【小问2详解】 解：由时，，得． ． 与之间的函数表达式为． 【小问3详解】 解：丙汽车出租公司收取的租车费（元）与行车里程x（千米）之间的函数表达式为， 其图像如图所示： 将坐标代入， 得， 解得， ∴与x之间的函数表达式为， 设甲、丙两函数图像的交点坐标为， 则， 解得：， ∴甲、丙两函数图像的交点坐标为． 由图可知，当时，选择甲公司；当时，选择甲或丙公司；当时，选择丙公司． 24. 如图，杠秤是我国传统的称重工具，它利用秤砣到秤纽的水平距离，得出秤钩上所挂物体的重量． 2 4 6 8 10 1 1.5 2 25 3 （1）当提小秤纽称重时，秤钩上所挂物体的重量是秤砣到小秤纽的水平距离的一次函数，所记录的若干次称重数据如表所示： 与之间的函数表达式为__________； 若秤砣到小秤纽的最大水平距离为，求提小秤纽可称的最大物重． （2）在（1）的条件下，若物重大于提小秤纽可称的最大物重，则提大秤纽称重，此时秤钩上所挂物体的重量是秤砣到大秤纽的水平距离的一次函数．已知大、小秤纽的水平距离为，提大秤纽称物重的秤砣位置分别与提小秤纽称物重的秤砣位置重合，求提大秤细可称的最大物重． 【答案】（1），提小秤纽可称的最大物重为 （2）提大秤纽可称的最大物重为 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系及一次函数的增减性是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； 根据一次函数的增减性和的取值范围求出y的最大值即可； （2）将，分别代入y与x之间的函数表达式，求出对应的x的值，从而分别求出对应的m的值；利用待定系数法求出y，与m之间的函数表达式，并根据一次函数的增减性和m的取值范围求出y的最大值即可． 【小问1详解】 解：设与x之间的函数表达式为 (为常数，且)． 将，和，分别代入， 得 解得 与x之间的函数表达式为． 故答案为∶ ． ， 随的增大而增大． ， 当时，的值最大，． 提小秤纽可称的最大物重为． 【小问2详解】 解：设．由时，，得． 同理可得．解方程组 得 ． ， 随的增大而增大． 当时，的值最大，． 提大秤纽可称的最大物重为． 25. 如图，已知点的坐标为（24，0），直线经过原点，与轴正半轴的夹角为为直线上一动点，为平面内一点．若为等边三角形（点逆时针排列），则称为点的“伴随点”． （1）若，则点的“伴随点”的坐标为_____； （2）若，求点的“伴随点”的坐标； （3）连接，延长交轴于点．若为直角三角形，求线段的长． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意推出，此时点在x轴上进而即可得解； （2）分类讨论点在x轴上方或下方，过点、分别做，，垂足分别为、，先证，得到，进而利用30度的直角三角形的性质即可得解； （3）分类讨论点在x轴上方或下方，易证垂直平分，进而可证是等腰直角三角形，最后即可得解． 【小问1详解】 解：当时，则， ，， ，， 是等边三角形， 此时点在轴上， ，即， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由（1）可知，点在轴上方或下方． 当点在轴上方时，过点分别作，垂足分别为． 为等边三角形， ． ， ． ． 在和中， ． ． ， ． ， ． ． 点的坐标为． 当点在轴下方时，同理可得点的坐标为． 点的坐标为或． 【小问3详解】 解：根据题意，得点在轴上方或下方． 当点在轴上方时，由（2）可知：，则垂直平分． ． ． ， ． ． 为直角三角形， ． ． 是等腰直角三角形． ． 当点在轴下方时，同理可得． 的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$