精品解析：四川省达州市普通高中2024-2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试题

达州市2024年普通高中二年级秋季学期教学质量监测 数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应题框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.考试结束以后，将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 2. 直线倾斜角为，且过点，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 空间中三条不同的直线，，和平面满足，，，则下面结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若且，则 4. 已知点，点为直线上动点，则、两点间距离最小值为（ ） A 1 B. C. D. 2 5. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 3 6. 已知向量，，，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 过点直线与曲线有交点，则直线的斜率范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆方程为，，，过点直线交椭圆于、两点，过点且平行于轴的直线与线段交于点，点关于点的对称点为，则直线一定过点（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知焦点在轴上的椭圆，左焦点，右焦点，为椭圆上且不在轴上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 当焦距为4时，离心率为 C. 当离心率为时，的周长为 D. 当长轴长为时，的面积最大值为4 10. 如图，在正方体中，，在线段上，则（ ） A. 当为中点时，与所成角的余弦值是 B. 当为中点时，与平面所成角的正弦值是 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值是 11. 已知三棱锥中，、、两两垂直，，，三棱锥的内切球（球心到各个面距离相等）半径为，三棱锥的外接球（球心到各顶点距离相等）半径为，三棱锥的表面积为，体积为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线上一点与焦点的距离等于6，且在第一象限内，则的坐标是______. 13. 与双曲线有共同焦点，且经过点的椭圆的标准方程是______. 14. 三棱锥中，，，面面，，以的边所在直线为旋转轴将旋转，则在旋转过程中，的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示的玻璃罩可以看成是由一个圆柱侧面和一个半球球面组合而成，其中球面半径为2分米，圆柱面高为4分米.（忽略玻璃厚度） （1）求该玻璃罩外壁的面积； （2）若将该玻璃罩倒置后装水，求最多能装多少升水？ 16. 已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标，且离心率. （1）求双曲线的标准方程和渐近线方程； （2）过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，求. 17. 如图，直四棱柱的底面是边长为6的菱形，且，，为中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值. 18. 已知圆心为的动圆与：外切，与：内切. （1）求的轨迹方程； （2）过点直线与的轨迹交于，两点，且为线段的中点，求坐标原点关于直线的对称点的坐标. 19. 2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的截口曲线是圆；当圆锥的轴与截面所成的角不同时，还可以截得截口曲线为椭圆、双曲线、抛物线；数学家Germinal Dandelin用双球模型进行了证明，并得出如下结论：当圆锥轴截面的顶角为，截面与圆锥的轴所成角为时，则截口曲线的离心率，当截面为椭圆且垂直于轴截面时，截面与轴截面相交所得线段为长轴.（轴截面是过圆锥的轴的平面与圆锥截得的等腰三角形）已知母线长为6的圆锥，轴截面为等边三角形，. （1）当过的截面截圆锥得到截口曲线是圆时，求圆锥的底面与截面圆之间的部分的体积； （2）过的平面截圆锥得到一个椭圆，截面与交于点，与交于点，为椭圆上一点，与垂直且与圆锥底面平行，. ①判断是否为椭圆的长轴，并说明理由； ②判断是否为椭圆的焦点，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达州市2024年普通高中二年级秋季学期教学质量监测 数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应题框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.考试结束以后，将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据截距的定义计算可得结果. 【详解】根据题意令，解得； 因此直线在轴上的截距为. 故选：D 2. 直线倾斜角为，且过点，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由倾斜角确定斜率，再由斜率公式列出等式即可求解； 【详解】由题意可知，则， 由直线过点P，则得， 故选：A 3. 空间中三条不同直线，，和平面满足，，，则下面结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的性质定理判断选项A；根据线面垂直的判定定理判断选项B；根据线面垂直的性质定理判断选项C；根据空间直线位置关系判断选项D即可. 【详解】对于A，若，，则或是异面直线，故A错误； 对于B，若且，，，根据线面垂直的判定定理，当相交时，才有，故B错误； 对于C，根据线面垂直的性质定理，，则，故C正确； 对于D，若且，，，则或相交，故D错误； 故选：C. 4. 已知点，点为直线上动点，则、两点间距离的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由题意可知，当直线与直线垂直时，、两点间距离最小， 点到直线的距离， 故、两点间距离的最小值为. 故选：B. 5. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出梯形的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形的面积. 【详解】在梯形中，，则该梯形的高为， 梯形的面积为， 在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的， 所以平面图形的面积. 故选：D 6. 已知向量，，，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直关系可得，再由投影向量定义计算可得结果. 【详解】由可得，解得，即； 所以; 因此在方向上的投影向量为. 故选：A 7. 过点的直线与曲线有交点，则直线的斜率范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到表示的圆心为，半径为1的圆，位于轴上方的部分（含轴上的两点），画出图形，得到特殊位置的斜率，得到答案. 详解】，两边平方得，即， 故表示的圆心为，半径为1的圆，位于轴上方的部分（含轴上的两点）， 如图所示，设，连接，并过点作半圆的切线，切点为， 其中，故， 设切线为，即， 圆心到直线的距离为1， 即，即， 解得或，由图形可知，切线斜率大于1， 故舍去， 所以直线的斜率范围为. 故选：C 8. 已知椭圆方程为，，，过点的直线交椭圆于、两点，过点且平行于轴的直线与线段交于点，点关于点的对称点为，则直线一定过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据两条特殊直线的交点，判断定点的坐标，再设过点P的一般方程，联立椭圆方程，得到韦达定理，求得直线的方程，并代入定点坐标，验证是否成立，即可判断是否过定点. 【详解】因为，所以， ①假设过点的直线过原点，则，代入， 可得，，代入方程，可得 ，由得到.求得FN方程： ，过点. ②分析知过点的直线斜率一定存在，设. 联立得， 可得，则 因为点的横坐标与点的横坐标相等为，且点与点关于点对称，所以点的横坐标也为， 又，则，根据中点坐标公式计算得， 直线的斜率，直线的方程为， 假设直线经过定点，代入验证， 即验证， 即验证， 即验证， 将韦达定理及得出的式子代入，得恒成立. 所以直线过点. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：利用特殊情况探讨出定点，再就一般情况验证是求解问题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知焦点在轴上的椭圆，左焦点，右焦点，为椭圆上且不在轴上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 当焦距为4时，离心率为 C. 当离心率为时，的周长为 D. 当长轴长为时，的面积最大值为4 【答案】CD 【解析】 【分析】根据椭圆方程以及几何性质可得AB错误，由焦点三角形周长计算可得C正确，根据面积最大值的表达式可得D正确. 【详解】对于A，因为椭圆的焦点在轴上，因此可得，即A错误； 对于B，当焦距为4时可得，即，可得，所以； 因此离心率为，即B错误； 对于C，结合B选项可得，； 所以的周长为，即C正确； 对于D，当长轴长为时可得，又，所以 的面积最大值为，即D正确. 故选：CD 10. 如图，在正方体中，，在线段上，则（ ） A. 当为中点时，与所成角的余弦值是 B. 当为中点时，与平面所成角的正弦值是 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】取中点，利用异面直线夹角、线面的定义求解判断AB；求出点到平面的距离，结合等体积法判断C；将正与正置于同一平面内，求出判断D. 【详解】对于A，取中点，连接，则，是与所成的角或其补角， 平面，平面，则，而， 因此，A正确； 对于B，平面平面，则与平面所成的角等于 与平面所成角的，，B错误； 对于C，由平面平面，得点到平面的距离等于， 而面积为定值，三棱锥的体积为定值，C正确； 对于D，将正绕直线旋转，使其与正在同一平面内，连接， 则，当且仅当为与的交点时取等号，D正确. 故选：ACD 11. 已知三棱锥中，、、两两垂直，，，三棱锥的内切球（球心到各个面距离相等）半径为，三棱锥的外接球（球心到各顶点距离相等）半径为，三棱锥的表面积为，体积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用等体积法求得内切球的半径，利用补形的思想求得外接球的半径，结合锥体表面积和体积公式来确定正确答案. 【详解】依题意，三棱锥中，、、两两垂直，，， 故可将其补形为长方体，如下图所示： 对于A，由上可知， 所以， ， 所以，A选项正确. 对于B，三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 所以外接球的直径即为长方体的对角线长，B选项正确. 对于C，，C选项正确. 对于D，，D选项错误. 故选：ABC 【点睛】方法点睛：.当三棱锥的三条棱两两垂直时，可将其补形为长方体再研究其外接球. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线上一点与焦点的距离等于6，且在第一象限内，则的坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线定义，有抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离，我们可以根据这个性质来求出点的横坐标，再代入抛物线方程求出纵坐标. 【详解】因为抛物线上一点到焦点的距离等于，根据抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离，准线方程为，所以点到准线的距离为. 设点的横坐标为，则，即，解得. 把代入抛物线方程，得到，因为点在第一象限，所以. 故点的坐标为. 故答案为：. 13. 与双曲线有共同焦点，且经过点的椭圆的标准方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先要将双曲线方程化为标准形式，求出焦点坐标.已知椭圆过点，可代入方程求出相关参数. 【详解】双曲线方程可化为. 可得，则，所以双曲线的焦点坐标为. 设椭圆方程为（）， 因为椭圆与双曲线有共同焦点，所以，则. 又因为椭圆经过点，将代入椭圆方程可得，即. 把代入，可得. 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 14. 三棱锥中，，，面面，，以的边所在直线为旋转轴将旋转，则在旋转过程中，的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意找出点的位置，建立空间直角坐标系找出点到所在平面距离，将问题转化到平面上，求出点在平面上的射影到点距离的最大值和最小值，再根据勾股定理求出的最大值和最小值，得到答案. 【详解】取的中点，的中点，连；由等腰三角形的性质，，由已知平面与平面垂直，可得平面，进而可得出，，两两垂直，如图建立坐标系： 根据几何关系，可求出坐标：，，，，. 不妨记旋转过程中点所在的平面为，由题目已知，在旋转过程中，点在平面截以为圆心，为半径的球所得到的圆上. 记点在内的射影为，到平面的距离为垂线段的长度，记该距离为. 由，可用坐标法计算点到平面的距离为： ，由勾股定理， 由几何关系，，可知当最小时，最小；最大时，最大. 在平面上的几何关系如下图： 可得的最大值为，最小值为，的最大值为，最小值为. 故答案为： 【点睛】易错点睛：本题的难点和易错点在于找到点的范围，易犯错误为将点的范围扩大为以为圆心，半径为的整个球面. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示的玻璃罩可以看成是由一个圆柱侧面和一个半球球面组合而成，其中球面半径为2分米，圆柱面高为4分米.（忽略玻璃厚度） （1）求该玻璃罩外壁的面积； （2）若将该玻璃罩倒置后装水，求最多能装多少升水？ 【答案】（1）平方分米 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆柱的表面积公式和球的表面积公式求解即可； （2）根据圆柱的体积公式和球的体积公式求解即可. 【小问1详解】 由题意知， 故该玻璃罩外壁的面积为平方分米； 【小问2详解】 所求即圆柱体积与半球体积之和， 立方分米升 故最多能装升水. 16. 已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标，且离心率. （1）求双曲线的标准方程和渐近线方程； （2）过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得的值，再由离心率，可得的值，进而求出的值，由此可求出双曲线的方程以及渐近线方程； （2）由题意得到直线方程，与双曲线方程联立，利用弦长公式计算即可. 【小问1详解】 由题意可得，可得，且焦点在轴上， 所以， 所以双曲线的方程为：；渐近线的方程为：； 【小问2详解】 过双曲线右焦点且倾斜角为的直线方程为：， 联立双曲线方程可得：， 所以， 则. 17. 如图，直四棱柱的底面是边长为6的菱形，且，，为中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理只需证明和即可； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角的向量方法求解即可. 【小问1详解】 连接，因为，所以， 又因为，所以三角形是等边三角形， 因为是中点，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面， 所以平面. 【小问2详解】 过点作，与交于点，由第一问可知两两垂直， 建立以为原点，分别为轴的空间直角坐标系，， 则， ， 设平面的法向量为，则， 取，则， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 因为， 所以平面与平面所成角的正弦值为. 18. 已知圆心为的动圆与：外切，与：内切. （1）求的轨迹方程； （2）过点直线与的轨迹交于，两点，且为线段的中点，求坐标原点关于直线的对称点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据这些关系求出动圆圆心M到两定圆圆心的距离之和为定值，从而根据椭圆的定义确定M的轨迹方程. （2）利用点差法求出直线AB的斜率，进而得到直线AB的方程，再根据点关于直线对称的性质求出点P的坐标. 【小问1详解】 设动圆M的半径为r，的圆心，半径； 的圆心，半径. 圆相内切， 因为动圆M与外切，所以； 动圆M与内切，所以，则. 又. 因为， 根据椭圆的定义，点M的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆. 则，，根据，可得. 所以M的轨迹方程为. 【小问2详解】 设，. 因为A，B在椭圆上，所以. 两式相减得：. 因为N为线段AB的中点，所以，. 则直线AB斜率. 直线AB的方程为，即. 设点P，则，即. 又中点在直线AB上，所以. 将代入上式得：. 解得，. 所以点P的坐标为. 19. 2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的截口曲线是圆；当圆锥的轴与截面所成的角不同时，还可以截得截口曲线为椭圆、双曲线、抛物线；数学家Germinal Dandelin用双球模型进行了证明，并得出如下结论：当圆锥轴截面的顶角为，截面与圆锥的轴所成角为时，则截口曲线的离心率，当截面为椭圆且垂直于轴截面时，截面与轴截面相交所得线段为长轴.（轴截面是过圆锥的轴的平面与圆锥截得的等腰三角形）已知母线长为6的圆锥，轴截面为等边三角形，. （1）当过的截面截圆锥得到截口曲线是圆时，求圆锥的底面与截面圆之间的部分的体积； （2）过的平面截圆锥得到一个椭圆，截面与交于点，与交于点，为椭圆上一点，与垂直且与圆锥底面平行，. ①判断是否为椭圆的长轴，并说明理由； ②判断是否为椭圆的焦点，并说明理由. 【答案】（1） （2）①是椭圆的长轴；②不是椭圆的焦点； 【解析】 【分析】（1）依题意求得圆锥的体积以及上半部分小圆锥的体积，相减可求得结果； （2）①利用线面垂直性质以及面面垂直判定定理可证明截面与轴截面垂直，可得结论； ②根据三角形形似以及余弦定理计算可得，再根据右顶点到右焦点的距离即可判断不是椭圆的焦点. 【小问1详解】 由母线长为6的圆锥，轴截面为等边三角形可知， 圆锥的底面圆半径为，其高为， 所以圆锥的体积为， 又，所以当过的截面截圆锥得到截口曲线是圆时， 截面圆半径为，高为； 所以上部分小圆锥体积为； 因此圆锥的底面与截面圆之间的部分的体积. 【小问2详解】 ①连接并延长交底面于点，如下图所示： 又因为与垂直且与圆锥底面平行， 又平面，平面平面，所以； 因为，所以； 又，，即平面； 因为平面， 所以平面平面，即截面垂直于轴截面， 根据定义：当截面为椭圆且垂直于轴截面时，截面与轴截面相交所得线段为长轴， 因此是椭圆的长轴； ②易知，所以， 易知圆锥轴截面的顶角为，在中，由余弦定理可得： ； 此时满足，即，且； 则椭圆离心率为； 又因为，即，所以； 易知点距离椭圆右顶点较近，设椭圆右焦点为， 则，而， 因此点不是椭圆的焦点. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解圆锥曲线在立体几何中的图形由来，结合椭圆性质以及圆锥几何体的关系，再根据题目信息所提供的定义可判断得出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $