精品解析：江苏省南京市金陵中学2024-2025学年高一上学期期末质量监测数学试卷

金陵中学2024-2025高一上学期期末质量监测试卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（共8小题） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出，，再求解即可求解. 【详解】由题意可得，， 所以，故A正确. 故选：A. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数性质结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，可得，即，即充分性成立； 若，例如，则，不成立，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 近年来，中国加大了对电动汽车的研究与推广，新型动力电池迎来了蓬勃发展的机遇.已知蓄电池的容量C（单位：Ah），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式为，其中.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ） A. 28h B. 28.5h C. 29h D. 29.5h 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得出，，利用对数恒等式与指数运算性质可求得结果. 【详解】因为当放电电流时，放电时间，则， 当放电电流时，则， 即，可得. 故选：C 4. 若函数（，且）的图象如图所示，则下列函数与图象对应正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数经过点，求出，并代入选项，借助基本初等函数逐一判断即可. 【详解】从函数（，且）的图象可知：该函数经过， 所以，即，解得， 对于选项A: ，由指数函数可知在定义域上单调递减，故选项A错误； 对于选项B: ，当时，则， 由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴，故选项B错误； 对于选项C: 该函数为，可看成的图象关于轴对称，对称后在单调递增，故选项C错误； 对于选项D: ，由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴，故选项D正确. 故选：D. 5. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是 ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过扇形的周长，求出扇形的弧长，求出扇形的圆心角，然后求出扇形的面积，三角形的面积，即可得到这个扇形所含弓形的面积. 【详解】 可得：扇形面积， 三角形面积， 可得弓形面积， 故选：C 6. 若，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由可得，，，由，得，，在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，结合图象可得结果. 【详解】因为，而当时，，当时，， 所以， 因为，而当时，，所以， 因为，而当时，，所以， 由，得，， 所以为和图象交点的横坐标，为和图象交点的横坐标， 在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，如图所示， 由图可得 综上， 故选：A 7. 函数的零点的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将零点问题转化为交点问题，作图求解即可. 【详解】令，故，即的零点个数为与的交点个数， 显然在单调递增，的周期为，且当时，， 故此时两个函数无交点，作出图像如下图， 由图像得共有个交点，故有个零点，即C正确. 故选：C 8. 函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对两边取对数，得到，继而换元，令，再结合求解二次函数的最值问题，即可求得答案. 【详解】由，设， 故， 令，则， 当时，取到最大值， 故y的最大值为，即函数的最大值为， 故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是结合函数解析式的结构特点，采用两边取对数再结合换元的方法，将原问题转化为求二次函数的最值问题. 二、多选题（共4小题） 9. （多选）若实数满足则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先利用函数为上的增函数，得，选项A，选项D利用不等式性质可得到，选项B则利用作差法即可得到结果；选项C利用对数函数的单调性即可得到. 【详解】因为函数为上的增函数，由，可得， 对于A，当时，不成立，故A不正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，则，可得，所以， 因为函数为上的减函数，所以C正确： 对于D，由于，所以，故D不正确. 故选：BC. 10. （多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 若、，且，则 D. 把的图象向右平移个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数为偶函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用图象求出函数的解析式，可判断A选项；利用余弦型函数的单调性可判断B选项；利用余弦型函数的对称性求出的值，代值计算可判断C选项；利用三角函数图象变换结合余弦型函数的奇偶性可判断D选项. 【详解】对于A选项，由图可知，， 函数的最小正周期满足，可得，则， 则， 又因为，可得， 因为，则，所以，，可得， 所以，，A对； 对于B选项，当时，， 所以，在上不单调，B错； 对于C选项，当时，，由可得， 所以函数在区间内的图象关于直线对称， 若、，且，则， 所以，C对； 对于D选项，把的图象向右平移个单位长度， 可得到函数的图象， 再将所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 则为偶函数，D对. 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，对任意，都有，当时，，且，则（ ） A. ，都有 B. 当时， C. 是减函数 D. 若则不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，即可求出；根据题意，当时，，可得，再结合即可得到，进而得可判断A、B；利用单调性定义结合题意证明单调性，即可判断C；由，结合题意可得，再借助函数单调性解不等式即可判断D. 【详解】令，则，又，所以. 当时，，所以， 又，所以，即.故A错误，B正确： 设，则 又，所以，所以， 又当时，，当时，， 所以，即，所以在上单调递减，C正确： 因为，所以， 不等式即 又在上单调递减，所以，解得， 所以等式的解集为D正确. 故选：BCD. 三、填空题（共2小题） 12. 已知幂函数的图象通过点，则__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由幂函数的定义，结合函数过求得函数解析式，进而可得的值. 【详解】设幂函数的解析式为 ∵幂函数过点 ∴ ∴ ∴该函数的解析式为， ∴. 故答案为： 13. 如图所示，已知角α，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则以下结论正确的有__________. ①； ②； ③点的坐标为； ④点的坐标为 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由角的定义求解可判断A；由圆的性质及角的定义求解可判断B；由三角函数定义求解可判断C；由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断D. 【详解】，①正确； 依题意，知为的中点，，②正确； 又为劣弧的中点，， 又，点的坐标为，③正确： 为的中点，，则点的坐标为， ， ， 点的坐标为，④错误. 故答案为：①②③. 14. 已知函数若存在实数，使得方程有4个不同的实数根，且.则的取值范围为______，的取值范围为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合函数图像，即可求出的取值范围；利用，将表示成关于的表达式，借助，利用单调性即可解决. 【详解】画出函数的图象如图所示： 要使得方程有4个不同的实数根， 只需有4个不同的实数根，即的图象有四个交点， 结合图象可知：. 因为，所以， 所以， 即， 所以，即， 而是的两根，即， 因为，满足所以， ， 令，因为，则在单调递增， 所以，故. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题（共5小题） 15. 函数的值域为，的定义域为 （1）求； （2）若求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的单调性求出函数在上的最大值和最小值，即可得出集合； （2）求出集合，利用集合的包含关系可得出不等式组，解之即可. 【小问1详解】 因为在上单调递减，所以当时有最大值，且最大值为， 当，有最小值，且最小值为. 所以. 【小问2详解】 由，得，解得，所以，， 因为，所以，解得. 故实数的取值范围. 16. 已知函数，、是的图象与直线的两个相邻交点，且． （1）求的值及函数在上的最小值； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，根据题中信息求出函数的最小正周期，可得出的值，即可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的基本性质可求出函数在上的最小值； （2）设，可得出，设，可知在上恒成立，可得出关于的不等式组，解之即可. 【小问1详解】 解：函数 ， 则， 因为、是函数的图象与直线的两个相邻交点，且， 所以，函数的最小正周期为，则， 可得． 由，得，所以，， 所以，，故函数在上的最小值为． 【小问2详解】 解：设，因为，所以． 因为不等式恒成立， 设， 所以在上恒成立． 则，即， 解得，故的取值范围为． 17. 如图所示，在等腰直角中，为线段的中点，点分别在线段上运动，且，设. （1）设，求的取值范围及； （2）求面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得，即可得，在中，利用即可求出结果； （2）根据条件得到，再利用基本不等式即可求出结果. 【小问1详解】 因为为等腰直角三角形，为线段的中点， 所以. 因为点在线段上运动，所以， 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为. 18. 已知函数 （1）计算的值： （2）判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； （3）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.依据上述结论，证明：的图象成中心对称图形，并求出对称中心. 【答案】（1）； （2）函数在上单调递减，证明见解析； （3）证明见解析，. 【解析】 【分析】（1）将代入求值即可 （2）利用单调性得定义证明即可； （3）构造，只需证明为奇函数即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 函数在上单调递减.证明如下： 任取，且， 因为，所以， 所以，即，故函数在上单调递减. 【小问3详解】 证明：设，则. 因为函数定义域为， 且， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 因为是由的图象左平移一个单位，再向下平移1个单位， 故的图象关于点成中心对称图形. 19. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0或1； （2） （3） 【解析】 分析】（1）依题意可得，利用换元法计算可得； （2）依题意可得在上有解，参变分离可得在上有解，结合对勾函数的单调性求出的取值范围，即可得解； （3）依题意可得，根据的单调性，求出的最值，即可得到，换元得到，参变分离，结合函数的单调性，计算可得. 【小问1详解】 当时，由可得，， 令，则，解得或， 即或，解得或， 的“准不动点”为0或1； 【小问2详解】 由得，， 即上有解， 令，由可得，则在上有解， 故，当时，在上单调递增，，则，解得， 的取值范围； 【小问3详解】 由得，， 即，则， 又由指数函数的性质可知在上单调递增，，则， 即， 令，则，从而，则， 又在上均增函数，则，， ，即，所以实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金陵中学2024-2025高一上学期期末质量监测试卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（共8小题） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 近年来，中国加大了对电动汽车的研究与推广，新型动力电池迎来了蓬勃发展的机遇.已知蓄电池的容量C（单位：Ah），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式为，其中.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ） A. 28h B. 28.5h C. 29h D. 29.5h 4. 若函数（，且）的图象如图所示，则下列函数与图象对应正确的为（ ） A. B. C. D. 5. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是 ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的零点的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共4小题） 9. （多选）若实数满足则下列不等式恒成立的是（ ） A B. C. D. 10. （多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 上单调递增 C. 若、，且，则 D. 把的图象向右平移个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数为偶函数 11. 已知函数的定义域为，对任意，都有，当时，，且，则（ ） A. ，都有 B. 当时， C. 是减函数 D. 若则不等式的解集为 三、填空题（共2小题） 12. 已知幂函数的图象通过点，则__________． 13. 如图所示，已知角α，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则以下结论正确的有__________. ①； ②； ③点的坐标为； ④点坐标为 14. 已知函数若存在实数，使得方程有4个不同的实数根，且.则的取值范围为______，的取值范围为______. 四、解答题（共5小题） 15. 函数值域为，的定义域为 （1）求； （2）若求实数a的取值范围. 16. 已知函数，、是的图象与直线的两个相邻交点，且． （1）求的值及函数在上的最小值； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 17. 如图所示，在等腰直角中，为线段的中点，点分别在线段上运动，且，设. （1）设，求的取值范围及； （2）求面积的最小值. 18. 已知函数 （1）计算的值： （2）判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； （3）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.依据上述结论，证明：的图象成中心对称图形，并求出对称中心. 19. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $