精品解析：广东省广州市华南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期末考试 高二数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别､姓名､考号填写在答题卡指定位置，并用铅笔准确填涂考号. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，答题卡由监考老师收回. 第一部分选择题（共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 2. 已知圆： ，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 3. 已知数列的通项公式为，则146是该数列的（ ） A. 第10项 B. 第11项 C. 第12项 D. 第13项 4. 如图，平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是等比数列，则“”是“是增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知数列的前 项和为，且，则的值为（ ） A. 107 B. 169 C. 1389 D. 1409 7. 某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ） （参考数据：） A. 964万元 B. 2980万元 C. 3940万元 D. 5170万元 8. 已知矩形，，，为边上一点且 ，与 交于点，将 沿棱折起，使得点 折到点的位置，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前 项和为，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若 ，则数列为等差数列 B. 若 ，则数列是公差为的等差数列 C. 若，则 D. 若，则 10. 立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，半正多面体的棱长为，棱数为24，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 若 是棱的中点，则与平面平行 C. 平面 与平面的夹角的正切值为 D. 若四边形的边界及其内部有一点，，则点的轨迹长度为 11. 已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ） A. 点的轨迹方程是 B. 点的轨迹与圆没有公共点 C. 平面上有一点，则的最小值为5 D. 直线是“最远距离直线” 第二部分非选择题（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线 上一点的横坐标为3，则点到抛物线焦点的距离是__________. 13. 若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是______． 14. 如图，是一块半径为的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形，记第 块纸板的面积为，则 （1） __________. （2）若，使得成立，则的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前 项和. 16. 如图，在四棱锥 中，底面是矩形， 平面， ， ，于点． （1）求证：； （2）求直线与平面 所成的角的余弦值． 17. 已知数列的前n项和为，，． （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为； （3）若 对任意恒成立．求实数的取值范围． 18. 已知椭圆经过点，且右焦点为. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线 与椭圆交于两点，以为直径的圆过原点. （i）证明：； （ii）若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的范围. 19. 给定正整数，设数列满足.对于正数 ，定义，其中表示数集中最大的数.记集合，设的元素个数为. （1）写出数列，并由此求出集合； （2）若，求 的所有可能取值； （3）证明：存在无穷多个 使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末考试 高二数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别､姓名､考号填写在答题卡指定位置，并用铅笔准确填涂考号. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，答题卡由监考老师收回. 第一部分选择题（共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用方向向量求出直线斜率即可求出倾斜角. 【详解】因为直线l的一个方向向量为，所以l的斜率， 又，所以，因为，所以. 故选：D. 2. 已知圆： ，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 【答案】D 【解析】 【分析】根据即可判断两圆的位置关系. 【详解】由题意知，， 所以，则， 所以两圆内切. 故选：D 3. 已知数列的通项公式为，则146是该数列的（ ） A. 第10项 B. 第11项 C. 第12项 D. 第13项 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的通项公式，列式求出值即可. 【详解】依题意，，而，解得， 所以146是该数列的第12项. 故选：C 4. 如图，平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的加法、减法法则化简可得结果. 【详解】. 故选：D. 5. 已知是等比数列，则“”是“是增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据递增数列的定义并结合对项取值，可得结果 【详解】由数列是等比数列，可假设， 则， 可知，但数列不是递增数列， 若数列是递增等比数列，由定义可知，，故 “”是“是递增数列”的必要不充分条件 故选：B 6. 已知数列的前项和为，且，则的值为（ ） A. 107 B. 169 C. 1389 D. 1409 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的通项公式，利用分组求和法列式计算即可. 【详解】依题意，. 故选：D 7. 某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ） （参考数据：） A. 964万元 B. 2980万元 C. 3940万元 D. 5170万元 【答案】C 【解析】 【分析】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列 ，由求出通项，再结合数列求和即可得解. 【详解】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列， 依题意，当时，，即， 因此数列是首项为90，公比为1.3的等比数列，，即， 则， 所以从2024年到2033年该产品的销售总额约为3940万元. 故选：C 8. 已知矩形，，，为边上一点且 ，与交于点，将 沿棱折起，使得点折到点的位置，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，，结合垂直关系可知 平面 ，结合长度关系可知点在以点为圆心，半径为的圆上，结合圆的性质分析求解. 【详解】在矩形，，， ， 由可得， 由可得， 则，即， 可知折起后，必有，，， ， 平面 ， 故 平面 ， 因为是确定的直线，故对任意点，，，都在同一个确定的平面内， 因为，可知点在以点为圆心，半径为的圆上（如图）， 由图知，当且仅当与该圆相切时， 取到最大值， 则也取到最大值， 此时，， 则的最大值为. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于证明 平面 后，要考虑动点的轨迹，同时将理解为点与圆上的点的连线，结合图形，得出当且仅当与该圆相切时，取到最大值的结论. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若 ，则数列为等差数列 B. 若 ，则数列是公差为的等差数列 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，结合等差数列的性质，逐一判断各个选项即可. 【详解】对于A，当 时，，数列为等差数列，A正确； 对于B，，则是公差为的等差数列，B错误； 对于C，当时，，则，， 因此，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 10. 立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，半正多面体的棱长为，棱数为24，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 若是棱的中点，则与平面平行 C. 平面 与平面的夹角的正切值为 D. 若四边形的边界及其内部有一点，，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由给定条件可得“阿基米德体”的所有顶点都是正方体的棱的中点，结合正方体的结构特征，利用线面垂直、线面平行的判定定理及面面角，逐项剪断. 【详解】对于A，由图知 与虚线正方体的侧棱平行，而侧棱垂直于平面平面 ， 因此 平面 ，A正确； 对于B，点是虚线正方体一组平行棱的中点，则平面平面， 而与平面相交，因此与平面不平行，B错误； 对于C，如图，取 中点，连接，则， 是平面 与平面的夹角，，C正确； 对于D，半正多面体的棱长为，虚线正方体的棱长为4， 平面， 由平面，得，， 因此点的轨迹是以为圆心、2为半径的圆在四边形及内部， 点的轨迹长度为，D正确. 故选：ACD 11. 已知点，直线，动点到点的距离是点到直线 的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ） A. 点的轨迹方程是 B. 点的轨迹与圆没有公共点 C. 平面上有一点，则的最小值为5 D. 直线是“最远距离直线” 【答案】ACD 【解析】 【分析】设点，根据题意列方程化简可得方程判断A；结合图形直接判断B；将转化为，结合图形判断C；判断直线与点P的轨迹方程是否有交点判断D. 【详解】对于A，设，因为点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半， 所以，化简得，A正确； 对于B，由，得 ，即圆心为，半径为1， 易得点P的轨迹与圆C交于点，B错误． 对于C，过P作于B，则，， 由图知，的最小值即为点A到直线l：的距离，该距离为5，C正确； 对于D，由可得，解得，存在， 因此直线是“最远距离直线”，D正确； 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：根据题设条件求出轨迹方程，结合图形求解是关键. 第二部分非选择题（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线 上一点的横坐标为3，则点到抛物线焦点的距离是__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义直接求得答案. 【详解】抛物线 的准线为， 所以该抛物线上点到其焦点的距离为. 故答案为：4 13. 若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合平行平面距离的意义，利用空间向量计算作答. 【详解】依题意，平行平面间的距离即为点O到平面的距离， 而，所以平行平面、间的距离. 故答案为： 14. 如图，是一块半径为的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形，记第块纸板的面积为，则 （1） __________. （2）若，使得成立，则的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，每次剪去的半圆的面积构成了一个等比数列，由此先求得，从而可求得答案；（2）根据题意只要使得，即可保证，使得成立，因此解不等式即可得答案. 【详解】依题意，依次剪去一个更小的半圆，其半径为前一个半圆半径的一半， 则每次剪去的半圆的面积组成了首项为 ，公比为 的等比数列， 第块纸板是剪了 次后得到的，， （1）； （2），使得成立，则只需，而，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：将被剪去的半圆面积依次排成一列构成等比数列，利用等比数列前项和公式求出是求解的关键. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合等比数列性质求出公比，进而求出通项公式. （2）由（1）的结论求出，再利用分组求和法，结合等差数列、等比数列前项和公式求解. 【小问1详解】 设等比数列中， ，由，得，解得， 而，则 ，因此数列的公比， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1），得， 所以数列的前项和. 16. 如图，在四棱锥 中，底面是矩形， 平面， ， ，于点． （1）求证：； （2）求直线与平面 所成的角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明出 平面 ，利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、 、所在直线分别为、、建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面 所成的角的余弦值． 【小问1详解】 证明：因为 平面， 平面，则， 因为四边形为矩形，则， 因为，、 平面 ，所以 平面 ， 因为平面 ，所以 ， 又因为，，、 平面 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，故. 【小问2详解】 解：因为 平面，四边形为矩形， 以点为坐标原点，、 、所在直线分别为、、建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 则，，， 设平面 的法向量为， 则，取，可得， 所以，， 因此，直线与平面 所成的角的余弦值为. 17. 已知数列的前n项和为，，． （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为； （3）若 对任意恒成立．求实数的取值范围． 【答案】（1）证明如下： 由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列，则， 所以. （2） ； （3） . 【解析】 【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明，进而写出通项公式； （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求； （3）将问题化为 恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，则， 所以 ， 所以 . 【小问3详解】 由（1）（2），则 ，整理得 恒成立， 令 ，则 ， 当时，当 时，当时， 所以 ，即的最小值为 ， 综上， . 18. 已知椭圆经过点，且右焦点为. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线 与椭圆交于两点，以为直径的圆过原点. （i）证明：； （ii）若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的范围. 【答案】（1） ； （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出 即得椭圆的方程. （2）（i）联立直线 与椭圆的方程，利用韦达定理及垂直关系的向量表示推理得证；（ii）取中点为，结合给定向量关系可得，由点在椭圆上求出，进而建立的函数关系并求出取值范围. 【小问1详解】 依题意，，而半焦距，则， 所以椭圆的方程为 . 【小问2详解】 （i）由（1）知，椭圆： ，设，， 由消去得， 则，，， 由以为直径的圆过原点，得， 整理得，则， 即，则，此时成立， 所以. （ii）设线段中点为，则，结合图可知 ，， 又， 由，得点坐标为，， 于是，化简得，即， 则， 所以四边形面积的取值范围为. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 19. 给定正整数，设数列满足.对于正数，定义，其中表示数集中最大的数.记集合，设的元素个数为. （1）写出数列，并由此求出集合； （2）若，求的所有可能取值； （3）证明：存在无穷多个使得. 【答案】（1），，，； （2），，，； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）写出数列、，根据题中定义可得出集合、； （2）由题意可得，由（1）可知，或不合乎题意，可得出 ，推导出，求出的可能取值，然后逐一检验即可得解； （3）讨论，和，两种情况，结合题中的定义，求出、，即可证得结论成立. 【小问1详解】 数列，则，数列，则. 【小问2详解】 依题意，， 由（1）知，当或时，，不符合题意，则 ， 对于给定的，因为， 则，即，当 时，，且， 于是，， 而，所以，， 则，即，又，解得、、、或， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意， 所以的所有可能取值有、、、. 【小问3详解】 当，时，若，由， 得或， 则、、 、中不同的值为 、、、 、，共 个， 若，由， 得、、 、各不相等， 则、、 、中不同的值有 个， 于是； 当，时， 若，由， 得或， 则、、 、中不同的值为 、、、 、，共 个， 若，由， 得、、 、各不相同， 则、、 、中不同的值有 个， 于是. 所以对任意的，，故结论得证. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $