2025年湖南省中考数学模拟卷

卷2(湖南省)2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．若长江水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作（    ） A． B． C． D． 2．祖国江山美丽如画，川西风光多姿多彩．据四川省某州相关部门通报，“五一”期间，全国各地众多游客前往旅游，共接待游客约1665000人次．将1665000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 3．榫卯（sǔnmǎo），是一种中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧．如图是其中一种榫，其主视图是（    ）      A．   B．  C．   D．   4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 6．下列命题中是真命题的是（    ） A．两直线被第三条直线所截，同位角相等 B．对顶角相等 C．若，则 D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0 7．如图，是的直径，是上一点．若，则（    ）    A． B． C． D． 8．刘超五次数学成绩分别是，这组数据的平均数和中位数分别是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，点D，E分别是的中点，若，则的长为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 10．在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 二、填空题：（本大题共8题，每题3分，共24分.） 11． ． 12．做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得下表数据： 抛掷总次数 100 200 300 400 杯口朝上频数 18 38 63 80 杯口朝上频率 0.18 0.19 0.21 0.20 估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为 （结果精确到0.1）． 13．分式方程的解为 ． 14．等腰三角形的一个角为，则它的两底角为 ． 15．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数c的值可能是 （写出一个即可）． 16．如图是一台印刷机每年可印刷的书本数量（万册）与它的使用时间（年）的关系图，则当年时， 万册． 17．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，若，的面积为2，则的面积为 ． 18．如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段表示“铁军”雕塑的高，点，，在同一条直线上，且，，，则线段的长约为 m.（计算结果保留整数，参考数据：）    三、解答题：（本大题共8题，第19-20每题6分，第21-22每题8分，第23-24每题9分，第25-26每题10分，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19.(6分)计算：． 20．(6分)先化简，后求值：，其中． 21．(8分)为落实“双减”政策，优化作业管理．某中学在八年级随机抽取部分学生对作业完成时间进行调查，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组“”；B组“”；C组“”；D组“”；E组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求本这次调查的总人数． (2)请补全条形统计图． (3)求A组人数占本次调查人数的百分比． (4)在扇形统计图中，B组所对应的圆心角度数为________度． 22．(8分)如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求线段的长． 23．(9分)超市购进A、B两种商品，购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元． (1)求A、B两种商品每件进价分别是多少元？ (2)若该商店购进A、B两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品的件数少30件，该商店此次销售A、B两种商品共获利不少于640元，求至少购进A种商品多少件？ 24．(9分)图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．    (1)求的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 25．(10分)已知抛物线与x轴交于，两点，与y 轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P为第一象限抛物线上的点，当时，求点P的坐标； (3)如图2，点D 在 y 轴负半轴上，且，点 Q 为抛物线上一点，．点 E，F分 别为的边，上的动点，且， 求的最小值． 26．(10分)如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为的中点，点在上，以、为邻边作矩形，边交于点． (1)如果，，求边的长； (2)连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的余切值； (3)连接并延长，交于点，如果，求的值． 试卷第4页，共11页 试卷第7页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 卷2(湖南省)2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．若长江水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数表示相反意义的量，根据水位升高记为正，则水位下降记为负即可得出答案． 【详解】解：若长江水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作， 故选：C ． 2．祖国江山美丽如画，川西风光多姿多彩．据四川省某州相关部门通报，“五一”期间，全国各地众多游客前往旅游，共接待游客约1665000人次．将1665000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．根据，即得解． 【详解】解： ， 将1665000用科学记数法表示应为． 故选：B． 3．榫卯（sǔnmǎo），是一种中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧．如图是其中一种榫，其主视图是（    ）      A．   B．  C．   D．   【答案】B 【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的图形，可得答案． 【详解】解：该几何体的主视图是：    故选：B． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式等知识点进行判定即可． 【详解】A．，故本选项原说法不符合题意； B．，故本选项原说法不合题意； C．，故本选项原说法不合题意； D．，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了整式的运算，涉及的知识有：合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的概念逐项判断即得答案. 【详解】解：A、，故本选项中的式子不是最简二次根式； B、是最简二次根式； C、，故本选项中的式子不是最简二次根式； D、，故本选项中的式子不是最简二次根式； 故选：B. 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，熟知概念是关键. 6．下列命题中是真命题的是（    ） A．两直线被第三条直线所截，同位角相等 B．对顶角相等 C．若，则 D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，对顶角的定义，偶次方的性质，算术平方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、两平行直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题，不符合题意； B、对顶角相等，是真命题，符合题意； C、若，则，是假命题，不符合题意； D、一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0或1，是假命题，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，熟知平行线的性质，对顶角的定义，偶次方的性质，算术平方根的定义是解题的关键． 7．如图，是的直径，是上一点．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 8．刘超五次数学成绩分别是，这组数据的平均数和中位数分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平均数和中位数的计算．将原数据从小到达排列后，处于中间的数是82，即中位数是82，求出所有数的和再除以个数即得平均数为82． 【详解】解：将从小到达排列为： 中位数为：82 平均数为：． 故答案为：B． 9．如图，在中，点D，E分别是的中点，若，则的长为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟知三角形中位线等于第三边长的一半是解题的关键． 【详解】解：∵点D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 10．在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴，故选项A错误； ∵点为“整点”， ， ∴整数a为，，0，1， ∴点P的个数为4个，故选项B错误； ∴“整点”P为，，，， ∵，，， ∴“超整点”P为，故选项C正确； ∵点为“超整点”， ∴点P坐标为， ∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误， 故选：C． 二、填空题：（本大题共8题，每题3分，共24分.） 11． ． 【答案】4 【分析】本题考查利用相反数定义化简符号．根据的相反数是4求解即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 12．做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得下表数据： 抛掷总次数 100 200 300 400 杯口朝上频数 18 38 63 80 杯口朝上频率 0.18 0.19 0.21 0.20 估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为 （结果精确到0.1）． 【答案】0.2 【分析】观察数据表知，随着抛掷总次数的增加，频率稳定在0.2附近，可把它作为概率的近似值． 【详解】解：由表知，随着抛掷总次数的增加，频率稳定在0.2附近， 因此，估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为0.2； 故答案为：0.2． 【点睛】本题考查了频率与概率，理解当频数增加时，频率稳定在某个值，这个值可以作为事件发生的概率，这是解题的关键． 13．分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，然后求解并检验即可求解． 【详解】解： 解得： 经检验是原方程的解， 故答案为：． 14．等腰三角形的一个角为，则它的两底角为 ． 【答案】、 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形的一个角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论． 【详解】解：当为顶角时，其他两角都为、， 当为底角时，等腰三角形的两底角相等，由三角形的内角和定理可知，底角应小于，故底角不能为， 所以等腰三角形的底角为、． 故应填、． 15．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数c的值可能是 （写出一个即可）． 【答案】15，答案不唯一 【分析】本题考查一元二次方程（，、、为常数）的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有没有实数根，还涉及到解一元一次不等式． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：15，答案不唯一， 16．如图是一台印刷机每年可印刷的书本数量（万册）与它的使用时间（年）的关系图，则当年时， 万册． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是根据图像推断为反比例函数，待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入解析式求出y值即可． 【详解】解：由图像可知，一台印刷机每年可印刷的书本数量（万册）与它的使用时间（年）成反比例函数， 设函数解析式为， 将代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 当时，（万册）． 故答案为：． 17．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，若，的面积为2，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和性质定理，作可得，根据可得的面积，即可求解． 【详解】解：作，如图所示： 由题意得：平分， ∴ ∵ ∴ ∵的面积为2， ∴的面积为， ∴的面积为， 故答案为： 18．如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段表示“铁军”雕塑的高，点，，在同一条直线上，且，，，则线段的长约为 m.（计算结果保留整数，参考数据：）    【答案】 【分析】由，可得，可推得，由三角函数求出即可． 【详解】∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ 解得， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出的长是解题关键． 三、解答题：（本大题共8题，第19-20每题6分，第21-22每题8分，第23-24每题9分，第25-26每题10分，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19.(6分)计算：． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数，绝对值的化简解答即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数，绝对值的化简，熟练掌握公式是解题的关键． 20．(6分)先化简，后求值：，其中． 【答案】， 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 21．(8分)为落实“双减”政策，优化作业管理．某中学在八年级随机抽取部分学生对作业完成时间进行调查，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组“”；B组“”；C组“”；D组“”；E组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求本这次调查的总人数． (2)请补全条形统计图． (3)求A组人数占本次调查人数的百分比． (4)在扇形统计图中，B组所对应的圆心角度数为________度． 【答案】(1)100人 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数， （2）计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）根据A组的人数和求出的总人数，即可计算A组所占的百分比； （4）再进一步计算B组所占的圆心角度数即可． 【详解】（1）解：这次调查的学生人数是：（人） 答：本这次调查的总人数为100人． （2）D组的人数为：（人）． （3）A所占的百分比为：． 答：A组人数占本次调查人数的百分比为． （4）B组所占的圆心角是：． 故答案为：． 22．(8分)如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)①或②，证明见解析； (2)6 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可； （2）根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：选择①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 选择②， 证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（1）得， ∵，， ∴． 23．(9分)超市购进A、B两种商品，购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元． (1)求A、B两种商品每件进价分别是多少元？ (2)若该商店购进A、B两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品的件数少30件，该商店此次销售A、B两种商品共获利不少于640元，求至少购进A种商品多少件？ 【答案】(1)A种商品每件进价5元，B种商品每件进价6元； (2)至少购进A种商品100件． 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用： （1）根据“购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元”列出方程组解答即可； （2）设购进A种商品件，则B种商品件，“利润不少于640元”列出不等式解答即可． 【详解】（1）解：设A甲种商品每件进价x元，B种商品每件进价y元， 根据题意，得，解得：， 答：A种商品每件进价5元，B种商品每件进价6元． （2）解：设A种商品购进a件，则B种商品件， 根据题意，得， 解得：， 答：至少购进A种商品100件． 24．(9分)图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．    (1)求的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)该运动员能挂上篮网，理由见解析 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解； （2）延长交于点，根据题意得出，解，求得，根据与比较即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）该运动员能挂上篮网，理由如下． 如图，延长交于点，    ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴该运动员能挂上篮网． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 25．(10分)已知抛物线与x轴交于，两点，与y 轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P为第一象限抛物线上的点，当时，求点P的坐标； (3)如图2，点D 在 y 轴负半轴上，且，点 Q 为抛物线上一点，．点 E，F分 别为的边，上的动点，且， 求的最小值． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)点 P 坐标为 (3)BE+QF的最小值为 【分析】（1）将，，代入中，利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴，交于点，过点 作轴，由可得，证明，得到，设点坐标为，可得，解之即可求解； （3）作，且使，连接，证明得到，共线时，的值最小，作于点，设，则，得到，求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：将，，代入中， 得，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，过点作轴，交于点，过点 作轴，交轴于点， ∵，，， ∴， 由（1）可得，，即， ∴， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设点坐标为，则，， ∴， 解得 (舍去)或， ∴点坐标为； （3）解：如图，作，且使，连接， ∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，，共线时，的值最小， 作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则，， ∴， 解得或(舍去)， ∴， ∴， ∴，， ∴， 则的最小值为． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 26．(10分)如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为的中点，点在上，以、为邻边作矩形，边交于点． (1)如果，，求边的长； (2)连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的余切值； (3)连接并延长，交于点，如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）连接，过点作，垂足为，由圆周角定理可得，进而可得，再证明，根据，可得，即可求解； （）连接，设， 则 ， ， 求出，得到，进而得到，，分和两种情况解答即可求解； （）由可得，进而得到，可证明△≌△，得到，设，，则，，证明△∽△，得到，即可得到，由勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：连接，过点作，垂足为， ∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：连接， ，则 ， ， 在△中，， ∴， ∴， ， 当时，， 即， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点作，垂足为， ∵， ∴，则， ∴， 在△中， ∵， ∴； 当时，， 即，不存在； ∴的余切值为：； （3）解：如图 由可得， ∴，，， ∴△≌△， ∴； 设，，由题意得，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，，， ∴， ∴△∽△， ∴， 即 ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线等分线段定理，三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 试卷第2页，共21页 试卷第1页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $$