2025年河北省中考数学 方程与不等式 综合题型讲练课件

2025河北中考数学《方程与不等式》综合题型讲练 基础练 1.[2024石家庄裕华质检]如图，已知相同物体的质量相等，图①中的天平保持平衡状态， 则图②中的天平( ) A A.能平衡 B.不能平衡，右边比左边低 C.不能平衡，左边比右边低 D.无法确定 一次方程 2 2.[2024石家庄桥西质检]《孙子算经》一书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短.引 绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.问木长几何？其大意是：用一根绳子去量 一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木 长 尺，则可列方程为( ) A A. B. C. D. 3 3.[2024邯郸广平模拟]甲、乙二人分别从相 距的, 两地出发，相向而行.下图是小 华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲 的速度是,乙的速度是 ,根据题 意所列的方程组正确的是( ) D A. B. C. D. 4 4.[2024保定高碑店摸底]根据下面的对话,算出小亮今年的年龄为( ) A A.8岁 B.6岁 C.10岁 D.7岁 5 5.[2023湖南永州]关于的一元一次方程的解为，则 的值为( ) A A.3 B. C.7 D. 6.[2023四川南充]关于,的方程组的解满足，则 的值 是 ( ) D A.1 B.2 C.4 D.8 6 7.[2024石家庄桥西质检]如果两个实数,满足,那么称和 互为好数.例如： ,所以0和1互为好数.解答下列问题： （1）3的好数是多少？ 解析：,即3的好数是 . （2）若的好数是5，求 的值. 解析：由题意知， . 7 8.[2024石家庄正定模拟]对于任意实数、，定义关于“ ”的一种运算： ， 例如 ． （1）求 的值； 解析： ， . （2）若，且，求 的值． 解析：由题意得 两式相加， 可得， ． 8 提升练 9.[2024石家庄长安质检]如图，在正方形纸片 上进行如下操作： 第一步：剪去矩形纸片 ; 第二步：从矩形纸片上剪去矩形纸片 . 若矩形纸片和矩形纸片的面积相等，则 的长度为 ( ) A A. B. C. D. 9 10.[2024石家庄新华质检]现将颗糖果装入 个糖盒中.若每个糖盒放40颗糖果，则还有10 颗糖果装不下，若每个糖盒放43颗糖果，则只有1颗糖果装不下，有下列四个等式： ;;; .其中正确的是 ( ) D A.①② B.②④ C.①③ D.③④ 10 11.[2024唐山一模]一个条件缺失的问题情境：一项工程，甲队单独做需要12天完成，乙 队……还需要几天完成任务？根据标准答案，老师在黑板上画出线段示意图，设两队合作 还需天完成任务，并列方程为 .根据上面信息，下面结论不正确的 是( ) D A.乙队单独完成需要8天 B.处代表的代数式为 C. 处代表的实际意义：甲队做2天的工作量 D.甲队先做2天，然后甲、乙两队合作5天完成了整个工程 11 12.[2024衡水模拟]课间游戏时同学们设计了一 个飞镖游戏，规则如下：如图，掷到区和 区 的得分不同，区为小圆内的部分， 区为大圆 内小圆外的部分（区、 区均不含边界，若掷 到边界或大圆以外，则重新投掷）.现在将投掷有效的位置用一个点标注，统计出小红和 小华的有效成绩情况如下：小红得了65分，小华得了71分. 12 （1）掷中区、 区一次各得多少分？ 解析：设掷中区一次得分，掷中区一次得 分. 则解得 答：掷中区一次得10分，掷中 区一次得7分. （2）按照这样的计分方法，小明得了多少分？ 解析：小明得分为 分. 13 基础练 1.[2024张家口联考]若分式与的值相等，则 的值不可能是( ) C A. B.0 C. D. 2.[2023唐山模拟改编]某校七年级的同学乘坐大巴车去某展览馆参观大型成就展.展览馆距 离该校.1号车出发 后，2号车才出发，结果两车同时到达.已知2号车的平均速度 是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度.设1号车的平均速度为 ，可列方 程为( ) A A. B. C. D. 分式方程 14 3.[2024邯郸武安二模]几名同学租一辆面包车去旅游，面包车的租价为240元，出发时又 增加了2名同学，结果每个同学比原来少分摊4元车费，设实际参加旅游的同学共 人,则所 列方程为 ( ) B A. B. C. D. 4.[2023石家庄晋州模拟]嘉嘉和淇淇两人同时从地出发，骑自行车前往地，已知， 两地的距离为，________，并且嘉嘉比淇淇先到18分钟.若设淇淇每小时骑行 ， 所列方程为 ，则横线上的信息可能为( ) A A.嘉嘉每小时比淇淇多骑行 B.嘉嘉每小时比淇淇少骑行 C.嘉嘉和淇淇每小时共骑行 D.嘉嘉每小时骑行的路程是淇淇的3倍 15 5.[2024邯郸广平模拟]对于两个不相等的实数、，我们规定符号,表示、 中 较大的数,如.按照这个规定,方程, 的根为( ) D A. B. C.或 D.或 6.［原创］嘉淇准备完成题目：解方程 ．发现分母的位置印刷不清，查阅答 案后发现标准答案是 ，请你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是( ) A A. B. C. D. 16 7.[2024保定竞秀一模改编]甲、乙两地相距19千米，某人从甲地出发去乙地，先步行7千 米，然后改骑自行车，共用2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍. 设这个人步行的速度为 千米/小时. （1）这个人步行时间为 小时（用含 的代数式表示）； （2）求这个人步行的速度. 解析：由题意得,解得，经检验， 是原方程的解，且符合题意.故这 个人步行的速度为5千米/小时. 17 8.[2023唐山遵化模拟]某地的酥梨皮薄肉细、香甜酥脆、果汁多、营养丰富、品质上乘， 被誉为“果中一绝，梨之上品”.一果园有甲、乙两支专业酥梨采摘队，已知甲队比乙队每天 多采摘600千克酥梨，甲队采摘28 800千克酥梨所用的天数与乙队采摘19 200千克酥梨所 用的天数相同.问甲、乙两队每天分别可采摘多少千克酥梨？ 解析：设甲队每天可采摘千克酥梨，则乙队每天可采摘 千克酥梨. 根据题意得 . 解得 . 经检验，是原方程的解，且符合题意. . 答：甲队每天可采摘1 800千克酥梨，乙队每天可采摘1 200千克酥梨. 18 提升练 9.［原创］若关于的方程的解为整数，则整数 的值的个数为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 19 10.[2024邯郸广平模拟]某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工 厂招标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元，指挥中心的负责人根据甲、 乙两厂的投标测算可有三种施工方案： 方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；方案②：乙厂单独完成这项任务比规定日 期多用5天；方案③：若甲、乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成. 在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是 ( ) C A.方案① B.方案② C.方案③ D.方案①和方案③ 20 解析：设甲厂单独完成此项任务需天，则乙厂单独完成此项任务需 天.依题意得 , 解得.经检验， 是原分式方程的解，且符合题意. 这三种施工方案需要的费用如下: 方案①: （万元）； 方案②: （万元），但乙厂单独完成这项任务超过了规定日期，不能选； 方案③:（万元）.因为 ,所以方案③最节省费用，故选C. 21 11.［原创］甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山，今年1月甲参加了两次登山活动． （1）1月1日甲与乙同时开始攀登一座1 800米高的山，甲比乙早30分钟到达顶峰．已知甲 的平均攀登速度是乙的1.2倍，求甲的平均攀登速度. 解析：设乙的平均攀登速度为米/分钟,则甲的平均攀登速度为 米/分钟， 根据题意得 ， 解得，经检验， 是原分式方程的解且符合题意． . 答：甲的平均攀登速度是12米/分钟． 22 （2）1月5日甲与丙去攀登另一座 米高的山，甲保持第（1）问中的速度不变，比丙晚出发 1小时，结果两人同时到达顶峰，问甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含 的代数式表示） 解析：设丙的平均攀登速度为米/分钟，根据题意得 ， 解得.经检验， 是原分式方程的解且符合题意． ． 答：甲的平均攀登速度是丙的 倍. 23 基础练 1.[2024张家口宣化一模]一元二次方程 的一个根是0，则另一个根是( ) C A.0 B.1 C.2 D. 2.[2023沧州模拟]下列方程中，以 为根的是( ) B A. B. C. D. 3.[2024保定竞秀模拟]观察下列表格，一元二次方程 的一个近似解为 ( ) 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35 B A. B. C. D. 一元二次方程 24 4.[2024石家庄桥西质检]关于的一元二次方程 ，下列说法正确的是 ( ) B A.时，方程有两个不相等的实数根 B. 时，方程有两个不相等的实数根 C.时，方程有两个不相等的实数根 D. 时，方程有两个不相等的实数根 5.[2024沧州一模改编]某电影上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天 票房收入约为2万元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18 万元，将增长率记作 ，则方程可列为( ) D A. B. C. D. 6.[2024邯郸武安二模]若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为___. 4 25 7.[2024石家庄十八县一模]下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程， 请认真阅读并完成任务． 解方程： ． 解： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 ， ．第五步 26 （1）任务一： ①杨老师解方程的方法是________； A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 B ②第二步变形的依据是 . 等式的基本性质1 27 （2）任务二：请你按括号内要求的方法解下列方程. ① ；（公式法） 解析：，， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ,， ． 28 ② （因式分解法） 解析： ， ， ， ， 或 ， ， ． 29 8.新定义[2023石家庄模拟]在实数范围内定义新运算“”，其规则为 ，根 据这个规则，解决下列问题： （1）求中 的值； 解析：由题意可得 ， 整理得，解得， . 故的值为 或3. 30 （2）证明：中，无论为何值， 总有两个不同的值. 证明：由题意可得 ， 整理得 ， , 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根，即无论为何值， 总有两个不同的值. 31 提升练 9.[2024保定高碑店摸底]在解关于的一元二次方程时，佳佳将 的值写成 了 .因此解得两个相等的实数根，则原方程( ) D A.没有实数根 B.无法判断根的情况 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 32 10.[2024沧州一模]嘉嘉在解方程 时，经过一系列的计算后得到 ， ，淇淇看了一眼嘉嘉的答案，说：“你这一看就不对，这个方程只有一个 解．”请你根据以上叙述，判断下列结论正确的是( ) C A.嘉嘉的计算结果正确 B.淇淇的说法正确 C.嘉嘉的计算结果和淇淇的说法都不正确 D.该方程有两个不相等的解，但嘉嘉的计算结果错误 33 11.[2024廊坊安次一模]关于的方程 ,下面解法完全正确的是( ) 甲 乙 整理得 ， ,, ， ， ， , . 两边同时除以 , 得到 . 34 丙 丁 移项得 , , , . 整理得 , 配方得 , , , , . A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 续表 √ 35 12.[2024张家口一模]如图，张老师想用长为 的栅栏，再借 助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形车棚 ，并 在边上留一个宽的门（建在 处，另用其他材料）. （1）当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为 的车棚？ 解析：设边为，则边为 . 根据题意得 ， 化简得 ， 解得， . 当时， ； 当时， . 答：当车棚的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为 的车棚. 36 （2）车棚的面积能达到 吗?如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. 解析：不能，理由：设为 , 由题意得 ， 化简得 ， ， 方程没有实数根. 车棚的面积不能达到 . 37 基础练 1.[2024衡水模拟]语句“的与 的和超过2”可以表示为( ) B A. B. C. D. 2.[2024邢台任泽模拟]若，则,“ ”中应填( ) C A. B. C. D.无法确定 3.[2024保定高碑店摸底]无理数满足，则 的值可能是( ) C A. B. C. D. 一元一次不等式 38 4.[2024邯郸模拟]不等式 的解集在数轴上表示正确的是( ) A A. B. C. D. 5.[2023石家庄晋州模拟]若是不等式的解，但不是不等式 的解， 则下列选项中，正确的是( ) B A. B. C. D. 39 6.[2024邯郸武安二模]不等式组 的解集在数轴上表示为( ) D A. B. C. D. 40 7.[2024保定高碑店摸底]设三个有理数2，，的和为 . （1）当时，求 的值； 解析：当 时， . （2）若不大于，求 的负整数解. 解析：由题意得 , 解得 . 的负整数解有,, . 41 8.[2024石家庄平山摸底] 发现 比较与的大小.（填“ ”“ ”或“ ”） ①当时，________ ; ②当时，________ ; ③当时，________ . 论证 无论取何值，判断与 的大小关系，并说明理由. 解析：无论取何值，总有 . 理由：, , 即无论取何值，总有 . 拓展 试通过计算比较与 的大小. 解析：, . 42 提升练 9.[2024邢台一模]如图，若是整数，且满足则 落在( ) B A.段④ B.段③ C.段② D.段① 43 10.[2023石家庄二模]课堂上，老师给出了这样一道题目：“求一元一次不等式组 的解集，并在数轴上表示出解集.”甲计算完之后，说：“老师，这道题有 问题，解出来是无解的，不能在数轴上表示.”乙看了看甲的计算过程，说：“你把第2个式 子抄错了，是数字3，不是你这个.”通过甲、乙两人的对话，你认为甲将数字3可能抄成的 数字是( ) D A.1 B.2 C.4 D.5 44 11.[2024九地市摸底]定义：不大于实数的最大整数称为的整数部分，记作 ,如 , ,按照此规定，回答下列问题. （1） ____; （2）若,则 的取值范围为__________. 45 12.[2024邯郸广平模拟]对于三个实数,,,用,表示，用,, 表示这三 个数中最大的数，例如：,,2,, . 请结合上述材料，解决下列问题： （1）, ____; （2）若,,,,则负整数 的值是____. 46 13.[2024石家庄新华质检]已知数轴上有,两点，点表示的数为,点 表示的数为 . （1）当时,求线段 的长； 解析：当时，点表示的数为 , 点表示的数为 , 则.即线段 的长为18. 47 （2）若点与点关于原点对称，求点 表示的数； 解析： 点与点 关于原点对称， ,解得 , , 即点表示的数为 . 48 （3）若点在点的左侧，求 的正整数值. 解析： 点在点 的左侧， ,解得 ， 的正整数值为1,2,3. 49 14.[2024沧州一模]将克糖放入一杯水中，得到克糖水 . （1）糖水的浓度为________； A. B. C. B （2）再往杯中加入 克糖，生活经验告诉我们糖水更甜了，用不等式表示加糖前 后的浓度关系为________； 50 （3）请证明（2）中的不等式成立. 证明： . ， , , . ,即 . 51 一、选择题 1.下列解方程的过程正确的是( ) B A.,系数化为1得 B.,解得 C.,移项得 D.,去括号得 2.已知 ,下列式子不一定成立的是( ) D A. B. C. D. 3.解方程组: 比较简便的方法是( ) C A.都用代入消元法 B.都用加减消元法 C.①用代入消元法,②用加减消元法 D.①用加减消元法,②用代入消元法 综合题型训练 52 4.[2024邯郸模拟]某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责 完成一个步骤，如图.老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是 ( ) D A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 53 5.[2024石家庄新乐模拟]解不等式 ,下列在数轴上表示的解集正确的是( ) D A. B. C. D. 6.[2022承德一模]解分式方程 的结果为( ) D A. B. C. D.无解 54 7.[2024邢台一模]嘉淇在判断一元二次方程的根的情况时，把 看成了 它的相反数，得到方程有两个相等的实数根，则原方程 根的情况是 ( ) A A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.有一个根是3 55 8.[2024石家庄一模]我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗， 醑 酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一 斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑 酒各几斗？下面是甲、乙两种解答方案，则( ) 甲：设换了清酒斗，列方程为, 乙：设用斗谷子换清酒，列方程为， A A.只有甲正确 B.只有乙正确 C.甲、乙都正确 D.甲、乙都不正确 56 二、填空题 9.若关于的分式方程有增根，则增根是___， 的值是___． 2 3 10.[2023唐山二模]已知方程的解与关于的方程 的解相同，则___；若表示不大于的最大整数，则 ___. 7 2 57 11.[2023唐山一模]根据示意图中给出的信息，解答下列问题. （1）若向左边水桶中放入一个小球和一个大球，则水桶中的水位高度是_______； 解析：由已知得向左边水桶中放入一个小球，水桶中的水位高度上升 ，放入 一个大球，水桶中的水位高度上升 ， 向左边水桶中放入一个小球和一个大球，水桶中的水位高度是 . 58 （2）若向左边水桶中放入10个球，水桶中的水位升高到 ，则放入大球的个数是___. 4 解析：设放入大球个，则放入小球 个， 根据题意得，解得 放入大球的个数是4. 59 12.[2023衡水二模]六张完全相同的小矩形纸片与， 两张矩形纸片恰好能拼成一个相 邻边长分别为 ，50的大矩形，部分数据如图所示. （1）若，则矩形 的水平边长为____； 26 解析：设矩形的水平边长为，竖直边长为 . 由题图可知 ， . 60 （2）请用含，的代数式表示矩形 的周长：____________________________________ _________； （答案不唯一，或等） 解析：由（1）可知 ， 由题图可知 ， 矩形的周长 . 61 （3）若矩形，的面积相等，则 ___. 解析：矩形的面积，矩形的面积 ， 矩形， 的面积相等， ， 由题图知，小矩形纸片的长，整理得, ,把②代入①，整 理得 ， 解得，（舍）.故 . 62 三、解答题 13.新情境·优美U型[2023邯郸模拟]2022年2月的月历表如图所示： 63 （1）在图中用优美的“ ”形框框住5个数字，其中最小的数字为1，则 形框中 的5个数字之和为________. 38 （2）在图中将形框上下、左右移动，框住月历表中的5个数字，设最小的数字为，则 形框框住的5个数字之和为________（用含 的代数式表示）. 解析：形框框住的5个数字分别是，，，， ， . 64 （3）在图中移动 形框的位置，框住的5个数字之和可以为63吗？若可以，求出这5个数 字中最小的数字；若不可以，请说明理由. 解析：框住的5个数字之和不可以为63.理由如下： 设最小的数字为，由（2）可知这5个数字之和为 ， ，解得 ， 由题图知，不能框住这样的5个数字. 65 14.[2023石家庄一模]每年的6月5日为世界环境日，为了响应低碳环保的号召，某公司决 定购买节省能源的新设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选购，经调查：购买3台甲型 设备比购买2台乙型设备多花16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元. （1）求甲、乙两种型号设备的价格； 解析：设每台甲型设备的价格为万元，每台乙型设备的价格为 万元， 依题意得解得 答：每台甲型设备的价格为12万元，每台乙型设备的价格为10万元. 66 （2）公司决定购买甲、乙两种型号的设备共10台，且该公司预算购买节省能源的新设备 的资金不超过110万元，你认为该公司至多购买几台甲型设备？ 解析：设购买台甲型设备，则购买 台乙型设备，依题意得 ，解得 ， 为正整数， 的最大值为5. 答：该公司至多购买5台甲型设备. 67 $$