第1章 三角形的证明（单元测试·培优卷）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

第1章 三角形的证明（单元测试·培优卷） 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则此三角形的顶角是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 2．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中， ，点 的坐标分别为 ，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，是等边三角形，是的平分线，延长到，使，则的长为（  ） A．8 B．10 C．12 D．16 5．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图， ，垂直平分， 则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·上海·单元测试）以 ， 为端点的线段的垂直平分线的方程为 （   ） A． B． C． D． 7．（2023·安徽·模拟预测）有一内角是的直角三角尺与直尺如图放置，三角尺的斜边与直尺交于点F．若的平分线平行于直尺的短边，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知，在中，，，交与点M，交延长线于点H，，，则的长度为（　　） A．4 B． C． D．3 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．若，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 10．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，其中，且a，b满足，过点P作y轴和直线的垂线，垂足分别为A，B，连接，则的面积是（    ） A． B． C． D．随a，b的值变化 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·湖北随州·期末）如图，在中，，，E为的延长线上一点，于点E，于点F，则的长为 ． 12．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知中，，的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，则线段的长为 ． 13．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，把一块含角的三角板的直角顶点放在的中点上（两直角边，分别与，相交），则三角板与重叠部分的面积是 ． 14．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）已知是等边三角形，点在上，过点作，垂足为，延长至点，使，连接交于点，如图所示．若，则线段的长为 ． 15．（江苏省苏州四市2024—2025学年上学期阶段性学业水平阳光测评八年级数学试题）如图，中，，是边的垂直平分线，与分别交于点D、点E，将沿翻折得到，若，则的度数为 度． 16．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）在中，，．已知的顶点P是线段上一点，经过顶点C，与交于点D，，设与的夹角为（）． （1）若，则的度数为 ； （2）当是等腰三角形时，的度数为 17．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在Rt中，，点到轴的距离，点到轴的距离为6，平分，若轴上存在一动点使得的值最小，则点的坐标为 ． 18．（24-25九年级上·四川广安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，直线l：与x轴交于点B，以为边作等边，过点作轴，交直线L于点，以为边作等边，过点作轴，交直线L于点，以为边作等边，以此类推，则点的纵坐标是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的高，E是上一点，连接． （1）求证：； （2）若，求线段和的长． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在四边形中，，，点为上一点，连接，交于点，． （1）若为等边三角形，请判断的形状，并说明理由： （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·湖北随州·期末）如图，在△ABC中，，点D在的延长线上，连接，平分交于点E，过点E作，垂足为点F，与相交于点G． （1）求证：为等腰三角形； （2）求证：． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，已知E为内部一点，延长线交边于点D，连接，，． （1）求证：； （2）若，求证：． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·湖南常德·期末）在等边中，点D在边上（不与A，C重合），延长至点E，使，连接． （1）如图1，当点D是边中点时，求证：； （2）如图2，当点D是边上任意一点时，（1）中线段与的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·河南郑州·期中）【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B C A C B B B C 1．C 【分析】本题主要考查外角的性质、三角形内角和定理，垂直的性质，关键在于根据题意分析讨论，认真的进行计算． 根据题意，一种情况为等腰三角形为锐角等腰三角形，根据垂直的性质外角的性质即可推出顶角为，另一种情况为等腰三角形为钝角三角形，根据三角形内角和定理和垂直的定理即可推出顶角为． 解：①此等腰三角形为钝角三角形， 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为， 此三角形的顶角， ②此等腰三角形为锐角三角形， 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为， 此三角形的顶角 故选：C． 2．C 【分析】本题考查勾股定理在网格中的应用，连接，根据勾股定理算出、、，得到，，再结合勾股定理逆定理判断为直角三角形，最后利用等腰三角形性质，即可解题． 解：如图，连接， 由题知，，，， ，， ，为直角三角形，即， ． 故选：C． 3．B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、坐标与图形等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 如图：过点A作于点D，由等腰三角形的性质可得，进而确定点D的坐标，再根据勾股定理得出，然后确定点A的坐标即可． 解：如图：过点A作于点D， ∵， ∴，轴， ∵， ∴， ∴，即， ∴轴，即点A的纵坐标为7， ∵， ∴点A的横坐标为：， ∴点A的坐标为． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，掌握三线合一的定义是解题关键．由等边三角形可得，，即可求出的长． 解：是等边三角形，， ， 是的平分线， ， ， ， ， 故选：C． 5．A 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．主要了解线段垂直平分线的性质即可求解．已知可得，再由线段垂直平分线的性质可求出，易求． 解：， ， 又垂直平分， ， ． 故选：A． 6．C 【分析】该题主要考查了线段垂直平分线的判定，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式等知识点，解题的关键是得出的线段的垂直平分线是． 先求出中点，得出的线段的垂直平分线是，再根据待定系数法求解即可； 解：如图，设中点为， ，， ∴，， ， ∵， 则点在的线段的垂直平分线上，故的线段的垂直平分线是， ∴设直线的垂直平分线的方程为， 则， 解得：， ∴的垂直平分线的方程为， 即：， 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 设与交于点M，根据角平分线的定义和外角的性质求得，然后利用直角三角形两锐角互余计算求解． 解：设与交于点M，如图， ∵，且平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 故选：B． 8．B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．过点A作，交的延长线于点P，设交于点T，证明，得出，证明，得出，根据等腰三角形的判定得出，即，求出结果即可． 解：过点A作，交的延长线于点P，设交于点T，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．B 【分析】本题考查作图---基本作图、角平分线的性质、点到直线的距离，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键； 过点作于点，由作图过程可知，射线为的平分线，可得，进而可得答案， 解：过点作于点， 由作图过程可知，射线为的平分线； ， ， 点到的距离为； 故选：B． 10．C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，一次函数性质，延长交于点C，过点B作于点D，根据轴，在第一象限，得出，，根据直线的解析式为，得出点C的坐标为，求出，证明是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质得出，求出三角形的面积即可． 解：延长交于点C，过点B作于点D，如图所示： ∵轴，在第一象限， ∴，， ∵直线的解析式为， ∴点C的坐标为， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 11． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质，求出，由三角形内角和定理可得，再由直角三角形的性质可得，从而得出，最后再由直角三角形的性质即可得解． 解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查平行线性质，以及等腰三角形判定，角平分线定义，解题的关键在于熟练掌握相关性质、定义．利用平行线性质得到，，利用角平分线定义得到，，再结合等量代换和等腰三角形性质，推出求解，即可解题． 解：过点作交于点，交于点， ，， 中，，的平分线相交于点， ，， ，， ，， ， ． 故答案为：． 13．/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，由“”可证和全等，可得，即可求解． 解：解∶如图，连接， ∵，，，点D是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案：． 14． 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键； 过做，交于，根据题意判定是等边三角形，判定，进而根据等边三角形的性质即可求解； 解：过做，交于， 是等边三角形， ， ， ，， 是等边三角形， ，所以为中点， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为边长为的等边三角形， ， ； 15．26 【分析】由平行线的性质可得，设，则，由翻折的性质可得，可得，求得，再利用线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质解决即可． 解：，， ， 设，则， 将沿翻折得到， ， ， ， ， ， 是边的垂直平分线， ， ， ， ， 故答案为：26 【点拨】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质及平行线的性质，熟练掌握翻折变换，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质及平行线的性质是解题的关键． 16． 或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质以及三角形内角和定理来求解的度数． （2）根据是等腰三角形，需要分，，，三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出的度数． 解：（1）∵，， ∴， 又∵， ∴，， ∴ ∵， ∴， 故答案为：； （2）情况一：当时 ∴， ∵， ∴． ∵， ∴； 情况二：当时，， ∴， ∴， -情况三：当时，， ∴， ∴，不符合题意，舍去， 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 17． 【分析】先求得点A、C的坐标，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时的值最小，求直线的表达式，进而求出直线与x轴交点坐标即可． 解：过A作轴于E， ∵平分，轴，， ∴， ∵点到轴的距离为6， ∴，则， ∵，，， ∴， ∴， ∵点到轴的距离， ∴， ∴， 作点C关于x轴对称的点，则，连接交x轴于点P，连接， 此时的值最小， 设直线的表达式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 令，由得， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 【点拨】本题考查求一次函数的解析式、坐标与图形、角平分线的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、最短路径问题等知识，根据对称性质得到点P的位置是解答的关键． 18． 【分析】本题主要考查了坐标规律题，结合等边三角形的性质和一次函数的图象和性质求解是解题的关键． 根据求出点B的坐标，得到，根据等边三角形的性质，分别求得的纵坐标，进而得到的纵坐标，可得点的纵坐标． 解：∵直线与x轴交于点B， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴点在的垂直平分线上， ∴点的横坐标为， ∴， 把代入得∶， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴点在的垂直平分线上， ∴点的横坐标为， ∴， 同理， ……， ∴的纵坐标为， ∴点的纵坐标是． 故答案为：． 19．（1）见分析 （2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识， （1）由是的高，得，进而即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，再由，即可得，的长； 熟练掌握其性质并能灵活选择全等三角形的判定定理证明是解决此题的关键． 解：（1）证明：是的高， ， 在和中， ， ； （2）， ，                ， ， ∵， ， ，． 20．（1）等边三角形，理由见分析 （2） 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的“三线合一”等知识点，熟记相关几何结论即可． （1）由题意得，根据推出，即可求证； （2）连接，可推出垂直平分得；进而得， ，，即可求解； 解：（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵为等边三角形， ∴， ∵． ∴，即， ∴是等边三角形， （2）解：连接，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ 21．（1）证明见分析 （2）证明见分析 【分析】本题主要考查角平分线的计算，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等角对等边，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键． （1）根据等边对等角得出，再由等角的余角相等得出，利用等角对等边即可证明； （2）根据三角形内角和定理得出， ，即可证明． 解：（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴为等腰三角形． （2）证明：在中， ， 在中， ， ∴． 22．（1）证明见分析 （2）证明见分析 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质； （1）利用三角形的外角的性质可得结论； （2）如图，在上截取，连接，证明，再进一步可得结论． 解：（1）证明：∵，， 且， ∴． （2）证明：如图，在上截取，连接， 则， 设， ∴， ∴， ∴， 在和中，  ， ∴， ∴， ∴． 23．（1）见分析 （2）成立；，理由见分析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，三角形全等判定与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，准确作出辅助线是解题关键． （1）由是等边三角形，可得，由D是的中点，可得平分，， ，由，可得，可求，可得即可； （2）过点D作交于F，证明是等边三角形，得出，证明得出结论即可． 解：（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵D是的中点， ∴平分，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：成立；，理由如下： 过点D作交AB于F， ∵是等边三角形 ∴，， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．模型建立：见分析；模型应用：（1）①，；②或；（2） 【分析】（1）利用证明即可； （2）①根据即可得到点C的坐标，根据全等三角形的性质即可得到，，从而得到，即可得到点A的坐标； ②分M在原点右侧和在原点左侧两种情况讨论求解即可； （3）过点A作交于点C，过点C作轴，求出，，然后证明出，，，求出，然后利用待定系数法求解即可． 解：模型建立：解：①∵，， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴； （1）解：①∵，，， ∴，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴点A的坐标为； ②如图所示，当M在原点右边时，连接，，以O、A、B、M为顶点的四边形的面积为S， ∴ ∴， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在原点左侧时，连接，， ∴ ， ∴， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或； （2）如图所示，过点A作交于点C，过点C作轴 ∵直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时， ∴ ∴ 当时， 解得 ∴ ∴， ∵将直线绕点B旋转至直线， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴设直线表达式为 ∴ 解得 ∴设直线表达式为． 【点拨】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质和判定，坐标与图形等等，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$