第1章 三角形的证明（单元测试·基础卷）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

第1章 三角形的证明（单元测试·基础卷） 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）在中，，，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）如图，龙龙用长方体积木垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一块三角板（，），点在上，点、恰好与木墙的顶端重合，，，则两堵木墙之间的距离的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·河南驻马店·二模）如图所示，在等腰中，，， 为底边中线，将 沿射线方向平移得对应，连接，若 ，则的长为（    ）    A．6 B．8 C． D． 4．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图；四边形中，，，，边的垂直平分线分别交、于点、，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·黑龙江·期末）如图，在长方形中，连接，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河南许昌·期中）如图，的边在数轴上，的垂直平分线分别交，于点，，点与重合，点与1重合，连接．若的周长为24，则的周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 8．（24-25八年级上·河南许昌·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任一角．图2是三等分角仪的示意图，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕点转动，点固定，，点，可在槽中滑动．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在中，，直线交于点，交于点，点关于直线的对称点在边上，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，且三点共线，点是线段上任意一点，连接，则的最小值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．16 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·广东江门·期末）如图，在中，，若，，则的长为 ． 12．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，，则的面积是 ． 13．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么 °． 14．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，沿折叠长方形纸片，点D落到点E处，交于点F，若，，则 ． 15．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，是边上一点（不与重合），和的角平分线交于点． （1）若，则的度数为 ； （2）记和的度数之和为，则的取值范围为 ． 16．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为 ． 17．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，，过点作，连结，作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则 ． 18．（2023·河南焦作·一模）如图，在中，，，，为上一点，为的中点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，则的长为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2024·北京西城·二模）已知：如图，在中，，． 求作：点，使得点在内，且． 下面是小华的解答过程，请补充完整： （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）; ①作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，与直线在内交于点．点就是所求作的点 （2）完成下面的证明 证明：连接． 点在线段的垂直平分线上， （ ）（填推理的依据）， ． ． ． ． ， ． ． 20．（本小题满分8分）（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在四边形中，与互相垂直平分，垂足为点O． （1）找出图中相等的线段； （2），分别是点O到两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，直角中，，．点是线段上一点，过点作的垂线，交直线于点，连接，取的中点，连接，． （1）当点在线段上时，试写出与的关系，并说明理由； （2）当点在线段外时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请举出反例；若成立，请画出图形，并说明理由． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）（1）已知：如图（1），在中，，的平分线交于点M，过点M的直线，分别与，交于点D，E．求证：． （2）将（1）题条件“的平分线”改为“的外角平分线”，如图（2）所示，你能推断出，，存在的数量关系式吗？请证明你的推断． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级上·山东青岛·期中）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．      （1）【问题发现】如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，，分别是底边，从图中找出一对全等三角形并说明理由； （2）【拓展探究】如图2，若和和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，求的度数． 24．（本小题满分12分）（22-23七年级下·江西吉安·期末）某数学小组在探究角平分线上的点与角的顶点、以及射线上的点构建等腰三角形的问题中，经历了如下过程：   问题发现 如图，为内部的一点，平分，是的边上的点，连接，分别以，为腰向右侧作等腰和等腰，使得，，交于点，且． （1）当时，的度数为______，的度数为______． 猜想论证 （2）当时，与存在什么数量关系?请说明理由． 拓展思考 （3）设，当与满足什么数量关系时，点落在的下方?直接写出数量关系，不必说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D B B D C B A C 1．A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理等知识点，根据三角形的内角和定理求出的度数，即可判断选项，根据三角形内角和定理求出和的度数，即可判断选项，选项，根据勾股定理的逆定理判定选项即可，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解决此题的关键． 解：、由,，则不是直角三角形，故本选项符合题意； 、由,，得,是直角三角形，故本选项不符合题意； 、由,,则,是直角三角形，故本选项不符合题意； 、由,得是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：． 2．D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，线段的和与差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，利用可证得，然后利用全等三角形的性质及线段的和差关系即可求出的长． 解：由题意得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 3．D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，由等腰三角形三线合一性质得， 由勾股定理得，进而可得，最后用勾股定理计算即可得解，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 解：∵在等腰中， ，为底边中线， ， ∴， ∵， ， ∴ ， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确地做出辅助线是解题的关键．过作于，根据等腰三角形的性质得，利用含角的直角三角形的性质得，求出，即可求解． 解：过作于， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：B． 5．B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、勾股定理，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键； 连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理列出关于的方程，解方程得到答案 解：如图, 连接, ∵是线段的垂直平分线， ， 在中, 在中, 则, 即 解得： 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了作图复杂作图，角平分线的计算，平行线的性质，先利用基本作图得到平分，则，再根据长方形的性质得到，，接着利用平行线的性质得到，所以，然后利用互余表示出，熟知上述性质是解题的关键． 解：由作法得平分， ， 四边形为长方形， ，， ， ， ． 故选：D． 7．C 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，进而求出的长，根据的周长求出的长，推出的周长为，即可得出结果． 解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∵点与重合，点与1重合， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为； 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，先根据等腰三角形性质得，再根据三角形的外角的性质得，进而得出，接下来求出，最后根据平角定义得出答案． 解：∵， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 9．A 【分析】本题考查了勾股定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知条件画图，通过分类讨论即可作答． 解：如图，过点作于，连接 当点在上时： 和关于对称 ，即 得： 当点在的延长线上时，同理可得 故选：A． 10．C 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，两点之间线段最短；连接，根据含30度角的直角三角形的性质得出，证明，得出，根据，即可求解． 解：如图所示，连接， ∵， ∴ ， ∵， ∴，，， ∵在中，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 11．10 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，根据三角形的内角和定理求出，再根据30度所对的直角边是斜边的一半，即可得出结果． 解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10． 12．30 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图．由作图方法可得平分，则由角平分线上的点到角两边的距离相等可得，据此利用三角形面积计算公式求解即可． 解：如图所示，过点D作于H， 由作图方法可知，平分， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：30． 13．58 【分析】本题考查三角形外角性质，等角的余角相等，解题的关键是掌握掌外角的性质． 解：延长交于点， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 14．3 【分析】本题考查了勾股定理的翻折应用，涉及等腰三角形的判定，熟练掌握翻折中的勾股定理是解题的关键．利用翻折和平行判定，再在中利用勾股定理列式解决即可． 解：∵四边形为长方形， ∴，，， ∴， 由翻折得：，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 15． /125度 【分析】本题主要考查三角形内角和、等腰三角形的性质角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和、等腰三角形的性质角平分线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，，然后可得，进而根据三角形内角和可进行求解； （2）当点D与点B重合时，取得最大值，进而问题可求解． 解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴和的角平分线交于点， ∴， ∴； 故答案为； （2）由（1）可知：， ∴当点D与点B重合时，取得最大值，即， ∴， ∴的取值范围为； 故答案为． 16． 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质．连接，过点D作，交的延长线于点G，证明平分，平分，利用三角形的外角性质求得，进一步计算即可求解． 解：连接，过点D作，交的延长线于点G， ∵，，， ∴平分， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质及平行线的性质．利用等边对等角依次可求得的大小，证明，，进而得出，从而可得的度数． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ， ， ， ， ∴， ， 故答案为：． 18．2或 【分析】本题考查翻折的性质，等边三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质．分①当时，②当时，两种情况讨论解答即可． 解：在中，， ， ， 分两种情况： ①当时，如图，由翻折可知：， ． ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图，此时点在线段上， ． ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 综上所述，当为直角三角形时，的长为或2． 故答案为：或2． 19．（1）见详解；（2）线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，， 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）利用平行线的性质，等腰三角形的性质证明即可． 解：（1）解：图形如图所示： （2）证明：连接，，． 点在线段的垂直平分线上， （线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）， ． ． ． ． ， ． ． 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，，． 【点拨】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20．（1）见分析；（2）相等，理由见分析 【分析】（1）由垂直平分线的性质可得出相等的线段； （2）由条件可证明，可得平分，根据角平分线的性质可得． 解：（1）解：∵、互相垂直平分， ∴，，且； （2），理由如下： 在和中， ，，， ∴， ∴． 又∵，， ∴． 【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，全等三角形的判定与性质，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键． 21．（1），理由见详解；（2）成立，理由见详解 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键在于掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）当点在线段上时，观察知道在直角中，，在直角中，，即可证明出结果； （2）当点在线段外时，（1）中的结论还成立，画出图形同理应用第（1）中的方法即可求解． 解：（1）解：，理由如下： 在直角中，，取的中点， ， 过点作的垂线， ， 又在直角中，取的中点， ， ； （2）解：成立，图形如下： 理由如下：，， ， 在直角中，取的中点， ， 过点作的垂线， ， 又在直角中，取的中点， ， ． 22．（1）见分析；（2）能，，证明见分析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用线段的和差关系以及等量关系即可解答； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用线段的和差关系以及等量关系即可解答． 解：证明：（1）∵，的平分线、交于点M， ∴，． ∵， ∴，． ∴，． ∴，． ∴． ∵， ∴． （2）能， ∵，的平分线、交于点M， ∴，． ∵， ∴，． ∴，． ∴，． ∴． ∵， ∴． 23．（1），理由见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）先判断出，进而利用判断出，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出，得出，最后用角的差，即可得出结论； 解：（1）解：． 理由如下： 和均是顶角为的等腰三角形 ，，． ，即． ． （2）为等边三角形，点B、D、E在同一条直线上， ． ．     由（1）知，     为等边三角形， ．     ． 24．（1）    ；（2），理由见分析；（3），且O，B两点不重合． 【分析】（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和即可求得答案． （2）可证，即可判断与的数量关系． （3）设点落在射线上，即可求得与的等量关系，根据题意结合图形，即可求得答案． 解：（1）∵平分， ∴． ∴． ∵, ∴． ∴． 故答案为：     （2）． 理由如下： ∵， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． （3）． 理由如下： 如图，设点落在射线上．    ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 观察图形可知，当，且O，B两点不重合．时，点落在的下方． 【点拨】本题主要考查角平分线的定义，全等三角形的判定及性质，以及采用数形结合思想解决问题，牢记角平分线的定义和全等三角形的判定定理及性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$