备战2025年中考——平面直角坐标系+一次函数（综合压轴题分类专题）（3）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

备战2025中考——平面直角坐标系+一次函数（综合压轴题分类专题）（3） 考点目录 篇一：综合部分 【知识点1】平面直角坐标系 【考点1】点的位置...........................................................1 【考点2】坐标与图形.........................................................4 【考点3】坐标与规律.........................................................7 【考点4】新定义............................................................10 【知识点2】函数基础知识 【考点5】函数图象的识别....................................................12 【考点6】从函数图象中读取信息..............................................14 【考点7】动点问题的函数图象................................................16 【知识点3】一次函数 【考点8】一次函数解析式....................................................19 【考点9】一次函数图象平移..................................................23 【考点10】一次函数与坐标轴交点.............................................26 【考点11】一次函数与方程不等式.............................................30 【考点12】一次函数图象与位置综合判断.......................................31 【考点13】一次函数与实际应用...............................................34 【考点14】一次函数与几何综合...............................................37 篇二：压轴部分 【考点15】平面直角坐标系、一次函数中的规律问题.............................42 【考点16】平面直角坐标系、一次函数几何综合问题.............................48 【考点17】平面直角坐标系、一次函数几何最值问题.............................54 【考点18】平面直角坐标系、一次函数几何动点问题.............................59 篇一：综合部分 【知识点1】平面直角坐标系 【考点1】点的位置 1．（2023·山东淄博·中考真题）若实数，分别满足下列条件： （1）； （2）． 试判断点所在的象限． 【答案】点在第一象限或点在第二象限 【分析】运用直接开平方法解一元二次方程即可；解不等式求出解题，在分情况确定，的符号确定点所在象限解题即可． 解： 或 ，； ， 解得：； ∴当，时，，，点在第一象限； 当，时，，，点在第二象限； 【点拨】本题考查点在平面直角系的坐标特征，解不等式，平方根的意义，利用不等式的性质判断点的坐标特征是解题的关键． 2．（23-24九年级上·甘肃陇南·期末）已知点关于原点的对称点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中，各象限内点的坐标的符号的确定方法，以及关于原点对称的两点坐标之间的关系以及一元一次不等式组的解法．先确定出点M在第三象限，然后根据第三象限内点的坐标特征列出不等式组，然后求解得到m的取值范围，从而得解． 解：∵点关于原点的对称点在第一象限， ∴点在第三象限， ∴， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 在数轴上表示如下： ． 故选：C． 3．（2022·江西·二模）抛物线的顶点在第四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线顶点坐标公式，用m表示出抛物线的顶点坐标，再由已知条件得出，抛物线顶点横坐标大于0，纵坐标小于0，从而解得m的取值范围． 解：∵抛物线的顶点坐标为， 又∵抛物线， ∴，，， ∴抛物线的顶点为． ∵抛物线的顶点在第四象限， ∴， 化简得，解得． 故答案为：． 【点拨】本题考查了抛物线的顶点坐标公式，以及平面直角坐标系中具体象限的点坐标的特征，一元二次不等式的解法，正确运用上述基础知识是解题的关键． 【考点2】坐标与图形 1．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为 ． 【答案】 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 解：设正方形的边长为a，与y轴相交于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 2．（2024·湖北·模拟预测）如图，菱形的顶点在x轴上，连接，若是等边三角形，则菱形的顶点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的性质，坐标与图形的性质，过点C作轴于点E，求出点C坐标即可 解：过点C作轴于点E，如图， ∵点A的坐标为， ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴， ∴点C的坐标为， ∵四边形是菱形， ∴ ∴点B的坐标为， 故选：B 3．（2024·山西大同·模拟预测）如图，等边的顶点在坐标原点，顶点在轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，能构造直角三角形是解此题的关键．过点作轴于点，由等边三角形的性质可得：，，由旋转的性质可得：，，推出，进而求出，即可求解． 解：如图，过点作轴于点， 是等边三角形， ，， 由旋转知，，， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【考点3】坐标与规律 1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故选：D． 2．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的弧多次复制并首尾连接而成．现有一点从（为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2024秒时点的纵坐标为（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查弧长的计算、点的坐标的特点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图形，可以求得弧的长，然后由图可知，每走两个弧为一个循环，然后即可得到在第2024秒时点P的纵坐标． 解：（米） ； ∵（秒）， ∴每4秒一个循环， ∵， ∴在第2024秒时点P的纵坐标为0， 故选：C． 3．（2024·宁夏银川·二模）如图，（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6，…，，顶点均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，点的坐标为 ．    【答案】/ 【分析】此题考查了点的变化规律，主要利用了等边三角形的性质和解直角三角形求出点、、的坐标，找到点的变化规律，求出点的坐标即可． 解：∵，，，…，（为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是，顶点均在轴上， 过点作轴于点B，连接，    ∵点O是所有等边三角形的中心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的坐标为， 同理可得，， 则第二个三角形的顶点的坐标为， 则第三个三角形的顶点的坐标为， ∵， ∴点是第10个等边三角形的第2个顶点，位于第四象限， ∴点的坐标为：． 故答案为：． 【考点4】新定义 1．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D． 解：∵点在第二象限， ∴， ∴，故选项A错误； ∵点为“整点”， ， ∴整数a为，，0，1， ∴点P的个数为4个，故选项B错误； ∴“整点”P为，，，， ∵，，， ∴“超整点”P为，故选项C正确； ∵点为“超整点”， ∴点P坐标为， ∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误， 故选：C． 2．（2023·浙江·三模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值，称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”，若，两点为“等距点”，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】根据等距点的定义求出不同情况下的的值即可； 解：当时，， 解得：或（舍去）； 当时，， 解得：（舍去）或； ∴或； 故答案是：或． 【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系的知识点，属于阅读理解类题目，关键是要读懂题目里定义的“等距点”． 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的规律，图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别算出，找到规律后，得点的坐标与的坐标相同，即可作答． 解：∵对于点，把点叫做点的友好点．且的坐标为 则 ， 则 ∴ 同理得，…… 观察发现，每6个点为一个循环组依次循环． ∴点的坐标与的坐标相同，为． 故选：A 【知识点2】函数基础知识 【考点5】函数图象的识别 1．（2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，根据容器最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大即可判断求解，正确识图是解题的关键． 解：由容器可知，最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大，所以一开始水面高度上升的很快，然后很慢，最后又上升的更快点， 故选：． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）下列不可能是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象，根据的图象开口方向及与x轴的交点情况逐项判断即可． 解： 解：当的图象开口向上，与x轴只有一个交点时，图象可能是， 故A选项不合题意； 当的图象开口向下，与x轴有两个交点时，图象可能是， 故D选项不合题意； 当的图象开口向上，与x轴有两个交点时，图象可能是， 故C选项不合题意； 图象不可能是， 故选B． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解题的关键． 由点，，可得点N，P关于直线对称，排除C，D选项；由点，，可得y随x的增大而减小，排除B选项，即可解答． 解：∵点，， ∴点N，P关于直线对称， ∴选项C，D错误． ∵点，在函数图象上， 且时，， ∴y随x的增大而减小， ∴选项B错误，选项A正确． 故选：A 【考点6】从函数图象中读取信息 1．（2024·江苏镇江·中考真题）甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量（单位：L）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数的图象，关键是由图象获取信息来解决问题． 由图象知甲、乙两车行驶百公里时，甲车耗油，乙车耗油，由题意即可得到答案． 解：由图象知：甲、乙两车行驶百公里时，甲车耗油，乙车耗油， 由题意得：． 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）甲、乙两人沿同一跑道从A处跑到B处．乙比甲先出发2分钟，甲的速度为每分钟150米．若两人之间的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）的关系如图所示，则A、B两地的路程为（   ） A．1800米 B．2000米 C．2400米 D．2500米 【答案】C 【分析】此题考查从函数图像获取信息、一元一次方程的应用等知识，通过函数图像获得所需信息是解题关键．先求出乙的速度，再求出当甲出发分钟时追上乙，设甲出发分钟后，到达B处，根据此时两者距离为米，列出方程，解方程求出，即可得到A、B两地的路程． 解：由题意可得，乙的速度为（米/分钟）， 由图像可知，当甲出发的时间a分钟时，追上乙， 则， 解得， ∴当甲出发分钟时追上乙， 设甲出发分钟后，到达B处， 则， 解得， ∴，两地的路程为（米）． 故选：C． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）甲、乙两人跑步，已知甲先跑2秒后乙再出发，结果乙先到达终点并休息，甲随后赶到．甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的关系如图所示，则乙出发 秒后追上甲． 【答案】 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息，解一元一次方程，根据图像得到相关信息是解题的关键． 根据图像分析可得甲的速度，设乙的速度为，由题中图象可得，求解即可得乙的速度，设乙出发秒后追上甲，列方程求解即可． 解：由题中图象可得甲的速度为． 设乙的速度为， 由题中图象可得：， 解得，即乙的速度为． 设乙出发秒追上甲， ∴， 解得：． 故答案为：． 【考点7】动点问题的函数图象 1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键． 根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解． 解：由图象得：，当时，，此时点P在边上， 设此时，则，， 在中，， 即：， 解得：， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·陕西安康·期末）如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理， 由图象可知，面积的最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 解：由图象可知，面积的最大值为6 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点P运动到点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 3（24-25九年级上·山东东营·期末）如图1，在中，动点P从点A出发沿折线匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线的最低点，则的高的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，过点A作于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当时，点P到达点Q，此时当P在上运动时，最小，勾股定理求得，然后等面积法即可求解． 解：如图过点A作于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当时，点P到达点Q，此时当P在上运动时，最小， 由题意可得，，，，， 在中，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【知识点3】一次函数 【考点8】一次函数解析式 1．（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】根据题意可求得与坐标轴的交点A和点B，可得，结合旋转得到，则，求得，即得点C坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式． 解：依题意画出旋转前的函数图象和旋转后的函数图象，如图所示∶    设与y轴的交点为点B， 令，得；令，即， ∴， ， ∴，， 即 ∵直线绕点A逆时针旋转，得到直线， ∴，， ∴， 则点， 设直线的解析式为，则 ，解得， 那么，直线的解析式为， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、直线的旋转、解直角三角形以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是找到旋转后对应的直角边长． 2．（2024·四川泸州·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，且顶点A的坐标为，点B的坐标为，将平行四边形沿着直线翻折，得到四边形，若直线l把六边形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理，图形的折叠问题．连接，设的中点为M，的中点为N，过D点作轴，垂足为Q，求出，利用勾股定理以及平行四边形的性质可得，再根据翻折的性质得，对角线翻折后，落在y轴上，此时点N落在y轴上，可得，然后由中点坐标公式可得，从而求出所在直线解析式；根据题意可得直线也平分六边形的面积，求出所在直线解析式，即可求解． 解：连接，设的中点为M，的中点为N，过D点作轴，垂足为Q， ∵点B坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 根据翻折的性质得，对角线翻折后，落在y轴上，此时点N落在y轴上， ∴， 由中点坐标公式得：， ∴， 设所在直线解析式为， ∴，解得， ∴MN所在直线解析式为：， ∴平行四边形是中心对称图形，过的直线平分六边形的面积． 由对折的性质可知，直线也平分六边形的面积， 过C作垂直于x轴，垂足为点P， 在中，，， ∴， ∴点C的坐标为， 设所在直线解析式为， ∴，解得， ∴所在直线解析式为：， 综合分析平分六边形的面积的直线是和． 故选：A． 3．（2024·辽宁·模拟预测）抛物线 与y轴交于点B，已知点A的坐标为，平移线段得到线段 （A平移到D，B平移到C），当点D，C都在抛物线上时，直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数图象的平移，先求出点B坐标，由平移得，，设，则，再根据点C在抛物线上求出m的值，进而求出D，C坐标，最后利用待定系数法求解． 解：当时，， ， ，， 平移线段得到线段 （A平移到D，B平移到C）， ，， 设，则，即， 点C在抛物线上， ， 解得， ，， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 设直线的解析式为， 故答案为：． 【考点9】一次函数图象平移 1．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可． 解：（1）解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意， ∴当直线与直线平行时，， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，， ∴m的取值范围为． 2．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，点．若，则直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图像的平移，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．先利用一次函数解析式求出点坐标，再证明，得到，即得点的坐标，最后根据一次函数平移的性质即可求出直线的函数解析式． 解：对于直线， 当时，， ∴， ∵直线向左平移后与轴，轴分别交于点，点， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∴平移以后的函数解析式为． 故选：． 3．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，，．给出如下定义：若点先向上平移个单位（若，即向下平移个单位），再向右平移3个单位后的对应点Q在的内部或边上，则称点P为的“平移关联点”．若直线上的一点P是的“平移关联点”，且是等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，坐标与图形，设，得到，根据等腰三角形的性质分两种情况进行讨论即可． 解：，， ，， 设，则：， 点在直线上， 当是等腰三角形，分两种情况： ①当时，过点作，则：， ， 两点重合， ， ， ， ； ②当时，过点作，则：， ， ， ， ， ， 故答案为：或． 【考点10】一次函数与坐标轴交点 1．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积．根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，得出点C的坐标及的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积． 解：将代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时，，解得：， ∴点C的坐标为，， ∴． 故答案为：9． 2．（2024·安徽·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象，其图象是直线，要求学生掌握通过函数的解析式，判断直线的位置及与坐标轴的交点． 联立方程，得出两直线的交点为，依次分析选项可得答案． 解：联立方程，可解得，故两直线的交点为， 选项中交点纵坐标是0，即，但根据图象可得，故选项不符合题意； 而选项中交点横坐标是负数，故选项不符合题意； 选项中交点横坐标是负数，选项不符合题意； 选项中交点横坐标是正数，纵坐标是正数，即，根据图象可得，故选项符合题意； 故选：． 3．（2024·江西九江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，点在坐标轴上，点在坐标平面内，若以、、、为顶点的四边形为矩形，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数与矩形的综合题型，涉及矩形的性质、一次函数的性质、平移的性质和相似三角形的性质．解题关键是分类讨论和利用相似三角形的性质得到对应线段之间的关系．分类讨论：①点M在原点；②点M在x轴上；③点M在y轴上，利用相似及平移规律即可求解． 解：直线分别与轴、轴交于点A、， 当时，，时，， 点坐标，B点坐标， 分三种情况：①点在原点上， 矩形中，如图， ， 点坐标为； ②如图，点在轴上，如图， 矩形中，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 点坐标为， 将点向右平移8个单位，向下平移4个单位得到点， ∴N的坐标为； ③如图2，点在轴上，如图， 矩形中，，由②同理可得： ， ∴ ∴， 点坐标为， 将点向左平移8个单位，向上平移4个单位得到点， 的坐标为， ∴点坐标为或或， 故答案为：或或． 【考点11】一次函数与方程不等式 1．（2024·浙江台州·三模）把函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折后，再把翻折前后的图象中在直线上方部分叫做新函数图象T．当直线与图象T有四个交点时，n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与不等式的结合，熟练运用数形结合是解题的关键．画出大致图象，由函数的解析式求得最低点为，点关于直线的对称点为，由题意可知，解不等式即可． 解：函数的图象如图， 可知函数的最低点为， 点关于直线的对称点为， 当直线与图象有四个交点时，可得， 解得， 故选：B． 2．（2024·江苏泰州·一模）当时，对于x的每一个值，关于x的一次函数的值都小于一次函数的值，则k的所有整数值为 ． 【答案】2或3 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，当时，求得，进而可求解，再根据题意得，进而可求解，求出k的取值范围是解题的关键． 解：当时，， 把代入得：， 解得：， 当时，对于x的每一个值，关于x的一次函数的值都小于一次函数的值， ， k的所有整数值为2或3， 故答案为：2或3． 【考点12】一次函数图象与位置综合判断 1．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 2．（22-23八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，C，直线分别与x轴、y轴交于点B，D，则下列说法中错误的是（   ） A．直线与x轴夹角为 B．直线经过点 C．若直线经过两个点P，Q，则 D．直线与直线相交于点，则不等式的解集为 【答案】C 【分析】先求解一次函数与坐标轴的坐标，结合等腰三角形的性质可判定A，把代入可判断B，利用一次函数的增减性可判断C，由一次函数与不等式的关系结合图象可判断D，从而可得答案． 解：直线分别与x轴、y轴交于点A，C， 则，，即， ∴为等腰直角三角形，，A正确，不符合题意； 将代入可得，， 即函数图象过点，B正确；不符合题意； 当时，函数随的增大而减小， ∵， ∴，C错误；符合题意； 直线与直线相交于点，将代入可得，， 即， 由图象可得，在点的左侧，， 则不等式的解集为，D正确；不符合题意； 故选：C 【点拨】本题考查的是一次函数的性质，等腰三角形的性质，一次函数与不等式的关系，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 3．（21-22八年级下·湖北·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线（k是常数，且）上两点和，则下列结论： ①若，则； ②直线AB向右平移1个单位的解析式为； ③若直线AB不经过第三象限，则； ④若原点O到直线AB的距离最大时，则直线AB的解析式为． 其中正确的是 （填写正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【分析】利用一次函数的性质判断①；利用一次函数的平移规律即可判断②；根据函数过点，求得AB过原点时的k值，由题意判断③；求得过点的正比例函数解析式，由题意有AB与该直线垂直，由此即可判断． 解：①，，则函数图像是递减的，则，故①正确． ②直线AB向右平移1个单位的解析式为，故②正确． ③直线， 则此直线经过点， 当该直线经过原点时，， ， 若直线AB不经过第三象限，则，故③错误． ④当原点与点的连线垂直于直线AB时，此时直线AB为所求， 过点的正比例函数解析式为， ， 的解析式为：，故④正确． 故答案为：①②④． 【点拨】本题考查一次函数的性质，一次函数图像上的点的坐标特点，能利用一次函数的性质时关键． 【考点13】一次函数与实际应用 1．（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 （1）求两种型号劳动用品的单价； （2）若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 【答案】（1）A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元；（2）该校购买这40件劳动用品至少需要950元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可； （2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，根据题意得出，设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答． 解：（1）解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元， ， 解得：， 答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元． （2）解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件， 根据题意可得：， 设购买这40件劳动用品需要W元， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W取最小值，， ∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元． 2．（2023·山东临沂·二模）为了环保，某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造，如图描述的是月利润（万元）关于月份之间的变化关系，治污改造完成前是反比例函数图象的一部分，治污改造完成后是一次函数图象的一部分，则下列说法：①5月份该厂的月利润最低；②治污改造完成后，每月利润比前一个月增加30万元；③该厂8月份的月利润与2月份相同；④治污改造前后，共有6个月的月利润不超过120万元．其中正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，进而分别分析得出答案． 解：由函数图象可得，5月份该厂的月利润最低为60万，故①正确，符合题意； 治污改造完成后，从5月到7月，利润从60万到120万，故每月利润比前一个月增加30万元，故②正确，符合题意； 设反比例函数解析式为：，代入得， 故， 当， 解得： ， 则只有3月，4月，5月，6月，7月共5个月的利润不超过120万元，故此④错误，不符合题意． 设一次函数解析式为：， 则， 解得， 故一次函数解析式为：， 把代入， 解得， 则治污改造完成后的第8个月，该厂月利润达到150万， 把代入， 得， 故该厂8月份的月利润与2月份相同，此选项③正确，符合题意． 故选：C． 【点拨】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键． 3．（23-24九年级下·全国·单元测试）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．解题的关键：（1）熟练运用待定系数法求解析式；（2）解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义． 解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为：，根据题意得：当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴； 设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为：，根据题意得：当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴， 联立， 解得：， ∴经过分钟时，当两仓库快递件数相同． 故答案为：． 【考点14】一次函数与几何综合 1．（2023·辽宁大连·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A．为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴交直线于点D，与的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示． （1）的长为 ___________；的面积为 ___________； （2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． 【答案】（1）4，；（2） 【分析】（1）由时，P与O重合，得，时，P与B重合，得； （2）设，由，即，得到，则；分两种情况：当时，设交于E，可得，得到，则；当时，求出直线AB解析式为，可得，由得，故． 解：（1）解：当时，P与O重合，此时， 当时，，P与B重合， ∴，， ∴的长为4，的面积为， 故答案为：4，； （2）∵A在直线上， ∴， 设， ∴，即， ∴， ∴； 当时，设交于E，如图：    ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图：    设直线解析式为，把，代入得 ， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，． 【点拨】本题考查动点问题的函数图象，涉及锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是从函数图象中获取有用的信息． 2．（2024·贵州贵阳·一模）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，C两点，分别过A、C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且的长分别是一元二次方程：的两个实数根， 点P在线段上， 点P、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点P的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或或或 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰三角形的定义，勾股定理，解一元二次方程等等，先解一元二次方程得到，则，据此可得，求出直线解析式为，设，再分，三种情况讨论求解即可． 解：解方程得：， ∵的长分别是一元二次方程：的两个实数根， ∴， ∴， ∵分别过A、C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设， 当时，则， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 当时，则点P在的中垂线上， ∴点P在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵点P在上，，故此时不存在； 综上所述，或； 故选：C． 3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知直线：，直线：，直线与直线交于点A，与直线交于点B，直线与直线交于点C，与直线交于点D，连接，当是等腰直角三角形时，的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，求出的坐标，分和两种情况进行讨论求解即可． 解：当时，，， ∴，， 当时，，， ∴，， ∴， 当是等腰直角三角形时，分两种情况： ①当时，则：，解得：， ②当时，过点作，则：， ∴， ∴， 故答案为：或． 篇二：压轴部分 【考点15】平面直角坐标系、一次函数中的规律问题 1．（2021·山东泰安·中考真题）如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为 （结果用含正整数n的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再找规律得出第个正方形的边长． 解：点在直线上，点的横坐标为2， 点纵坐标为1． 分别过，作轴的垂线，分别交于，下图只显示一条； , 类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有 ， 不妨设第1个至第个正方形的边长分别用：来表示，通过计算得： ， ， 按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为， 故答案是：． 【点拨】本题考查了三角形相似，解题的关键是：利用条件及三角形相似，先研究好前面几个正方形的边长，再从中去找计算第个正方形边长的方法与技巧． 2．（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，探索出点的坐标规律是解题的关键；按点的纵坐标分类：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；而，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向，则可得第2024个点的坐标． 解：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个，且这n个点的横坐标从左往右依次是；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向； ，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向， 最左边的点坐标为，即第2025个点的坐标， 第2024个点的坐标为． 故选：C． 3．（2024·山东聊城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为…按此规律，则线段的长度为 ．（，且为正整数） 【答案】 【分析】如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，确定直线与坐标轴的交点坐标，，得到，，联立直线与直线的表达式并解得，得，，依次求出，，，得到，，，再根据锐角三角函数，即可求解， 解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 设直线交轴于点，交轴于点， 当时，得：；当时，，解得：， ∴，， ∴，； ∴， ∴， 由解得， ∴ ∵轴， ∴， ∵过作的平行线交于， 设直线的表达式为，过点， ∴， 解得：， ∴， 由解得， ∴， ∵轴， ∴， 设直线的表达式为，过点， ∴， 解得：， ∴， 由解得， ∴， ∵轴， ∴， 设直线的表达式为，过点， ∴， 解得：， ∴， 由解得， ∴， ∵轴， ∴， …… ∵，，， ∴轴，轴，轴， ∴， ，，， ∴，，， 按此规律，线段的长度为． 故答案为：． 【点拨】本题考查线段长度的规律，一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定函数解析式，两直线的交点，锐角三角函数，平行线的性质，平行线之间的距离处处相等知识点．正确理解点的坐标，一次函数与二元一次方程组之间的内在联系是解题的关键． 【考点16】平面直角坐标系、一次函数几何综合问题 1．（2024·四川乐山·一模）当，是正实数，且满足时，就称点为“友谊点”．已知点与点都在直线上，点、是“友谊点”，且点在线段上． （1）点的坐标为 ； （2）若，，则的面积为 ． 【答案】 / 【分析】（1）由变式为，可知，所以在直线上，点在直线上，求得直线：，进而求得； （2）根据直线平行的性质从而证得直线与直线垂直，然后根据勾股定理求得的长，从而求得三角形的面积． 解：（1）∵且，是正实数， ∴，即， ∴， 即“友谊点”在直线上， ∵点在直线上， ∴， ∴直线：， ∵“友谊点”在直线上， ∴由 解得， ∴， 故答案为：； （2）∵一、三象限的角平分线垂直于二、四象限的角平分线，而直线与直线平行，直线与直线平行， ∴直线与直线垂直， ∵点是直线与直线的交点， ∴垂足是点， ∵点是“友谊点”， ∴点在直线上， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，直角三角形的判定，勾股定理的应用以及三角形面积的计算等，判断直线垂直，借助正比例函数是本题的关键． 2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，线段的长是一元二次方程的一个根．请解答下列问题： （1）求点D的坐标； （2）若线段的垂直平分线交直线于点E，交x轴于点F，交于点G，点E在第一象限，，连接，求的值； （3）在（2）的条件下，点M在直线上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，12个， 【分析】（1）先解方程求出，然后求出直线解析式即可求得点D的坐标； （2）过点E作于点H，求出，然后证明，即可得到，然后求出得正切值即可； （3）利用分类讨论画出图形，利用勾股定理解题即可． 解：（1）解：解方程得，， ∴，即点A的坐标为， 把代入得， ∴，点D的坐标为； （2）解：过点E作于点H， ∵， ∴，， ∴， 又∵是平行四边形， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当时，有个， 解：∵， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴点N得坐标为； 当时，有个，如图， 当时，有个，如图， ∵， ∴， ∴， ∴点与O重合， 故点得坐标为， 综上所述，点的个数为个，和点N的坐标为或． 【点拨】本题考查解一元二次方程，直线的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，点A的坐标为，点、C是直线上第一象限内的两点，且得到线段．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质等，正确作出辅助线构造相似三角形，进而利用相似三角形的性质求解是解题的关键．过点C作交x轴于点D，先证明，可得，设，得，再代入得，再求解即可． 解：过点C作交x轴于点D， C是直线上第一象限内的点， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， 点A的坐标为， ， ， ∵， ∴， ， 得， ，故选A 【考点17】平面直角坐标系、一次函数几何最值问题 1．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，，，C在直线上运动，存在一点P，满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数的应用．先证明，推出点P在以为圆心，1个单位长为半径的圆上，在上取点，使，再推出，得到，当共线且时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 解：∵C在直线上运动， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴点P在以为圆心，1个单位长为半径的圆上， 在上取点，使， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴当共线且时，有最小值，最小值为的长， 此时，，， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得， 故答案为：． 2．（2023·四川自贡·中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．    【答案】 【分析】作出点，作于点D，交x轴于点F，此时的最小值为的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作轴于点G，此时的最小值是的长，据此求解即可． 解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴，， 作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到， 作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形， 此时，， ∴有最小值， 作轴于点P，      则，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，则， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，，解得， 即； 过点D作轴于点G，    直线与x轴的交点为，则， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是， 故答案为：． 【点拨】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 3．（2024·江苏无锡·二模）如图，矩形中，，，点分别是上的动点，且，点是的中点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式，两点间距离公式，二次函数的性质，以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则，，，设直线解析式为，可得，设点，则，由为中点得，进而得，利用二次函数的性质即可求解，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 解：以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则，，， 设直线解析式为，把，代入得， ， 解答， ∴， 设点，则， ∴为中点， ∴， ∴， ∵， ∴时，取最小值， 当时，， ∴， 故选：． 【考点18】平面直角坐标系、一次函数几何动点问题 1．（2023·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线与交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段上，动点N在直线上，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为    【答案】或 【分析】如图，由是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得在以为直径的圆上，，可得是圆与直线的交点，当重合时，符合题意，可得，当N在的上方时，如图，过作轴于，延长交于，则，，证明，设，可得，，而，则，再解方程可得答案． 解：如图，∵是以点N为直角顶点的等腰直角三角形， ∴在以为直径的圆上，， ∴是圆与直线的交点，    当重合时， ∵，则， ∴，符合题意， ∴， 当N在的上方时，如图，过作轴于，延长交于，则，， ∴， 2．（22-23九年级下·贵州贵阳·期中）如图，已知点是第一象限内横坐标为的一个定点，轴于点，交直线于点．若点是线段上的一个动点，，，则点在线段上运动时，点不变，点随之运动，求当点从点运动到点时，点运动的路径长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，首先，需要证明线段就是点运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；其次，如答图①所示，利用，求出线段的长度，即点运动的路径长． 解：由题意可知，，点在直线上，轴于点， 把代入得， 点的坐标为，， ． 如答图①所示，设动点在点（起点）时，点的位置为，动点在点（终点）时，点的位置为，连接． ，， ， 又，， ， ，且相似比为， ． 现在来证明线段就是点运动的路径（或轨迹）． 如答图②所示，当点运动至上的任一点时，设其对应的点为，连接，，． ，， ， 又，， ， ， ． 又， ， ， 点在线段上，即线段就是点运动的路径（或轨迹）． 综上所述，点运动的路径（或轨迹）是线段，其长度为． 故选：D    ∵，， ∴， ∴， ∴，设， ∴，， 而， ∴， 解得：，则， ∴， ∴； 综上：或． 故答案为：或． 【点拨】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 3．（2023·江苏无锡·二模）直线：、为常数分别与轴、轴交于点、，动点的坐标为（为常数）． （1）当 时，有且仅有一个满足条件的的值，使得点在直线上； （2）若有且仅有两个符合条件的的值，使得点到直线的距离为1，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】（1）用待定系数法可求得直线的表达式为，将点的坐标代入得，根据判别式，进行计算即可得答案； （2）分三种情况：若有两个不相等的解，而无解；若有两个不相等的解，而无解；若有一个解，有一个解，分别列示计算即可得到答案． 解：（1）分别将两点的坐标代入直线， 得方程组， 解得， 故直线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 若它只有一个根即有两相等实根，则有， 解得， 故答案为：； （2）点到直线的距离为， 整理得，即， 若有两个不相等的解，而无解， 则有， 解得且， 若有两个不相等的解，而无解， 则有， 此不等式组无解， 若有一个解，有一个解， 则有， 此方程组无解， 故答案为：或． 【点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，一元二次方程的根的判别式，解不等式组，熟练掌握一元二次方程的根的判别式，解不等式组的方法，是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025中考——平面直角坐标系+一次函数（综合压轴题分类专题）（3） 考点目录 篇一：综合部分 【知识点1】平面直角坐标系 【考点1】点的位置...........................................................2 【考点2】坐标与图形.........................................................2 【考点3】坐标与规律.........................................................3 【考点4】新定义.............................................................4 【知识点2】函数基础知识 【考点5】函数图象的识别.....................................................4 【考点6】从函数图象中读取信息...............................................5 【考点7】动点问题的函数图象.................................................6 【知识点3】一次函数 【考点8】一次函数解析式.....................................................7 【考点9】一次函数图象平移...................................................8 【考点10】一次函数与坐标轴交点..............................................8 【考点11】一次函数与方程不等式..............................................9 【考点12】一次函数图象与位置综合判断........................................9 【考点13】一次函数与实际应用...............................................10 【考点14】一次函数与几何综合...............................................11 篇二：压轴部分 【考点15】平面直角坐标系、一次函数中的规律问题.............................12 【考点16】平面直角坐标系、一次函数几何综合问题.............................14 【考点17】平面直角坐标系、一次函数几何最值问题.............................15 【考点18】平面直角坐标系、一次函数几何动点问题.............................15 篇一：综合部分 【知识点1】平面直角坐标系 【考点1】点的位置 1．（2023·山东淄博·中考真题）若实数，分别满足下列条件： （1）； （2）． 试判断点所在的象限． 2．（23-24九年级上·甘肃陇南·期末）已知点关于原点的对称点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·江西·二模）抛物线的顶点在第四象限，则的取值范围是 ． 【考点2】坐标与图形 1．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为 ． 2．（2024·湖北·模拟预测）如图，菱形的顶点在x轴上，连接，若是等边三角形，则菱形的顶点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西大同·模拟预测）如图，等边的顶点在坐标原点，顶点在轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ． 【考点3】坐标与规律 1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 2．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的弧多次复制并首尾连接而成．现有一点从（为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2024秒时点的纵坐标为（ ） A． B． C．0 D．1 3．（2024·宁夏银川·二模）如图，（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6，…，，顶点均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，点的坐标为 ．    【考点4】新定义 1．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 2．（2023·浙江·三模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值，称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”，若，两点为“等距点”，则k的值为 ． 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【知识点2】函数基础知识 【考点5】函数图象的识别 1．（2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）下列不可能是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点6】从函数图象中读取信息 1．（2024·江苏镇江·中考真题）甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量（单位：L）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）甲、乙两人沿同一跑道从A处跑到B处．乙比甲先出发2分钟，甲的速度为每分钟150米．若两人之间的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）的关系如图所示，则A、B两地的路程为（   ） A．1800米 B．2000米 C．2400米 D．2500米 3．（2025七年级下·全国·专题练习）甲、乙两人跑步，已知甲先跑2秒后乙再出发，结果乙先到达终点并休息，甲随后赶到．甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的关系如图所示，则乙出发 秒后追上甲． 【考点7】动点问题的函数图象 1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西安康·期末）如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为 ． 3（24-25九年级上·山东东营·期末）如图1，在中，动点P从点A出发沿折线匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线的最低点，则的高的长为 ． 【知识点3】一次函数 【考点8】一次函数解析式 1．（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ． 2．（2024·四川泸州·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，且顶点A的坐标为，点B的坐标为，将平行四边形沿着直线翻折，得到四边形，若直线l把六边形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（2024·辽宁·模拟预测）抛物线 与y轴交于点B，已知点A的坐标为，平移线段得到线段 （A平移到D，B平移到C），当点D，C都在抛物线上时，直线的解析式为 ． 【考点9】一次函数图象平移 1．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 2．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，点．若，则直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，，．给出如下定义：若点先向上平移个单位（若，即向下平移个单位），再向右平移3个单位后的对应点Q在的内部或边上，则称点P为的“平移关联点”．若直线上的一点P是的“平移关联点”，且是等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【考点10】一次函数与坐标轴交点 1．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为 ． 2．（2024·安徽·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（2024·江西九江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，点在坐标轴上，点在坐标平面内，若以、、、为顶点的四边形为矩形，则点的坐标为 ． 【考点11】一次函数与方程不等式 1．（2024·浙江台州·三模）把函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折后，再把翻折前后的图象中在直线上方部分叫做新函数图象T．当直线与图象T有四个交点时，n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏泰州·一模）当时，对于x的每一个值，关于x的一次函数的值都小于一次函数的值，则k的所有整数值为 ． 【考点12】一次函数图象与位置综合判断 1．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 2．（22-23八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，C，直线分别与x轴、y轴交于点B，D，则下列说法中错误的是（   ） A．直线与x轴夹角为 B．直线经过点 C．若直线经过两个点P，Q，则 D．直线与直线相交于点，则不等式的解集为 3．（21-22八年级下·湖北·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线（k是常数，且）上两点和，则下列结论： ①若，则； ②直线AB向右平移1个单位的解析式为； ③若直线AB不经过第三象限，则； ④若原点O到直线AB的距离最大时，则直线AB的解析式为． 其中正确的是 （填写正确结论的序号）． 【考点13】一次函数与实际应用 1．（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 （1）求两种型号劳动用品的单价； （2）若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 2．（2023·山东临沂·二模）为了环保，某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造，如图描述的是月利润（万元）关于月份之间的变化关系，治污改造完成前是反比例函数图象的一部分，治污改造完成后是一次函数图象的一部分，则下列说法：①5月份该厂的月利润最低；②治污改造完成后，每月利润比前一个月增加30万元；③该厂8月份的月利润与2月份相同；④治污改造前后，共有6个月的月利润不超过120万元．其中正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24九年级下·全国·单元测试）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同． 【考点14】一次函数与几何综合 1．（2023·辽宁大连·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A．为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴交直线于点D，与的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示． （1）的长为 ___________；的面积为 ___________； （2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． 2．（2024·贵州贵阳·一模）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，C两点，分别过A、C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且的长分别是一元二次方程：的两个实数根， 点P在线段上， 点P、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点P的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或或或 3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知直线：，直线：，直线与直线交于点A，与直线交于点B，直线与直线交于点C，与直线交于点D，连接，当是等腰直角三角形时，的值为 ． 篇二：压轴部分 【考点15】平面直角坐标系、一次函数中的规律问题 1．（2021·山东泰安·中考真题）如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为 （结果用含正整数n的代数式表示）． 2．（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东聊城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为…按此规律，则线段的长度为 ．（，且为正整数） 【考点16】平面直角坐标系、一次函数几何综合问题 1．（2024·四川乐山·一模）当，是正实数，且满足时，就称点为“友谊点”．已知点与点都在直线上，点、是“友谊点”，且点在线段上． （1）点的坐标为 ； （2）若，，则的面积为 ． 2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，线段的长是一元二次方程的一个根．请解答下列问题： （1）求点D的坐标； （2）若线段的垂直平分线交直线于点E，交x轴于点F，交于点G，点E在第一象限，，连接，求的值； （3）在（2）的条件下，点M在直线上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，点A的坐标为，点、C是直线上第一象限内的两点，且得到线段．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【考点17】平面直角坐标系、一次函数几何最值问题 1．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，，，C在直线上运动，存在一点P，满足，则的最小值为 ． 2．（2023·四川自贡·中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．    3．（2024·江苏无锡·二模）如图，矩形中，，，点分别是上的动点，且，点是的中点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【考点18】平面直角坐标系、一次函数几何动点问题 1．（2023·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线与交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段上，动点N在直线上，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为    2．（22-23九年级下·贵州贵阳·期中）如图，已知点是第一象限内横坐标为的一个定点，轴于点，交直线于点．若点是线段上的一个动点，，，则点在线段上运动时，点不变，点随之运动，求当点从点运动到点时，点运动的路径长是（　　） A． B． C． D． 3．（2023·江苏无锡·二模）直线：、为常数分别与轴、轴交于点、，动点的坐标为（为常数）． （1）当 时，有且仅有一个满足条件的的值，使得点在直线上； （2）若有且仅有两个符合条件的的值，使得点到直线的距离为1，则的取值范围是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$